Resolução de sistemas de equações não-lineares: Método Iterativo Linear

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1 Resolução de sistemas de equações não-lineares: Método Iterativo Linear Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 18 de setembro de 2013 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

2 Sistemas de equações não-lineares Um sistema de equações não-lineares tem a forma f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0, f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0,. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0, com f i função de IR n em IR. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

3 Sistemas de equações não-lineares Um sistema de equações não-lineares pode ser representado definindo-se uma função F : IR n IR n, F (x) = f 1 (x 1, x 2,..., x n ) f 2 (x 1, x 2,..., x n ). f n (x 1, x 2,..., x n ). Desta forma, o sistema pode ser escrito como F (x) = 0. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

4 O sistema 3x 1 cos(x 2 x 3 ) 1 2 = 0, x1 2 81(x ) 2 + sen(x 3 ) = 0, e x 1x x π 3 3 = 0 pode ser escrito na forma F (x) = 0, definindo-se f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 3x 1 cos(x 2 x 3 ) 1 2, f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x (x ) 2 + sen(x 3 ) , f 3 (x 1, x 2, x 3 ) = e x 1x x π 3. 3 Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

5 Assim, o sistema pode ser escrito como F (x) = F (x 1, x 2, x 3 ) = f 1 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 (x 1, x 2, x 3 ) f 3 (x 1, x 2, x 3 ) 3x 1 cos(x 2 x 3 ) 1 2 x (x ) 2 + sen(x 3 ) e x 1x x π 3 3 = = Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

6 Informações preliminares Antes de vermos como resolver um sistema de equações não-lineares, precisamos de algumas informações sobre continuidade e diferenciabilidade de funções de IR n em IR. Definição 1: Seja f : D IR n IR. Diz-se que a função f tem limite L em x 0, denotado lim f (x) = L, x x 0 se, dado qualquer número ɛ > 0, existe um δ > 0 com sempre que x D e f (x) L < ɛ 0 < x x 0 < δ. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

7 Informações preliminares Qualquer norma pode ser usada na Definição 1. Uma mudança de normas implicará na mudança do valor de δ a ser escolhido, mas a existência de um δ independe da norma usada. Definição 2: Seja f : D IR n IR. A função f é contínua em x 0 D se o limite lim x x0 f (x) existe e lim x x 0 f (x) = f (x 0 ). Além disso, f é contínua em um conjunto D, denotado por f C(D), se f for contínua em cada ponto de D. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

8 Informações preliminares Definição 3: Seja F : D IR n IR n da forma f 1 (x) f 2 (x) F (x) =., f n (x) com f i : IR n IR para cada i = 1, 2,..., n. Definimos lim F (x) = L = (l 1, l 2,..., l n ) T x x 0 se, e somente se, lim x x0 f i (x) = l i, para cada i = 1, 2,..., n. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

9 Informações preliminares Teorema 1: Sejam f : D IR n IR e x 0 D. Se todas as derivadas parciais de f existirem e se existirem constantes δ > 0 e K > 0 tais que, sempre que x x 0 < δ e x D, tenhamos f (x) x j K, para j = 1, 2,..., n, então a função f é contínua em x 0. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

10 Informações preliminares Definição 4: A função G : D IR n IR n tem um ponto fixo em p D se G(p) = p. O Teorema 2, a seguir, combina as definições e teoremas apresentados até aqui e define um método para encontrar uma solução de um sistema de equações não-lineares, bem como as condições para que o método convirja. Este método é conhecido com Método Iterativo Linear. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

11 Método Iterativo Linear Teorema 2: Seja D = {(x 1, x 2,..., x n ) T a i x i b i, i = 1,..., n} para algum conjunto de constantes a 1,..., a n, b 1,..., b n. Suponha que G : D IR n IR n seja contínua, com a propriedade de que G(x) D, sempre que x D. Então G tem um ponto fixo em D. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

12 Método Iterativo Linear Teorema 2 (continuação): Suponha, além disso, que todas as funções componentes g i de G tenham derivadas parciais contínuas e que exista uma constante K < 1 com g i (x) x j K n, para todo x D, j = 1,..., n e i = 1,..., n. Então, a sequência {x (k) } k=0, definida por ( x (k) = G x (k 1)), para k 1 e x 0 D arbitrário, converge para o único ponto fixo p D e x (k) p K k 1 K x (0) x (1). Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

