Laboratório de Programação com Games. Conteúdo: Professor: - Transformações no plano. Instituto de Computação - UFF
|
|
- Diogo Ávila
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Laboratório de Programação com Games Professor: Anselmo Montenegro Conteúdo: - Transformações no plano
2 Transformações geométricas: Introdução Na Computação Gráfica é essencial poder movimentar e deformar objetos. Casos particulares: transformações geométricas. 2
3 Transformações geométricas: Introdução Uma transformação T no plano é uma função que associa a cada ponto p do plano euclidiano Π um ponto p em Π. Π p p Conveniente introduzir um sistema de coordenadas. 3
4 no plano (2D) Referencial no plano (O, e, e 2 ), onde O é um ponto escolhido como origem e (e, e 2 ) forma uma base do R 2. OP e + e 2 e são as coordenadas de p no referencial (O, e, e 2 ). Coordenadas da origem O: (,). e 2 p O e 4
5 no plano (2D) Um referencial estabelece uma correspondência entre o plano euclidiano Π e R 2 {(,), R}. Permite estudar transformações do plano a partir de transformações em R 2. Ponto de partida: estrutura de espaço vetorial do R 2 (logo, do plano). 5
6 lineares Uma transformação L:R 2 R 2 é dita linear quando L(p +βp 2 )L(p )+βl(p 2 ), onde p, p 2 R 2 e a,b R. Obs: L(, ) (, ) (ou seja, a origem O do referencial é mantida fia por uma transformação linear). 6
7 lineares Uma transformação linear L:R 2 R 2 fica completamente determinada quando se conhecem L(e ) e L(e 2 ), onde (e, e 2 ) formam uma base do R2. L(e ) ae + be 2, L(e 2 ) ce + de 2 p e + e 2 L(p) L(e )+L(e 2 ) (ae +be 2 )+(ce +de 2 ) (a+c)e + (b+d)e 2 Matriz da transformação a b c d L(e ) L(e 2 ) 7
8 lineares O mais comum é representar uma transformação linear com respeito à base canônica do R 2 : e (, ), e 2 (,). L(e 2 ) e 2 L(e ) e Transformações lineares preservam elementos lineares (retas, planos, etc) 8
9 lineares Algumas transformações lineares correspondem a transformações geométricas importantes. Escalas. Refleões. Rotações. Cisalhamento. 9
10 lineares Redução (< s <), Aumento (s >) c b s s s s ' ' a a
11 lineares -. Espelhamento em relação ao eio p p
12 2 lineares + cos sin sin cos cos sin sin cos ' ' sin cos cos sin sin sin cos cos ) sin( ) cos( ' ' r r r r r r r r sin cos r r p p
13 3 lineares γ + tan tan ' ' γ γ
14 4 Não: mantêm a origem invariante. Logo, não podem representar translações. Considerar uma classe mais ampla: transformações afins. lineares p p' + t t p ' ' t t t
15 afins Uma transformação T:R 2 R 2 é dita afim quando T(ap + (-a) p 2 )at(p )+(-a)t(p 2 ), onde p, p 2 R 2 e a R. p T(p ) ap + (-a) p 2 at(p )+(-a)t(p 2 ), p 2 T(p 2 ) 5
16 6 Uma transformação T é afim se e somente se é da forma T(p) L(p) + t, onde L é linear. afins + f e d b c a
17 afins Preservam retas, razão de seção e coordenadas baricêntricas. Se p λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3, com λ + λ 2 + λ 3, então T(p) λ T(v ) + λ 2 T(v 2 ) + λ 3 T(v 3 ). v T(v ) v 3 p v 2 T(p) T(v 3 ) T(v 2 ) 7
18 afins Uma transformação afim fica determinada quando se conhece T(v ), T(v 2 ) e T(v 3 ), onde v, v 2, v 3 formam um triângulo. Caso particular: referencial (O, e, e 2 ) T(e 2 ) e 2 T(e ) O O e 8
19 Transformações geométricas: Coordenadas Homogêneas Podemos tratar todas as transformações de forma unificada se representarmos os pontos do espaço em coordenadas homogêneas. Em coordenadas homogêneas, um ponto do plano é representado por uma tripla [,,w] ao invés de um par (,). Duas coordenadas homogêneas [,,w] e [,,w ] representam o mesmo ponto se uma é um múltiplo da outra. 9
20 Transformações geométricas: Coordenadas Homogêneas Se w podemos dividir as coordenadas homogêneas por w. (,,w) representa o mesmo ponto que (/w,/ w,). Se w, então (,,w) é um ponto no infinito e representa uma direção do plano (mais sobre isto depois...) 2
21 Transformações geométricas: Coordenadas Homogêneas O uso de coordenadas homogêneas consiste em representar um espaço 2D imerso em um espaço 3D. Se tomarmos todas as triplas (t,t,tw), w, que representam um mesmo ponto, temos uma reta no espaço 3D. w (t,t,tw) (,,w) 2
