Primitivas Geométricas

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1 Métodos Numéricos para Geração de Malhas SME0250 Primitivas Geométricas Afonso Paiva ICMC-USP 4 de agosto de 2016

2 Operações com Vetores soma vetorial: sum(x, y) = x + y multiplicação por escalar: mult(λ, x) = λx produto escalar: dot(x, y) = x y = x 1 y x n y n norma: norm(x) = x = x x = dot(x, x)

3 Operações com Vetores soma vetorial: sum(x, y) = x + y multiplicação por escalar: mult(λ, x) = λx produto escalar: dot(x, y) = x y = x 1 y x n y n norma: norm(x) = x = x x = dot(x, x) Distancias e Ângulos distância: dist(x, y) = x y = norm(x y) ( ) ângulo: angle(x, y) = arccos x y x y

4 Operações com Vetores soma vetorial: sum(x, y) = x + y multiplicação por escalar: mult(λ, x) = λx produto escalar: dot(x, y) = x y = x 1 y x n y n norma: norm(x) = x = x x = dot(x, x) Distancias e Ângulos distância: dist(x, y) = x y = norm(x y) ( ) ângulo: angle(x, y) = arccos x y x y A primitiva acima é motivada pela identidade x y = cos(θ) x y, onde θ [0, π] é o ângulo formado por x e y.

5 Ordenação Polar Problema Dados os pontos (vetores) v 1, v 2,..., v n R 2, ordená-los angularmente no sentido anti-horário.

6 Ordenação Polar Problema Dados os pontos (vetores) v 1, v 2,..., v n R 2, ordená-los angularmente no sentido anti-horário. 1

7 Ordenação Polar Problema Dados os pontos (vetores) v 1, v 2,..., v n R 2, ordená-los angularmente no sentido anti-horário. 2 1

8 Ordenação Polar Problema Dados os pontos (vetores) v 1, v 2,..., v n R 2, ordená-los angularmente no sentido anti-horário

9 Ordenação Polar Problema Dados os pontos (vetores) v 1, v 2,..., v n R 2, ordená-los angularmente no sentido anti-horário

10 Ângulo Orientado Dado um vetor x = (x 1, x 2 ) 0 no R 2 e u = (1, 0), o ângulo orientado definido por x é dado por: angle(x) = { angle(u, x), se x2 0 angle(u, x), se x 2 < 0, ( ) onde angle(u, x) = arccos x1 x definido em ( π, π].

11 Ângulo Orientado Dado um vetor x = (x 1, x 2 ) 0 no R 2 e u = (1, 0), o ângulo orientado definido por x é dado por: angle(x) = { angle(u, x), se x2 0 angle(u, x), se x 2 < 0, ( ) onde angle(u, x) = arccos x1 x definido em ( π, π]. O problema dessa função é que ela é transcendental (computacionalmente cara), o que foge das nossas operações básicas.

12 Ângulo Orientado Dado um vetor x = (x 1, x 2 ) 0 no R 2 e u = (1, 0), o ângulo orientado definido por x é dado por: angle(x) = { angle(u, x), se x2 0 angle(u, x), se x 2 < 0, ( ) onde angle(u, x) = arccos x1 x definido em ( π, π]. O problema dessa função é que ela é transcendental (computacionalmente cara), o que foge das nossas operações básicas. Note, precisamos apenas comparar ângulos!

13 Pseudo-ângulos Afim de comparar ângulos, precisamos criar uma função que seja monótona em relação ao ângulo. Por exemplo, f (θ) = 1 cos(θ), θ [0, π]

14 Pseudo-ângulos Afim de comparar ângulos, precisamos criar uma função que seja monótona em relação ao ângulo. Por exemplo, f (θ) = 1 cos(θ), θ [0, π] Essa função define uma primitiva chamada pseudo-ângulo definida como: f (x, y) = 1 x y x y A função acima é monótona crescente em relação a θ e toma valores no intervalo [0, 2].

15 Pseudo-ângulos Afim de comparar ângulos, precisamos criar uma função que seja monótona em relação ao ângulo. Por exemplo, f (θ) = 1 cos(θ), θ [0, π] Essa função define uma primitiva chamada pseudo-ângulo definida como: f (x, y) = 1 x y x y A função acima é monótona crescente em relação a θ e toma valores no intervalo [0, 2]. Exercício 1 Dados n pontos no plano, faça um programa em MATLAB que ordene angularmente esses pontos. Dica: use o comando sort.

