Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC /TCC

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1 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC /TCC Aulas 2 e 3 Conteúdo Geometria Projetiva 2D Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em Tópicos da Aula Espaço projetivo 2D Pontos, retas e cônicas Transformações e invariantes Leituras Hartley and Zissermann, 2nd ed., 2004, Seções 2.1 a 2.4 TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 2 1

2 Geometria Projetiva 2D Espaço Projetivo 2D TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 3 Espaço Euclidiano e Espaço Projetivo 2D Representação Euclidiana Representação Homogênea P TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 4 2

3 Pontos Finitos e Direções Representação Euclidiana Representação Homogênea x x u u x /, / u, x,,, para 0 u,, 0 TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 5 Retas Representação Euclidiana Representação Homogênea l l l,, 0 l,, x l 0 TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 6 3

4 Produto Vetorial kuv u v v uv u k uv TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 7 Reta Comum a Dois Pontos l x x l Válido apenas em P. TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 8 4

5 Intersecção de Retas x x l l Válido apenas em P. TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 9 Dualidade entre Pontos e Retas Princípio da dualidade x x l0 xll Para qualquer teorema de geometria projetiva 2D há um teorema dual que pode ser derivado pela troca de papéis de linhas e pontos no teorema original. Válido apenas em P. TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 10 5

6 Cônicas Elipse Parábola Hipérbole Cônicas não degeneradas. TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 11 Cônicas Curvas descritas no plano pela equação 0 onde x,, 1 é um ponto sobre a curva Forma homogênea 0 Forma matricial /2 /2 /2 /2 /2 /2 x x 0 TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 12 6

7 Cinco Pontos Definem uma Cônica Para cada ponto contigo na cônica temos 0 ou,,,,,1 c0 que leva ao sistema de equações c0 para c,,,,, TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 13 Retas Tangentes a Cônicas A reta l é tangente a cônica no ponto x pertencente à é dada por l x x l TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 14 7

8 Cônicas Duais Uma linha tangente a cônica satisfaz l l 0 Para matriz simétrica não-singular TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 15 Cônicas Degeneradas A cônica é degenerada se a matriz não tem posto completo Par de linhas l e m (posto 2) l m m l m l Linhas repetidas (posto 1) l l l Para cônicas degeneradas. TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 16 8

9 Geometria Projetiva 2D Transformações e Invariantes TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 17 Transformação Projetiva Transformação projetiva é um mapeamento P P que pode ser representada por uma matriz nãosingular e 33, de tal modo que para qualquer ponto em P representado por um vetor x x x Transformação projetiva e homografia são sinônimos. TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 18 9

10 Transformação de Pontos x x,,,,,,,,, possui graus de liberdade. TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 19 Mapeamento entre Planos Exemplo de Projeção Central x x TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 20 10

11 Remoção de Distorção Projetiva Com distorção Sem distorção Manipule x xalgebricamente para cada um dos quatro pares de pontos nas imagens e normalize para obter =1. As oito equações obtidas forram um sistema sobre os coeficientes de. Resolva o sistema. Aplique sobre cada ponto da imagem com distorção para obter a imagem sem distorção. Calibração desnecessária. TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 21 Transformação de Retas e Cônicas Transformação de pontos x x Transformação de retas l Transformação de cônicas Transformação de cônicas duais TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 22 11

12 Hierarquia de Transformações Isometrias / Corpo Rígido / Euclidiana Preserva distâncias, ângulos e áreas Isometrias Translação Identidade Rotação TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 23 Hierarquia de Transformações Homotetias Preserva razões entre distâncias, razões entre áreas, ângulos e linhas paralelas Homotetias Isometrias Translação Identidade Rotação Escala Isotrópica TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 24 12

13 Hierarquia de Transformações Transformações Afins Preserva paralelismo, razões entre distâncias paralelas e entre áreas Homotetias Afins Isometrias Identidade Translação Rotação Escala Isotrópica Escala não-isotrópica Reflexão Cisalhamento TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 25 Hierarquia de Transformações Transformações Projetivas Preserva retas e razão anarmônica de quatro pontos em uma reta Projetivas Afins Homotetias Isometrias Identidade Translação Rotação Escala Isotrópica Escala não-isotrópica Reflexão Cisalhamento Perspectiva TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 26 13

14 Representação Matricial das Transformações Isometria 3 dof ε cos sin ε sin cos ε 1, 1, preserva orientação não preserva orientação Homotetia 4 dof s cos sin sin cos Afim 6 dof Projetiva 8 dof,,,, 0 0 1,,,,,,,, 0 0 TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 27 14