13 Considere o sistema não-linear 3x 1 cos(x 2 x 3 ) 1 2 = 0, x1 2 81(x ) 2 + sen(x 3 ) = 0, e x 1x x π 3 3 = 0. Se, em cada i-ésima equação, isolamos a variável x i, temos x 1 = 1 3 cos(x 2x 3 ) = g 1 (x), x 2 = 1 9 x1 2 + sen(x 3) = g 2 (x), x 3 = 1 20 e x 1x 2 10π 3 60 = g 3 (x). Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

14 Seja G : IR 3 IR 3 definida por G(x) = (g 1 (x 1, x 2, x 3 ), g 2 (x 1, x 2, x 3 ), g 3 (x 1, x 2, x 3 )) T. Usaremos os Teoremas 1 e 2 para mostrar que G tem um único ponto fixo em D = {(x 1, x 2, x 3 ) T 1 x i 1, i = 1, 2, 3}. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

15 Para todo x D, vale que g 1 (x) 1 3 cos(x 2x 3 ) , g 2 (x) = 1 x sen(x 3) sen(1) < 0.09, g 3 (x) = 1 20 e x 1x π e1 + 10π 3 60 < Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

16 Portanto, para todo x D, temos que G(x) D. Vamos, agora, calcular os limitantes das derivadas parciais de g 1, g 2 e g 3, quando calculadas em pontos x D. Como g 1 (x) x 1 = g 2(x) x 2 = g 3(x) x 3 = 0, temos que, para todo x D, g 1 (x) x 1 = g 2 (x) x 2 = g 3 (x) x 3 = 0. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

17 Como g 1 (x) x 2 = 1 3 x 3sen(x 2 x 3 ), temos que, para todo x D, g 1 (x) x x 3 sen(x 2 x 3 ) 1 sen(1) < Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

18 Como g 1 (x) x 3 = 1 3 x 2sen(x 2 x 3 ), temos que, para todo x D, g 1 (x) x x 2 sen(x 2 x 3 ) 1 sen(1) < Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

19 Como g 2 (x) x 1 = x 1 9 x1 2 + sen(x 3) , temos que, para todo x D, g 2 (x) x 1 = x 1 9 x1 2 + sen(x 3) < < Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

20 Como g 2 (x) x 3 = cos(x 3 ), 18 x1 2 + sen(x 3) temos que, para todo x D, g 2 (x) x 3 = cos(x 3 ) 18 x1 2 + sen(x 3) < < Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

21 Como g 3 (x) x 1 = 1 20 x 2e x 1x 2, temos que, para todo x D, g 3 (x) x x 2 e x 1x e < Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

22 Como g 3 (x) x 2 = 1 20 x 1e x 1x 2, temos que, para todo x D, g 3 (x) x x 1 e x 1x e < Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

23 Ou seja, as derivadas de g 1, g 2 e g 3 são limitadas em D e, pelo Teorema 1, g 1, g 2 e g 3 são contínuas em D. Consequentemente, a função G é contínua em D. Além disso, para todo x D, para i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3. g i (x) x j 0.281, Portanto, tomando K = = 0.843, vale a segunda parte do Teorema 2. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

24 Do mesmo modo, podemos mostrar que as derivadas parciais g i (x) x j, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, são contínuas. Assim, pelo Teorema 2, temos que G tem um único ponto fixo em D. O que significa que o sistema não-linear original tem solução. Note que o fato de o ponto fixo ser único não quer dizer que o sistema não-linear tenha solução única. Isso porque a definição das funções g 1, g 2 e g 3 podem variar. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

25 Para aproximar o ponto fixo de G em D, usamos x (0) = (0.1, 0.1, 0.1) T. Os iterandos são gerados usando x (k) 1 = 1 (k 1) cos(x 2 x (k 1) 3 ) , x (k) 2 = 1 ( x (k 1) 1 9 x (k) 3 = 1 ) 2 + sen ( (k 1) 20 e x 1 x (k 1) x (k 1) 3 ) , 2 10π Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26

26 A tabela a seguir mostra os resultados do uso do Método Iterativo Linear. Os iterandos foram gerados até que a condição x (k) x (k 1) < 10 5 fosse satisfeita. k (x (k) ) T x (k) x (k 1) 0 ( , , ) 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 18 de setembro de / 26