22 Transformações geométricas: Coordenadas Homogêneas Os pontos da forma [,, ] formam um plano com coordenadas w no espaço (,,w). w (,,w) (/w,/w,) w 22
23 23 Pontos são representados em coordenadas homogêneas por vetores de 3 componentes. Logo, as matrizes de transformação devem ser representadas por matrizes 33. Transformações geométricas: Coordenadas Homogêneas + f e d b c a f d b e c a
24 24 Transformações geométricas: translações em coordenadas homogêneas w w t t t p
25 25 Transformações geométricas: matrizes de transformação em coordenadas homogêneas Escala Rotação Cisalhamento. s s S cos sin sin cos. R tan tan. C ψ γ
26 26 Transformações geométricas: Composição de transformações 2D cos sin sin cos cos sin sin cos ' '
27 de tela A eibição de objetos gráficos é uma aplicação importante de mudança de sistema de coordenadas. Os dispositivos gráficos de saída possuem uma superfície planar onde a representação de objetos gráficos é materializada. Denominamos esta superfície de superfície de suporte. 27
28 de tela A superfície de suporte possui um sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas do dispositivo. Eemplo: monitor A tela do monitor é a materialização de uma superfície retangular com um sistema de coordenadas ortogonais com origem em algum ponto da tela. 28
29 de tela Um objeto gráfico possui um sistema de coordenadas no qual as coordenadas dos seus pontos são especificadas. Esse sistema de coordenadas é denominado sistema de coordenadas do objeto. Para eibirmos um objeto gráfico precisamos fazer uma mudança de sistema de coordenadas do objeto para o sistema do dispositivo. 29
30 de tela Na transformação de tela é feita através do mapeamento entre dois retângulos. A janela (window), definida no sistema de coordenadas do objeto, e a moldura (viewport), é definida no sistema de coordenadas do dispositivo. Coordenadas máimas da janela janela Sistema de coordenadas do objeto moldura Sistema de coordenadas da janela 3
31 de tela A janela é especificada através de um par de pontos (, ) e (, ) e a viewport por um outro par (u,v ) e (u,v ). As mudanças de coordenadas são realizadas através da sequinte sequência de transformações:. Translada-se o ponto (, ) para a origem do sistema de coordenadas do mundo. 2. Aplica-se uma mudança de escala para transformar o novo retângulo da janela num retângulo congruente ao retângulo da moldura. 3. Translada-se o ponto da origem do sistema do dispositivo para o ponto (u,v ) da moldura. 3
32 32 (, ) (, ) (u,v ) (u,v ) ), ( T, v v u u v v u u S v ), ( v u v u T v ), (, ), ( T v v u u S v u T M wv!! 2 3 de tela
33 Algoritmos para rastreio: introdução Rastreio: processo através do qual primitivas geométricas como, por eemplo, linhas e polígonos, são transformadas em imagens digitais. Composto de duas etapas: Determinar quais células da imagem são ocupadas pela primitiva. Atribuir os respectivos atributos(cor, profundidade, etc.) a cada uma dos elementos ocupados. 33
34 Referências Apostila de Computação Gráfica. Prof. Marcelo Gattass. PUC-Rio. Jonas Gomes e Luiz Velho. Fundamentos de Computação Gráfica. Impa. 34
Computação Gráfica I. Conteúdo: Professor: - Transformações geométricas no plano. Instituto de Computação - UFF
Computação Gráfica I Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo: - Transformações geométricas no plano. Transformações geométricas: Introdução Na Computação Gráfica é essencial poder
Leia maisTRANSFORMAÇÕES LINEARES
1 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Cristianeguedes.pro.br/cefet Transformação Linear 2 Definição: Sejam U e V dois espaços vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é denominada Transformação Linear de U em
Leia maisTransformações Geométricas
Transformações Geométricas 2D Carolina Watanabe Referências Bibliográficas FOLEY, J. D, DAM, A. V.; HUGHES, J. F. Computer Graphics Principle and dpractice, 2 a edição Material elaborado por Marcela X.
