Geração de Malhas SME5827. Geração de Grid. Afonso Paiva ICMC-USP
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1 Geração de Malhas SME5827 Geração de Grid Afonso Paiva ICMC-USP 13 de setembro de 2013
2 Motivação Dadas as fronteiras do domínio físico D f como construir uma transformação de coordenadas (mapeamento) com o domínio computacional D c? η 1 Domínio Computacional Domínio Físico y 0 1 ξ x r = r(ξ, η) = { x = x(ξ, η) y = y(ξ, η)
3 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear Precisamos mapear o quadrado unitário na região ABCD de D f usando transformações conhecidas como projetores. η ξ B D A y x C
4 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear Precisamos mapear o quadrado unitário na região ABCD de D f usando transformações conhecidas como projetores. Mapear os lados ξ = 0 e ξ = 1 nos lados AB r(0, η) e CD r(1, η), respectivamente, usando o projetor P ξ definido como: η ξ P ξ (r) = P ξ (ξ, η) = (1 ξ) r(0, η) + ξ r(1, η) B D A y x C
5 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear Precisamos mapear o quadrado unitário na região ABCD de D f usando transformações conhecidas como projetores. Mapear os lados ξ = 0 e ξ = 1 nos lados AB r(0, η) e CD r(1, η), respectivamente, usando o projetor P ξ definido como: η ξ P ξ (r) = P ξ (ξ, η) = (1 ξ) r(0, η) + ξ r(1, η) B Mapear os lados η = 0 e η = 1 nos lados AC r(ξ, 0) e BD r(ξ, 1), respectivamente, usando o projetor P η definido como: P η (r) = P η (ξ, η) = (1 η) r(ξ, 0) + η r(ξ, 1) y A x C D
6 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear A interpolação bilinear é feita usando a transformação composta P η P ξ :
7 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear A interpolação bilinear é feita usando a transformação composta P η P ξ : P η (P ξ (r)) = P η ((1 ξ) r(0, η) + ξ r(1, η))
8 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear A interpolação bilinear é feita usando a transformação composta P η P ξ : P η (P ξ (r)) = P η ((1 ξ) r(0, η) + ξ r(1, η)) = (1 ξ) P η (r(0, η)) + ξ P η (r(1, η))
9 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear A interpolação bilinear é feita usando a transformação composta P η P ξ : P η (P ξ (r)) = P η ((1 ξ) r(0, η) + ξ r(1, η)) = (1 ξ) P η (r(0, η)) + ξ P η (r(1, η)) = (1 ξ) [(1 η) r(0, 0) + η r(0, 1)] + ξ [(1 η) r(1, 0) + η r(1, 1)]
10 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear A interpolação bilinear é feita usando a transformação composta P η P ξ : P η (P ξ (r)) = P η ((1 ξ) r(0, η) + ξ r(1, η)) = (1 ξ) P η (r(0, η)) + ξ P η (r(1, η)) = (1 ξ) [(1 η) r(0, 0) + η r(0, 1)] + ξ [(1 η) r(1, 0) + η r(1, 1)] = (1 ξ) (1 η) r(0, 0) + (1 ξ) η r(0, 1) + ξ (1 η) r(1, 0) + ξ η r(1, 1)
11 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear A interpolação bilinear é feita usando a transformação composta P η P ξ : η 1 P η (P ξ (r)) = P η ((1 ξ) r(0, η) + ξ r(1, η)) = (1 ξ) P η (r(0, η)) + ξ P η (r(1, η)) = (1 ξ) [(1 η) r(0, 0) + η r(0, 1)] + ξ [(1 η) r(1, 0) + η r(1, 1)] = (1 ξ) (1 η) r(0, 0) + (1 ξ) η r(0, 1) + ξ (1 η) r(1, 0) + ξ η r(1, 1) = (1 ξ) (1 η) A + (1 ξ) η B + ξ (1 η) C + ξ η D 0 A y x B C 1 ξ D
12 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear A interpolação bilinear é feita usando a transformação composta P η P ξ : η 1 P η (P ξ (r)) = P η ((1 ξ) r(0, η) + ξ r(1, η)) = (1 ξ) P η (r(0, η)) + ξ P η (r(1, η)) = (1 ξ) [(1 η) r(0, 0) + η r(0, 1)] + ξ [(1 η) r(1, 0) + η r(1, 1)] = (1 ξ) (1 η) r(0, 0) + (1 ξ) η r(0, 1) + ξ (1 η) r(1, 0) + ξ η r(1, 1) = (1 ξ) (1 η) A + (1 ξ) η B + ξ (1 η) C + ξ η D Problema: apenas os vértices A, B, C e D são preservados e as fronteiras de D f são substituídas por segmentos de reta. y 0 A x B C 1 ξ D