16 Interseção de Segmentos Problema: detectar quando dois segmentos no plano tem interseção. a c d b

17 Interseção de Segmentos Problema: detectar quando dois segmentos no plano tem interseção. a c Produto Vetorial (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = i j k x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 d b

18 Interseção de Segmentos Problema: detectar quando dois segmentos no plano tem interseção. a c d b Produto Vetorial i j k (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 )

19 Interseção de Segmentos Problema: detectar quando dois segmentos no plano tem interseção. a c d b Produto Vetorial i j k (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ) Tomando a terceira componente nula, podemos definir o produto vetorial em R 2 como uma função escalar : R 2 R dada por: (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = x 1 y 2 x 2 y 1

20 Interseção de Segmentos Espaço 3D: regra da mão direita z = x y y x y α x

21 Interseção de Segmentos Espaço 3D: regra da mão direita z = x y y x y α x Espaço 2D: ângulo orientado y x α x α y x y > 0: y à esquerda de x x y < 0: y à direita de x

22 Interseção de Segmentos Solução: Basta verificar se [(b a) (c a)][(b a) (d a)] < 0 e [(d c) (a c)][(d c) (b c)] < 0.

23 Interseção de Segmentos Solução: Basta verificar se [(b a) (c a)][(b a) (d a)] < 0 e [(d c) (a c)][(d c) (b c)] < 0. Exercício 2 Faça um programa em MATLAB que dado dois segmentos retorne 1 se os segmentos possuem interseção ou 0 caso contrário. Desenhe os segmentos de entrada para testar os seus resultados. Exercício 3 Faça um programa em MATLAB que dado um polígono convexo e um ponto, retorne 1 se o ponto esta no interior do polígono ou 0 caso contrário. Desenhe o polígono e o ponto de entrada para testar os seus resultados.

24 Coordenadas Baricéntricas Definição O ponto v é o baricentro dos pontos v 1,..., v n com pesos w 1,..., w n se somente se v = w 1v w n v n w w n Os valores w i são as coordendas baricéntricas de v.

25 Coordenadas Baricéntricas Definição O ponto v é o baricentro dos pontos v 1,..., v n com pesos w 1,..., w n se somente se v = w 1v w n v n w w n Os valores w i são as coordendas baricéntricas de v. Coordenadas Baricéntricas Normalizadas λ i (v) = w i (v) w 1 (v) + + w n (v)

26 Coordenadas Baricéntricas Definição O ponto v é o baricentro dos pontos v 1,..., v n com pesos w 1,..., w n se somente se v = w 1v w n v n w w n Os valores w i são as coordendas baricéntricas de v. Coordenadas Baricéntricas Normalizadas λ i (v) = w i (v) w 1 (v) + + w n (v) Logo, v = i λ iv i com i λ i = 1, isto é, uma combinação convexa dos pontos v 1,, v n.

27 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 T p v 1 v 2 Objetivo: dado x T, queremos λ 1, λ 2, λ 3 0 tal que: λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1, e p = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3

28 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo Precisamos resolver o sistema linear de ordem 3: λ 1 1 v1 x v2 x v3 x λ 2 = p x v y 1 v y 2 v y 3 λ 3 p y

29 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo Precisamos resolver o sistema linear de ordem 3: λ 1 1 v1 x v2 x v3 x λ 2 = p x v y 1 v y 2 v y 3 λ 3 p y Pela Regra de Cramer a solução (única) é λ 1 = A 1 A, λ 2 = A 2 A, λ 3 = A 3 A. v 3 A A 2 p A 1 A 3 v 1 v 2

30 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 A A 2 p A 1 A 3 v 1 v 2 Propriedades

31 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 A A 2 p A 1 A 3 v 1 v 2 Propriedades linearidade: λ i L(R 2 ; R);

32 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 A A 2 p A 1 A 3 v 1 v 2 Propriedades linearidade: λ i L(R 2 ; R); propriedade de Lagrange: λ i (v j ) = δ ij ;

33 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 A A 2 p A 1 A 3 v 1 v 2 Propriedades linearidade: λ i L(R 2 ; R); propriedade de Lagrange: λ i (v j ) = δ ij ; inteporlação linear: g(p) = 3 i=1 λ i(p)f (v i );

34 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo v 3 A A 2 p A 1 A 3 v 1 v 2 Propriedades linearidade: λ i L(R 2 ; R); propriedade de Lagrange: λ i (v j ) = δ ij ; inteporlação linear: g(p) = 3 i=1 λ i(p)f (v i ); precisão linear: se f é linear g = f.

35 Coordenadas Baricéntricas no Triângulo Exercício 4 Faça um programa em MATLAB que dado os vértices de um triângulo, calcule as coordenadas baricéntricas de um ponto dado.