Leia maisUniversidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática. Geometria. Prof. Thales Vieira
Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Geometria Prof. Thales Vieira 2014 Geometria Euclidiana Espaço R n R n = {(x 1,...,x n ); x i 2 R} Operações entre elementos de R n Soma: (x 1,x
Leia maisTransformações Geométricas
Computação Gráfica Interativa - M. Gattass & L. F. Martha 8// Transformações Geométricas por Marcelo Gattass Departamento de Informática PUC-Rio (adaptado por Lui Fernando Martha para a disciplina CIV8
Leia maisTransformações Geométricas para Visualização 3D
Sistemas Gráficos para Engenharia - M. Gattass & L. F. Martha Março - 8 Transformações Geométricas para Visualiação 3D por Marcelo Gattass Departamento de Informática PUC-Rio (adaptado por Lui Fernando
Leia maisLista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana
Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas componentes.
Leia maisProfessor: Computação Gráfica I. Anselmo Montenegro Conteúdo: - Objetos gráficos planares. Instituto de Computação - UFF
Computação Gráfica I Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo: - Objetos gráficos planares 1 Objetos gráficos: conceitos O conceito de objeto gráfico é fundamental para a Computação
Leia maisTransformações 2D. Prof. Márcio Bueno Fonte: Material do Prof. Robson Pequeno de Sousa e do Prof.
Transformações 2D Prof. Márcio Bueno {cgtarde,cgnoite}@marciobueno.com Fonte: Material do Prof. Robson Pequeno de Sousa e do Prof. Robson Lins Transformações 2D Transformações Geométricas são a base de
Leia maisInstituto Tecnológico de Aeronáutica. Prof. Carlos Henrique Q. Forster Sala 121 IEC. ramal 5981
CC Visão Computacional Geometria Projetiva Instituto ecnológico de Aeronáutica Prof. Carlos Henrique Q. Forster Sala IEC ramal 598 ópicos da aula Rotação em D, Escala e Refleo Deformação do quadrado unitário
Leia maisP4 de Álgebra Linear I de junho de 2005 Gabarito
P4 de Álgebra Linear I 25.1 15 de junho de 25 Gabarito 1) Considere os pontos A = (1,, 1), B = (2, 2, 4), e C = (1, 2, 3). (1.a) Determine o ponto médio M do segmento AB. (1.b) Determine a equação cartesiana
Leia maisTransformações Geométricas 3D
Transformações Geométricas 3D Introdução Transformações 3D são uma etensão dos métodos 2D, incluindo-se a coordenada Z. Especificação de vetores em 3D translação: vetor de translação 3D escalonamento:
Leia mais4. Curvas Paramétricas e Transformações 2D
4. Curvas Paramétricas e Transformações 2D Curvas Paramétricas (fonte: Wikipédia) Em matemática, uma equação paramétrica é uma forma de representar uma curva (ou, em geral, uma superfície) como a imagem
Leia maisTranslação. Sistemas de Coordenadas. Translação. Transformações Geométricas 3D
Translação Transformações Geométricas 3D Um ponto (objeto) é deslocado de uma posição para outra posição no mesmo espaço 3D Rosane Minghim Maria Cristina F. de Oliveira ICMC Universidade de São Paulo 26
Leia maisVisualização por Computador: Teoria, Prática e Aplicações
Visualização por Computador: Teoria, Prática e Aplicações Noções de Geometria e Álgebra Linear Claudio Esperança Programa de Engenharia de Sistemas e Computação COPPE / UFRJ Master of Information Management,
Leia maisReconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC
Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC-10.073 Aulas 2 e 3 Conteúdo Geometria Projetiva 2D Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2016.1/tic-10.073
Leia maisProposta de teste de avaliação 4 Matemática 8 Nome da Escola Ano letivo Matemática 8.º ano Nome do Aluno Turma N.º Data Professor
Proposta de teste de avaliação Matemática Nome da Escola Ano letivo 0-0 Matemática.º ano Nome do Aluno Turma N.º Data Professor - - 0 Na resolução dos itens da parte A podes utilizar a calculadora. Na
Leia maisNas questões 1, 3, 4, 11, 12, 13, 15 e 17 considera-se fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, onde E é uma base ortonormal
Nas questões 1, 3, 4, 11, 12, 13, 15 e 17 considera-se fixado um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, onde E é uma base ortonormal positiva de V 3. 1Q1. Seja m R não nulo e considere as retas: r :
Leia maisTransformações Geométricas em C.G. Claudio Esperança Paulo Roma Cavalcanti