13 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear Como gerar um grid no domínio físico abaixo? (0,2) (1,2) (3,2) (1,1) (3,1) (0,0) (2,0)
14 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear Como gerar um grid no domínio físico abaixo? (0,2) (1,2) (3,2) P1 (1,1) P2 P3 (3,1) (0,0) (2,0) Quebre o domínio em blocos
15 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear Como gerar um grid no domínio físico abaixo? P14 P13 P33 P1 P12 P24 P23 P34 P3 P32 P11 P2 P31 P21 P22 Agora use interpolação bilinear em cada bloco Não esqueça da condição de consistência nos vértices: P11 = P21, P12 = P24, P22 = P31, P23 = P34
16 Métodos Algébricos: Interpolação Bilinear Como gerar um grid no domínio físico abaixo? (0,2) (1,2) (3,2) (1,1) (3,1) (0,0) (2,0) Finalmente o grid!
17 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Vamos mapear o quadrado unitário na região curvílinea ABCD de D f. η 1 B D A 0 1 ξ y x C
18 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Vamos mapear o quadrado unitário na região curvílinea ABCD de D f. η 1 B D A 0 1 ξ y x C Para isso vamos usar TFI que é dada através da soma Booleana de P ξ e P η :
19 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Vamos mapear o quadrado unitário na região curvílinea ABCD de D f. η 1 B D A 0 1 ξ y x C Para isso vamos usar TFI que é dada através da soma Booleana de P ξ e P η : P ξ P η = P ξ + P η P ξ P η
20 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Dessa forma, temos: (P ξ P η )(r) = P ξ (r) + P η (r) P ξ P η (r)
21 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Dessa forma, temos: (P ξ P η )(r) = P ξ (r) + P η (r) P ξ P η (r) = (1 ξ) r(0, η) + ξ r(1, η) + (1 η) r(ξ, 0) + η r(ξ, 1) (1 ξ) (1 η) r(0, 0) (1 ξ) η r(0, 1) ξ (1 η) r(1, 0) ξ η r(1, 1)
22 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Implementação B η r (η) l r (ξ) t D ξ y A x r (ξ) b C r (η) r
23 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Implementação B η r (η) l r (ξ) t D ξ y A x r (ξ) b C r (η) r Condição de consistência nos vértices do domínio físico: r b (0) = r l (0), r b (1) = r r (0), r t (0) = r l (1), r t (1) = r r (1)
24 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Implementação Tomando valores discretos de ξ e η como:
25 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Implementação Tomando valores discretos de ξ e η como: ξ i = i 1 m 1 com i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n. η j = j 1 n 1
26 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Implementação Tomando valores discretos de ξ e η como: ξ i = i 1 m 1 com i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n. η j = j 1 n 1 Podemos reescrever a TFI da seguinte forma:
27 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Implementação Tomando valores discretos de ξ e η como: ξ i = i 1 m 1 com i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n. η j = j 1 n 1 Podemos reescrever a TFI da seguinte forma: (P ξ P η )(ξ i, η j ) = (1 ξ i ) r l (η j ) + ξ i r r (η j ) + (1 η j ) r b (ξ i ) + η j r t (ξ i ) (1 ξ i ) (1 η j ) r b (0) (1 ξ i ) η j r t (0) ξ i (1 η j ) r b (1) ξ i η j r t (1)
28 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Resultados: Swan r b (s) = (s, 0) r t (s) = (s, 1 3s + 3s 2 ) r l (s) = (0, s) r r (s) = (1 + 2s 2s 2, s)
29 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Resultados: Swan r b (s) = (s, 0) r t (s) = (s, 1 3s + 3s 2 ) r l (s) = (0, s) r r (s) = (1 + 2s 2s 2, s) Problema: as linhas do grid se dobram.
