Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC /TCC

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1 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC /TCC Aula 5 Conteúdo Geometria Projetiva 3D Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em Tópicos da Aula Pontos, retas, planos e quádricas Transformações Decomposição em valores singulares (SVD) Leituras Hartley and Zissermann, 2nd ed., 2004, Seções 3.1 a 3.8 TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 2 1

2 Geometria Projetiva 3D Espaço Projetivo 3D TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 3 Espaço Euclidiano e Espaço Projetivo 3D Representação Homogênea P 2D Representação Euclidiana Representação Homogênea P 3D Representação Euclidiana TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 4 2

3 Pontos Pontos próprios (finitos) em 3D,, X,,, P, para 0 o Ponto normalizado: Pontos impróprios (direções) em 3D,, X,,, 0 P Transformação projetiva: X TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 5 Planos Planos em 3D 0em 0em P, ou X0 o,,, P Significado dos coeficientes Transformação projetiva: TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 6 3

4 Planos a Partir de Pontos e Vice-Versa Dados os pontos X, X e X, resolva Como o espaço nulo direito da matriz X,X,X 0 (SVD) A partir da condição de coplanaridade det 0 (cofatores) TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 7 Decomposição em Valores Singulares (SVD) No exemplo,. TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 8 4

5 Algumas aplicações da SVD Espaço vetorial gerado (span) e espaço nulo U U, U U V V, V V Mínimos-quadrados homogêneos min X sujeito a X 1, solução XV Inversa e pseudo-inversa Posto rank rank TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 9 Planos a Partir de Pontos e Vice-Versa Dados os pontos X, X e X, resolva Como o espaço nulo direito da matriz X,X,X 0 A partir da condição de coplanaridade (SVD) det 0 (cofatores) TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 10 5

6 Cofator Em uma matriz quadrada, o cofator C, é dado por 1 M,, onde M, é o menor, de Exemplo C,,,,,,,,,,,,,,,,, C, C, C, C, 0 C,,C,,C,,C, TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 11 Retas Retas em 3D Representação direta (a partir de pontos) W A B Representação dual (a partir de planos) W P Q Transformação projetiva: Transformação projetiva: W W TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 12 6

7 Pontos, Retas e Planos Plano que contém reta W e ponto X W X 0 Ponto de intersecção X entre a reta W e o plano W X 0 TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 13 Dualidade Ponto Reta Plano TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 14 7

8 Quádricas Elipse Projetivamente equivalentes à esfera Esfera Hiperboloide de Duas Folhas Paraboloide Topologicamente equivalentes ao toro Hiperboloides de Uma Folha Degeneradas Cone Dois Planos TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 15 Quádricas Quádricas em 3D 0 em 0 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 em P, ou X X 0 TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 16 8

9 Quádricas Plano polo-polar: X Quádrica dual: (não degenerado) plano quádrica cônica:, para 0 Transformação projetiva: TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 17 Geometria Projetiva 3D Transformações TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 18 9

10 Hierarquia de Transformações Isometria 6 dof Homotetia 7 dof Afim 12 dof Projetiva 15 dof R t 0 1 R t 0 1 A t 0 1 A v t Volume A cônica absoluta Paralelismo de planos, razão entre volumes, centroides, o plano no infinito Intersecções e tangência TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 19 Geometria Projetiva 3D Plano, Cônica e Quádrica no Infinito TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 20 10

11 O Plano no Infinito O plano no infinito é fixo sob transformações afins i.e., ele permanece no infinito após a transformação π π 0 t 1 A interseção de planos paralelos é um reta em A interseção de retas paralelas ou reta e planos paralelos é um ponto em π TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 21 A Cônica Absoluta A cônica absoluta é fixa sob homotetias não possui pontos reais Círculos intersectam em dois pontos Esferas intersectam em Propriedades métricas cos e são as direções das retas e. TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 22 11

12 A Quádrica Dual Absoluta A quádrica dual absoluta é fixa sob homotetias 8 dof O plano no infinito é vetor nulo de Propriedades métricas cos TIC /TCC Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 23 12