Transformações Geométricas em C.G. Claudio Esperança Paulo Roma Cavalcanti Geometria Euclideana Geometria Sintética: Axiomas e Teoremas Por coordenadas: Álgebra Linear Geometria Euclideana Espaço Vetorial
Leia maisTransformações (Cap 4.3, 4.4 e 4.6 a 4.10)
4.6 a 4.) Transformações (Cap 4.3, 4.4 e 4.6 a 4.) Instituto Superior Técnico, 26/27 Sumário Revisões Transformações Elementares Coordenadas Homogéneas Composição de Transformações Transformações em OpenGL
Leia maisaula6 Curvas de Hermite 2016/2 IC / UFF Criadas por Charles Hermite ( ) https://pt.wikipedia.org/wiki/charles_hermite
Criadas por Charles Hermite (1822-1901) https://pt.wikipedia.org/wiki/charles_hermite aula6 Vetor é : Na matemática - um elemento com de um espaço vetorial Em Física em oposição as grandezas escalares,
Leia maisCurso de CG 2019/1 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html Curso de CG 2019/1 IC / UFF Transformações Geométricas no Plano e no Espaço Esse material estáno Livro do curso no cap 2. Definição Transformações geométricas
Leia maisProcessamento de Imagens CPS755
Processamento de Imagens CPS755 aula 01 - geometria projetiva e transformações 2D Antonio Oliveira Ricardo Marroquim 1 / 44 laboratório de processamento de imagens tópicos geometria projetiva transformações
Leia maisInstituto de Computação Bacharelado em Ciência da Computação Disciplina: Computação Gráfica Primeira lista de exercícios
Instituto de Computação Bacharelado em Ciência da Computação Disciplina: Computação Gráfica Primeira lista de exercícios - 2013.1 Conceitos fundamentais 1) A Computação Gráfica é dividida em diversas sub-áreas.
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais
Álgebra Linear I - Aula 19 1. Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais. 2. Matrizes ortogonais 2 2. 3. Rotações em R 3. Roteiro 1 Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que
Leia mais. f3 = 4 e 1 3 e 2. f2 = e 1 e 3, g 1 = e 1 + e 2 + e 3, 2 g 2 = e 1 + e 2,
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-457 Álgebra Linear para Engenharia I Segunda Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Dê a matriz de mudança
Leia maisNota de aula: Transformações Lineares
Nota de aula: Transformações Lineares Prof. Rebello out/99 rev. mai/0 São aplicações entre espaços vetoriais, isto é, funções onde tanto o domínio como o contra domínio são espaços vetoriais, portanto
Leia maisTransformações Geométricas em C.G.
Transformações Geométricas em C.G. Cap 2 (do livro texto) Aula 3, 4 e 5 UFF - 214 Geometria Euclideana : 3D Geometria Axiomas e Teoremas Coordenadas de pontos, equações dos objetos Geometria Euclideana
Leia maisCurso de CG 2018/2 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html Curso de CG 2018/2 IC / UFF Transformações Geométricas no Plano e no Espaço Esse material estáno Site do curso como : CG-Aula5-2017.pdf CG-Aula8-2016.pdf
Leia maisTransformações Geométricas
Transformações Geométricas Profª. Alessandra Martins Coelho março/2013 Objetivos Entender os princípios das transformações geométricas do tipo translação, rotação e escalamento. Efetuar transformações
Leia maisCoordenadas Homogêneas no Plano e no Espaço
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html Curso de CG 2019/1 IC / UFF Coordenadas Homogêneas no Plano e no Espaço (AB) T = B T A T Esse material estáno Livro do curso no cap 2. Resumindo transformações
Leia maisTransformações Geométricas. Transformações Geométricas. Sistemas de Coordenadas. Translação: M.C.F. de Oliveira Rosane Minghim 2006
Transformações Geométricas Transformações Geométricas 2D M.C.F. de Oliveira Rosane Minghim 2006 Aplicadas aos modelos gráficos para alterar a geometria dos objetos, sem alterar a topologia Porque são necessárias:
Leia maisNota de aula: Transformações Lineares
Nota de aula: Transformações Lineares Prof. Rebello out/99 rev. out/ São aplicações entre espaços vetoriais, isto é, funções onde tanto o domínio como o contra domínio são espaços vetoriais, portanto todas
Leia maisGeometria Analítica. Prof. M.Sc. Guilherme Schünemann
Geometria Analítica Prof. M.Sc. Guilherme Schünemann Ponto de partida Um ponto é a unidade básica de toda a geometria analítica. A partir dele, definem-se retas, segmentos, vetores, planos, etc. Reta definida
Leia maisProposta de Teste Intermédio Matemática A 11.º ano