30 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Resultados: Chevron r b (s) = (s, c 1 (s)) r t (s) = (s, c 2 (s)) r l (s) = (0, s) r r (s) = (1, s) { s, s 1/2 c 1 (s) = s 1, s > 1/2 { 1 s, s 1/2 c 2 (s) = s, s > 1/2
31 Métodos Algébricos: Interpolação Transfinita (TFI) Resultados: Chevron r b (s) = (s, c 1 (s)) r t (s) = (s, c 2 (s)) r l (s) = (0, s) r r (s) = (1, s) { s, s 1/2 c 1 (s) = s 1, s > 1/2 { 1 s, s 1/2 c 2 (s) = s, s > 1/2 Problema: a não suavidade (singularidades) da fronteira é propagada para o interior do grid.
32 Métodos Diferenciais: Geração de Grid Elíptico Nesse método a geração de grid é dada através da solução de EDPs elípticas.
33 Métodos Diferenciais: Geração de Grid Elíptico Nesse método a geração de grid é dada através da solução de EDPs elípticas. A transformação inversa ξ(x, y) e η(x, y) é definida como a solução do par de Equações de Laplace: ξ = 0 e η = 0 (1)
34 Métodos Diferenciais: Geração de Grid Elíptico Nesse método a geração de grid é dada através da solução de EDPs elípticas. A transformação inversa ξ(x, y) e η(x, y) é definida como a solução do par de Equações de Laplace: ξ = 0 e η = 0 (1) Pelo Princípio do Máximo o máximo e mínimo de ξ e η não ocorrem no interior de D f.
35 Métodos Diferenciais: Geração de Grid Elíptico Nesse método a geração de grid é dada através da solução de EDPs elípticas. A transformação inversa ξ(x, y) e η(x, y) é definida como a solução do par de Equações de Laplace: ξ = 0 e η = 0 (1) Pelo Princípio do Máximo o máximo e mínimo de ξ e η não ocorrem no interior de D f. Se as fronteiras de D f variam de forma suave e monótona as linhas do grid variam de forma suave e monótona também (sem dobras!).
36 Métodos Diferenciais: Geração de Grid Elíptico Proposição (no quadro) ( x i ) y k x i = g ij y k x i x j
37 Métodos Diferenciais: Geração de Grid Elíptico Proposição (no quadro) ( x i ) y k x i = g ij y k x i x j Usando a proposição anterior e as Eqs. (1), ao invés de resolver (1), resolvemos as equações elípticas abaixo:
38 Métodos Diferenciais: Geração de Grid Elíptico Proposição (no quadro) ( x i ) y k x i = g ij y k x i x j Usando a proposição anterior e as Eqs. (1), ao invés de resolver (1), resolvemos as equações elípticas abaixo: Equações de Winslow (no quadro) 2 x g 22 ξ 2 2g 2 x 12 ξ η + g 2 x 11 η 2 = 0 2 y g 22 ξ 2 2g 2 y 12 ξ η + g 2 y 11 η 2 = 0
39 Métodos Diferenciais: Geração de Grid Elíptico Proposição (no quadro) ( x i ) y k x i = g ij y k x i x j Usando a proposição anterior e as Eqs. (1), ao invés de resolver (1), resolvemos as equações elípticas abaixo: Equações de Winslow (no quadro) 2 x g 22 ξ 2 2g 2 x 12 ξ η + g 2 x 11 η 2 = 0 2 y g 22 ξ 2 2g 2 y 12 ξ η + g 2 y 11 η 2 = 0 Observação: enquanto as Eqs. (1) são lineares, as Equações de Winslow são em geral não-lineares por conta do tensor g ij.
40 Solução Numérica das Equações de Winslow 1. Discretizar ξ e η em D c : obtenha os valores ξ i e η j em um grid retangular [0, 1] [0, 1];
41 Solução Numérica das Equações de Winslow 1. Discretizar ξ e η em D c : obtenha os valores ξ i e η j em um grid retangular [0, 1] [0, 1]; 2. Gerar um chute inicial para os valores x i,j e y i,j em D f usando TFI;
42 Solução Numérica das Equações de Winslow 1. Discretizar ξ e η em D c : obtenha os valores ξ i e η j em um grid retangular [0, 1] [0, 1]; 2. Gerar um chute inicial para os valores x i,j e y i,j em D f usando TFI; 3. Discretize as Equações de Winslow usando diferenças finitas;
43 Solução Numérica das Equações de Winslow 1. Discretizar ξ e η em D c : obtenha os valores ξ i e η j em um grid retangular [0, 1] [0, 1]; 2. Gerar um chute inicial para os valores x i,j e y i,j em D f usando TFI; 3. Discretize as Equações de Winslow usando diferenças finitas; 4. Resolva o sistema de equações usando um método iterativo (Jacobi, SOR, Thomas, Gradiente Conjugado) sujeito a condições de contorno.
44 Solução Numérica das Equações de Winslow i,j+1 Discretização com diferenças finitas i-1,j i,j i+1,j i,j-1
45 Solução Numérica das Equações de Winslow i,j+1 Discretização com diferenças finitas i-1,j i,j i+1,j i,j-1 Diferenças finitas centradas de primeira ordem no cálculo da métrica g ij [ ( x ) 2 (g 11 ) i,j = + ξ ( ) ] y 2 = ξ i,j ( ) xi+1,j x 2 ( i 1,j yi+1,j y i 1,j + 2δξ 2δξ ) 2
46 Solução Numérica das Equações de Winslow i,j+1 Discretização com diferenças finitas i-1,j i,j i+1,j i,j-1 Diferenças finitas centradas de primeira ordem no cálculo da métrica g ij [ ( x ) 2 (g 11 ) i,j = + ξ ( ) ] y 2 = ξ i,j ( ) xi+1,j x 2 ( i 1,j yi+1,j y i 1,j + 2δξ 2δξ ) 2 [ ( x ) 2 (g 22 ) i,j = + η ( ) ] y 2 = η i,j ( ) xi,j+1 x 2 ( i,j 1 yi,j+1 y i,j 1 + 2δη 2δη ) 2
47 Solução Numérica das Equações de Winslow i,j+1 Discretização com diferenças finitas i-1,j i,j i+1,j i,j-1 Diferenças finitas centradas de primeira ordem no cálculo da métrica g ij (g 12 ) i,j = = + [ x x ξ η + y ] y ξ η i,j ( ) ( ) xi+1,j x i 1,j xi,j+1 x i,j 1 2δξ 2δη ( ) ( ) yi+1,j y i 1,j yi,j+1 y i,j 1 2δξ 2δη
48 Solução Numérica das Equações de Winslow i,j+1 Discretização com diferenças finitas i-1,j i,j i+1,j i,j-1 Diferenças finitas centradas de segunda ordem
49 Solução Numérica das Equações de Winslow i,j+1 Discretização com diferenças finitas i-1,j i,j i+1,j i,j-1 Diferenças finitas centradas de segunda ordem ( 2 ) x = x i+1,j 2x i,j + x i 1,j ξ 2 i,j δξ 2
50 Solução Numérica das Equações de Winslow i,j+1 Discretização com diferenças finitas i-1,j i,j i+1,j i,j-1 Diferenças finitas centradas de segunda ordem ( 2 ) x ξ 2 = x i+1,j 2x i,j + x i 1,j δξ 2 ( 2 ) x η 2 i,j i,j = x i,j+1 2x i,j + x i,j 1 δη 2
51 Solução Numérica das Equações de Winslow i,j+1 Discretização com diferenças finitas i-1,j i,j i+1,j i,j-1 Diferenças finitas centradas de segunda ordem ( 2 ) x ξ 2 = x i+1,j 2x i,j + x i 1,j δξ 2 ( 2 ) x η 2 i,j i,j = x i,j+1 2x i,j + x i,j 1 δη 2 ( 2 ) x = x i+1,j+1 + x i 1,j 1 x i 1,j+1 x i+1,j 1 ξ η i,j 4 δξ δη
52 Solução Numérica das Equações de Winslow i,j+1 Discretização com diferenças finitas i-1,j i,j i+1,j i,j-1 Diferenças finitas centradas de segunda ordem ( 2 ) x ξ 2 = x i+1,j 2x i,j + x i 1,j δξ 2 ( 2 ) x η 2 i,j i,j = x i,j+1 2x i,j + x i,j 1 δη 2 ( 2 ) x = x i+1,j+1 + x i 1,j 1 x i 1,j+1 x i+1,j 1 ξ η i,j 4 δξ δη Segue de forma análoga para 2 y ξ 2, 2 y η 2 e 2 y ξ η.