GRUPO I. Vamos calcular o valor da função objetivo, L, em cada um dos vértices da região admissível. Vértice L O 0 0 L = 0 + 0 = 0 0 L = + 0 = L = + = C L = + = D 0 L = 0 + = função objetivo atinge o máimo,
Leia maisReconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC /TCC
Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC-00.243/TCC-00.241 Aulas 2 e 3 Conteúdo Geometria Projetiva 2D Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2014.2/tic-00.243
Leia maisGEOMETRIA Exercícios
GEOMETRIA Exercícios Mestrado em Educação - DMFCUL 00/003 1. Determine a equação da circunferência com centro (, 1 e raio 3.. Determine os pontos de intersecção da recta y = com a circunferência do exercício
Leia maisP2 de Álgebra Linear I Data: 10 de outubro de Gabarito
P2 de Álgebra Linear I 2005.2 Data: 10 de outubro de 2005. Gabarito 1 Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Itens V F N 1.a F 1.b V 1.c V 1.d F 1.e V 1.a Considere duas bases β e γ de
Leia maisProcessamento de Imagens CPS755
Processamento de Imagens CPS755 aula 03 - visualizando a planar Antonio Oliveira Ricardo Marroquim 1 / 40 laboratório de processamento de imagens tópicos visualizando a planar discussão dos primeiros 2
Leia maisProfessor: Anselmo Montenegro Conteúdo: Aula 2. - Primitivas Geométricas. Instituto de Computação - UFF
Geometria Computacional Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo: Aula - Primitivas Geométricas 1 Roteiro Introdução Operações primitivas Distâncias Ângulos Ângulos orientados Áreas
Leia maisProposta de teste de avaliação
Proposta de teste de avaliação Matemática A 11 O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: CADERNO I (60 minutos com calculadora) 1 Em R, a equação ( π) cos x = π : (A) admite a solução x = π ; (B)
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 04. v = x 2 + y 2. v = x1 x 2 + y 1 y 2. v = 0. v = x 2 + y 2 + z 2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 04 Assunto:Produto escalar, bases canônicas do R 2 e R 3, produto vetorial, produto misto, equação da reta no R 2 Palavras-chaves: Produto
Leia maisComputação Gráfica. Primitivas Gráficas Professora Sheila Cáceres
Computação Gráfica Primitivas Gráficas Professora Sheila Cáceres Primitivas Gráficas em 2D São elementos básicos dos gráficos/desenhos a partir dos quais são construídos outros objetos mais complexos.
Leia maisTransformações Gráficas Tridimensionais (3D) Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro
Transformações Gráficas Tridimensionais (3D) Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro Introdução A manipulação, visualiação e a construção de imagens gráficas tridimensionais
Leia maisCoordenadas Homogêneas
Coordenadas Homogêneas André Tavares da Silva andre.silva@udesc.br Capítulo 5 de Foley Capítulo 2 de Azevedo e Conci Coordenadas Homogêneas Promovem uniformidade no tratamento de qualquer transformação
Leia maisTransformações de Pontos. Computação Gráfica Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi Aluna: Karina da Silva Salles
Transformações de Pontos Computação Gráfica Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi Aluna: Karina da Silva Salles Sumário Motivação Definição Translação Escala Rotação Reflexão Shearing Referências Motivação
Leia maisaula8 Transformações Geométricas no Plano e no Espaço 2016/2 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html aula8 Transformações Geométricas no Plano e no Espaço 2016/2 IC / UFF Definição Transformações geométricas são operações que podem ser utilizadas para
Leia maisMatrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis
Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas
Leia maisProfessor: Anselmo Montenegro Conteúdo (aula 7): - Noções de estruturas de dados topológicas. Instituto de Computação - UFF
Geometria Computacional Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo (aula 7): - Noções de estruturas de dados topológicas 1 Roteiro Introdução Representação por grafos: grafo de incidências
Leia maisG4 de Álgebra Linear I
G4 de Álgebra Linear I 27.1 Gabarito 1) Considere a base η de R 3 η = {(1, 1, 1); (1,, 1); (2, 1, )} (1.a) Determine a matriz de mudança de coordenadas da base canônica para a base η. (1.b) Considere o
Leia maisMAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 2 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de f 1 = 2 e 1 e 2 e 3,
MAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 2 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2015 1 Sendo E = { e 1 e 2 e 3 } F = { f 1 f 2 f 3 } bases com: f 1 = 2 e 1 e 3 f 2 = e 2 + 2 e 3 f 3 = 7 e 3 e w = e
Leia maisCapítulo 2 Vetores. 1 Grandezas Escalares e Vetoriais
Capítulo 2 Vetores 1 Grandezas Escalares e Vetoriais Eistem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As grandezas escalares são aquelas que ficam definidas por apenas um número real, acompanhado
Leia maisProposta de teste de avaliação
Proposta de teste de avaliação Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: Grupo Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na sua folha de respostas, o número
Leia mais1. Seja θ = ang (r, s). Calcule sen θ nos casos (a) e (b) e cos θ nos casos (c) e (d): = z 3 e s : { 3x + y 5z = 0 x 2y + 3z = 1
14 a lista de exercícios - SMA0300 - Geometria Analítica Estágio PAE - Alex C. Rezende Medida angular, distância, mudança de coordenadas, cônicas e quádricas 1. Seja θ = ang (r, s). Calcule sen θ nos casos
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula Forma diagonal de uma matriz diagonalizável
Álgebra Linear I - Aula 18 1 Forma diagonal de uma matriz diagonalizável 2 Matrizes ortogonais Roteiro 1 Forma diagonal de uma matriz diagonalizável Sejam A uma transformação linear diagonalizável, β =
Leia maisUniversidade de São Paulo Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas Departamento de Ciências Atmosféricas
Exame de ingresso ao programa de pós-graduação do DCA-IAG/USP Folha de instruções As instruções abaixo deverão ser lidas pelo fiscal da prova antes da entrega das questões. - Preencha todas as folhas com
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MIRA Escola Sec/3 Drª. Maria Cândida. PLANIFICAÇÃO ANUAL MATEMÁTICA 8º Ano Ano Letivo 2016/2017. Objetivos específicos
1º Período TEMA 1: NÚMEROS RACIONAIS. NÚMEROS REAIS N. de blocos previstos: 15 1.1. Representação de números reais através de dízimas 1.2. Conversão em fração de uma dízima infinita periódica 1.3. Potências
Leia maisComputação Gráfica. Engenharia de Computação. CEFET/RJ campus Petrópolis. Prof. Luis Retondaro. Aula 3. Transformações Geométricas
Computação Gráfica Engenharia de Computação CEFET/RJ campus Petrópolis Prof. Luis Retondaro Aula 3 Transformações Geométricas no plano e no espaço Introdução (Geometria) 2 Pontos, Vetores e Matrizes Dado
Leia mais2 a Lista de Exercícios de MAT2457 Escola Politécnica 1 o semestre de 2014
a Lista de Eercícios de MAT4 Escola Politécnica o semestre de 4. Determine u tal que u = e u é ortogonal a v = (,, ) e a w = (, 4, 6). Dos u s encontrados, qual é o que forma um ângulo agudo com o vetor
Leia maisComputação Gráfica. Prof. André Yoshimi Kusumoto
Computação Gráfica Prof. André Yoshimi Kusumoto andrekusumoto.unip@gmail.com Representação da Imagem A representação vetorial das imagens é principalmente empregada para a definição e modelagem dos objetos
Leia maisAs cotações dos itens de cada caderno encontram-se no final do respetivo caderno.
Nome: Ano / Turma: N.º: Data: - - O teste é constituído por dois cadernos (Caderno 1 e Caderno 2). Utiliza apenas caneta ou esferográfica, de tinta azul ou preta. É permitido o uso de calculadora no Caderno
Leia maisChamamos de grandezas coisas que podem ser medidas. Por exemplo, tempo, área, volume, temperatura, velocidade, aceleração, força, etc..
Introdução a vetor Professor Fiore O que são grandezas? Chamamos de grandezas coisas que podem ser medidas. Por exemplo, tempo, área, volume, temperatura, velocidade, aceleração, força, etc.. O que são
Leia maisCapítulo 6 Transformação de tensão no plano
Capítulo 6 Transformação de tensão no plano Resistência dos Materiais I SLIDES 06 Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt prof.douglas.pucgo@gmail.com Objetivos do capítulo Transformar as componentes de tensão
Leia maisAula 5 - Produto Vetorial
Aula 5 - Produto Vetorial Antes de iniciar o conceito de produto vetorial, precisamos recordar como se calculam os determinantes. Mas o que é um Determinante? Determinante é uma função matricial que associa
Leia maisTESTE INTERMÉDIO 11.º ANO
TESTE INTERMÉDIO 11.º ANO NOME: N.º: TURMA: ANO LETIVO: / DATA: / / CLASSIFICAÇÃO: PROFESSOR(A): ENC. EDUCAÇÃO: DURAÇÃO DO TESTE: 90 MINUTOS GRUPO I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.