53 Solução Numérica das Equações de Winslow Escrevendo g 22 2 x ξ 2 + g 11 2 x η 2 2g 12 2 x ξ η = 0 com diferenças finitas:
54 Solução Numérica das Equações de Winslow Escrevendo g 22 2 x ξ 2 + g 11 2 x η 2 2g 12 2 x ξ η = 0 com diferenças finitas: 0 = (g 22 ) i,j x i+1,j 2x i,j + x i 1,j δξ 2 + (g 11 ) i,j x i,j+1 2x i,j + x i,j 1 δη 2 2(g 12 ) i,j x i+1,j+1 + x i 1,j 1 x i 1,j+1 x i+1,j 1 4 δξ δη
55 Solução Numérica das Equações de Winslow Escrevendo g 22 2 x ξ 2 + g 11 2 x η 2 2g 12 2 x ξ η = 0 com diferenças finitas: 0 = (g 22 ) i,j x i+1,j 2x i,j + x i 1,j δξ 2 + (g 11 ) i,j x i,j+1 2x i,j + x i,j 1 δη 2 2(g 12 ) i,j x i+1,j+1 + x i 1,j 1 x i 1,j+1 x i+1,j 1 4 δξ δη Reorganizando os termos, onde 0 = a i,j (x i+1,j 2x i,j + x i 1,j ) + c i,j (x i,j+1 2x i,j + x i,j 1 ) 0.5 b i,j (x i+1,j+1 + x i 1,j 1 x i 1,j+1 x i+1,j 1 ) a i,j = 4 δη 2 (g 22 ) i,j, b i,j = 4 δξδη (g 12 ) i,j, c i,j = 4 δξ 2 (g 11 ) i,j
56 Solução Numérica das Equações de Winslow 0 = a i,j (x i+1,j 2x i,j + x i 1,j ) + c i,j (x i,j+1 2x i,j + x i,j 1 ) 0.5 b i,j (x i+1,j+1 + x i 1,j 1 x i 1,j+1 x i+1,j 1 )
57 Solução Numérica das Equações de Winslow 0 = a i,j (x i+1,j 2x i,j + x i 1,j ) + c i,j (x i,j+1 2x i,j + x i,j 1 ) 0.5 b i,j (x i+1,j+1 + x i 1,j 1 x i 1,j+1 x i+1,j 1 ) Iteração do Método de Jacobi para equação acima: x (k+1) i,j = 1 2(a i,j + c i,j ) ( ) ( ) [a i,j x (k) i+1,j + x (k) i 1,j + c i,j x (k) i,j+1 + x (k) i,j 1 )] 0.5 b i,j ( x (k) i+1,j+1 + x (k) i 1,j 1 x (k) i 1,j+1 x (k) i+1,j 1
58 Solução Numérica das Equações de Winslow 0 = a i,j (x i+1,j 2x i,j + x i 1,j ) + c i,j (x i,j+1 2x i,j + x i,j 1 ) 0.5 b i,j (x i+1,j+1 + x i 1,j 1 x i 1,j+1 x i+1,j 1 ) Iteração do Método de Jacobi para equação acima: x (k+1) i,j = 1 2(a i,j + c i,j ) ( ) ( ) [a i,j x (k) i+1,j + x (k) i 1,j + c i,j x (k) i,j+1 + x (k) i,j 1 )] 0.5 b i,j ( x (k) i+1,j+1 + x (k) i 1,j 1 x (k) i 1,j+1 x (k) i+1,j 1 Segue de forma análoga para o cálculo dos valores de y i,j.
59 Solução Numérica das Equações de Winslow Resultados: sem dobras e suave!
60 Solução Numérica das Equações de Winslow Problema: como resolver? melhorar o refinamento
61 Solução Numérica das Equações de Winslow Problema: como resolver? Trabalho 2. ;-) melhorar o refinamento
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