Leia maisG3 de Álgebra Linear I
G de Álgebra Linear I 7 Gabarito ) Considere a transformação linear T : R R cuja matriz na base canônica E = {(,, ), (,, ), (,, )} é [T] E = a) Determine os autovalores de T e seus autovetores correspondentes
Leia maisQ1. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal de V 3. Sejam π 1 e π 2 os planos dados pelas equações
Q1. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal de V 3. Sejam π 1 e π 2 os planos dados pelas equações π 1 : x 2y + 3z = 1 e π 2 : x + z = 2 no sistema de coordenadas
Leia maisTransformações Geométricas
Transformações Geométricas Computação Gráfica DCC065 Prof. Rodrigo Luis de Souza da Silva, D.Sc. Sumário Tópicos da aula de hoje: Por que transformações? Classificação das transformações Transformações
Leia mais3D no OpenGL. Visualização e Transformações Perspectiva. Transformações do Modelview. Processo
Visualização e Transformações Perspectiva 3D no OpenGL Para gerar imagens de um objeto 3D, é necessário compreender transformações perspectiva Foley & van Dam - Cap. 6 Notas de aula do Prof. Mount: aulas
Leia mais1 Matrizes Ortogonais
Álgebra Linear I - Aula 19-2005.1 Roteiro 1 Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que uma base β é ortogonal se está formada por vetores ortogonais entre si: para todo par de vetores distintos
Leia maisComputação Gráfica. Engenharia de Computação. CEFET/RJ campus Petrópolis. Prof. Luis Retondaro. Aula 6. Projeções
Computação Gráfica Engenharia de Computação CEFET/RJ campus Petrópolis Prof. Luis Retondaro Aula 6 Projeções 2 Projeções Geométricas Projeções permitem a visualização bidimensional de objetos tridimensionais.
Leia maisCapítulo 7 Transformação de deformação no plano
Capítulo 7 Transformação de deformação no plano Resistência dos Materiais I SLIDES 08 Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt prof.douglas.pucgo@gmail.com Objetivos do capítulo Transformar as componentes
Leia maisMAT 112 Turma Vetores e Geometria. Prova 2 28 de junho de 2018
MAT 112 Turma 2018134 Vetores e Geometria Prof. Paolo Piccione Prova 2 28 de junho de 2018 Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale as alternativas
Leia maisVetores no plano Cartesiano
Vetores no plano Cartesiano 1) Definição de vetor Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade). 1. A
Leia mais1 Segmentos orientados e vetores, adição e multiplicação
MAP2110 Modelagem e Matemática 1 o Semestre de 2007 Resumo 1 - Roteiro de estudos - 07/05/2007 Espaços vetoriais bi e tri-dimensionais (plano ou espaço bidimensional E 2, e espaço tridimensional E 3 )
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Pedro Martins Menezes. Um estudo dos estágios dos pipelines gráficos
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Pedro Martins Menezes Um estudo dos estágios dos pipelines gráficos Niterói 2008 Pedro Martins Menezes Um estudo dos estágios dos pipelines gráficos Trabalho de Conclusão
Leia maisComputação Gráfica Módulo III Geometria
Computação Gráfica Módulo III Geometria UniverCidade - Prof. Ismael H F Santos April 5 Prof. Ismael H. F. Santos - ismael@tecgraf.puc-rio.br Considerações Gerais Objetivo: Discutir os principais conceitos
Leia maisIntrodução ao Processamento e Síntese de imagens Transformações de Visualização: Matrizes Homogêneas
Introução ao rocessamento e íntese e imagens ransformações e Visualiação: Matries Homogêneas Júlio Kioshi Hasegawa Fontes: Esperança e Cavalcanti UFRJ; raina e Oliveira 4 U; e Antonio Maria Garcia ommaselli
Leia maisComputação Gráfica - OpenGl 02
Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Computação Gráfica - OpenGl 02 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula Matrizes simultaneamente ortogonais e simétricas
Álgebra Linear I - Aula 22 1. Matrizes 2 2 ortogonais e simétricas. 2. Projeções ortogonais. 3. Matrizes ortogonais e simétricas 3 3. Roteiro 1 Matrizes simultaneamente ortogonais e simétricas 2 2 Propriedade
Leia maisMAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I Gabarito da 2 a Prova - 1 o semestre de 2015
MAT27 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I Gabarito da 2 a Prova - 1 o semestre de 201 Nesta prova considera-se fixada uma orientação do espaço e um sistema de coordenadas Σ (O, E) em E 3, em que E é uma base
Leia maislinearmente independentes se e somente se: Exercícios 13. Determine o vetor X, tal que 3X-2V = 15(X - U).
11 linearmente independentes se e somente se: 1.4. Exercícios 1. Determine o vetor X, tal que X-2V = 15(X - U). Figura 21 14. Determine os vetores X e Y tais que: 1.4.2 Multiplicação por um escalar. Se
Leia maisPlano de Trabalho Docente Ensino Técnico
Plano de Trabalho Docente 2015 Ensino Técnico Etec Etec: PAULINO BOTELHO Código: 091 Município: São Carlos Eixo Tecnológico: Informação e Comunicação Habilitação Profissional: Técnico em Programação de
Leia maisProva tipo A. Gabarito. Data: 8 de outubro de ) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. 1.a) Considere os vetores de R 3
Prova tipo A P2 de Álgebra Linear I 2004.2 Data: 8 de outubro de 2004. Gabarito Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa..a Considere os vetores de R 3 v = (, 0,, v 2 = (2,, a, v 3 = (3,,
Leia maisReconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC
29/3/26 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC-.73 Aula 4 Conteúdo Geometria Projetiva 2D Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/26./tic-.73
Leia maisCapítulo 1-Sistemas de Coordenadas
Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas 1 Sistema Unidimensional de Coordenadas Conceito: Neste sistema, também chamado de Sistema Linear, um ponto pode se mover livremente sobre uma reta (ou espaço unidimensional).
Leia maisProcessamento de Imagens CPS755
Processamento de Imagens CPS755 aula 08 - calibração de câmera Antonio Oliveira Ricardo Marroquim 1 / 40 laboratório de processamento de imagens tópicos homografia 3D 2D distorção propriedades do centro
Leia maisComputação Gráfica Viewing
Computação Gráfica Viewing Aluno:M arcio KassoufC rocom o Prof:R osane M inghim O que é Viewing? Processo responsável por determinar o que será exibido no dispositivo de saída, e como Fonte: Software disponível
Leia maisCapítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto
Leia maisMatemática I Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização
35 Funções A função é um modo especial de relacionar grandezas. Por eemplo, como escrevemos o deslocamento de um móvel em movimento retilíneo variado dependendo do tempo? E se o móvel está em movimento
Leia maisSumário COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES. Modelos e modelagem. Modelos e modelagem. Transformações Geométricas e Visualização 2D
Sumário COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES Transformações Geométricas e Visualização D Transformações geométricas Pipeline de visualização D Transformação de coordenadas Window-Viewport Recorte (Clipping)
Leia mais14/03/2013. Cálculo Vetorial. Professor: Wildson Cruz
Estudamos os vetores do ponto de vista geométrico e, no caso, eles eram representados por um segmento de reta orientado. E agora vamos mostrar uma outra forma de representá-los: os segmentos orientados
Leia maisInstituto de Computação Bacharelado em Ciência da Computação Disciplina: Computação Gráfica Primeira lista de exercícios
Instituto de Computação Bacharelado em Ciência da Computação Disciplina: Computação Gráfica Primeira lista de exercícios - 2012.2 Conceitos fundamentais 1) A Computação Gráfica é dividida em diversas sub-áreas.
Leia maisEscalar: Grandeza à qual se associa um valor real independentemente da direção, ex: massa, comprimento, tempo, energia.
1 2. Vetores Força 2.1- Escalares e Vetores Escalar: Grandeza à qual se associa um valor real independentemente da direção, ex: massa, comprimento, tempo, energia. Vetor: Grandeza a qual se associa um
Leia maisPrimitivas Geométricas
Métodos Numéricos para Geração de Malhas SME0250 Primitivas Geométricas Afonso Paiva ICMC-USP 4 de agosto de 2016 Operações com Vetores soma vetorial: sum(x, y) = x + y multiplicação por escalar: mult(λ,
Leia maisRobótica Experimental
UNVERSDADE FEDERAL DO RO GRANDE DO NORTE Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Dept o de Engenharia de Computação e Automação DCA Robótica Eperimental Material didático Adelardo
Leia maisMatemática. Lic. em Enologia, 2009/2010
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Matemática Lic. em Enologia, 009/00 a Parte: Álgebra Linear Vectores em R n e em C n. Sejam u = (, 7,, v = ( 3, 0, 4 e w = (0, 5, 8. Calcule: a 3u 4v b u + 3v
Leia mais