Álgebra Linear /2 Turma 11852
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- Raphaella Vilarinho
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1 Álgebra Linear 2 202/2 Turma 852 Planejamento (última revisão: 26/0/202) Os exercícios correspondentes a cada aula serão cobrados oralmente na aula seguinte e valem nota Todas as referências e exercícios numerados se referem ao meu livro de Álgebra Linear Este planejamento (inclusive o cronograma) pode ser alterado nas próximas semanas Aula (6 de outubro) Introdução geral, espaços vetoriais, R n, base canônica, expressão de un vetor de R n como combinação linear da base canônica Cap () Seja d um inteiro natural Verdade ou falso (justificar ou apresentar contraexemplo) O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a d é um espaço vetorial? (2) Mesma pergunta com o conjunto dos polinômios de grau exatamente igual a d (3) Mesma pergunta com o conjunto dos polinômios de grau qualquer (4) Mesma pergunta com o conjunto dos polinômios de grau 7 na variável t, que se anulam para t = 0 e para t = 5 Aula 2 (8 de outubro) Aplicações Lineares Composição L(R n, R m ) Produto matricial Cap () Seja (E, +, ) um espaço vetorial Seja E o conjunto das aplicações lineares de (E, +, ) em (R, +, ) Mostre que (E, +, ) é um espaço vetorial (2) Mostre que, se uma aplicação linear A L(E, E) tem inversas à esquerda e à direita, então essas inversas são iguais Deduza que, se A tem inversa à esquerda e à direita, então a inversa é única (3) Encontre um exemplo de A L(R 2, R ) com duas inversas diferentes à direita e nenhuma inversa à esquerda (4) Seja (E, +, ) um espaço vetorial Mostre que o conjunto das aplicações lineares inversíveis de E em E não é um espaço vetorial Aula 3 (23 de outubro) Revisão de geometria analítica: pontos Segmentos e retas: equação paramétrica Equação implícita Por dois pontos distintos passa uma e apenas uma reta Retas paralelas Axioma das paralelas e sua prova em geometria analítica Contra-exemplo no plano de Poincaré Cap 2 () Quais são as equações implícitas da reta (no espaço) passando pelos pontos A e B? (2) Quando é que dois conjuntos de equações implícitas representam a mesma reta em R 3? (3) Qual é a equação implícita do plano (no espaço) passando pelos pontos A, B e C? (Assuma esses pontos não alinhados) (4) Quando duas equações implícitas representam o mesmo plano?
2 2 Aula 4 (25 de outubro) Produto interno e norma associada Normas em geral Teorema de Cauchy-Buniakovskii-Schwartz Ângulos e normas Cap 3 () Seja u um vetor diferente de zero Mostre que v pertence à reta {λu : λ R} se e somente se u, v = u v (2) Sejam A e B pontos diferentes do plano Ache a equação dos pontos equidistantes a A e B O lugar geométrico desses pontos é chamado de mediatriz do segmento [A, B] Deduzir que a mediatriz de um segmento é sempre uma reta (3) Seja u um vetor diferente de zero em R n Ache a equação do hiperplano de vetores ortogonais a u (4) A transposta de uma matriz A de tamanho m n é a matriz A T de tamanho n m definida por: (A T ) ij = A ji Mostre que se, R k é o produto interno canônico, então: Au, v R m = u, A T v R n Deduza que (AB) T = B T A T Aula 5 (30 de outubro) Movimentos rígidos: definição e caracterização Cap 3 () Mostre que todas as matrizes ortogonais 2 2 são da forma [ ] [ ] cos(θ) sen(θ) cos(θ) sen(θ) ou sen(θ) cos(θ) sen(θ) cos(θ) (2) Seja C = {(, ); (, +); (+, +); (+, )} Ache todos os movimentos rígidos que levam todos os pontos de C em pontos de C (3) Escreva as matrizes 3 3 representando uma rotação de ângulo π/3 no eixo do vetor e 2 (4) Seja Q uma rotação, seguida por uma translação de v Escreva esse movimento rígido como uma translação seguida de uma rotação Aula 6 ( de novembro) Sistemas de equações e fatoração LU Ineficiência da regra de Cramer Cap 4 () Qual é o conjunto de soluções do sistema abaixo? 2 4 x = (2) Qual é o conjunto de soluções do sistema abaixo? x = Interprete geometricamente (3) Use a formulação matricial para encontrar uma condição necessária e suficiente para duas retas a i x + b i y + c i = 0 no plano serem paralelas (4) Seja A = LU uma matriz simétrica e inversível Mostre que U = DL T, onde D é uma matriz diagonal
3 Aula 7 (6 de novembro) Matrizes de permutação Relação com permutações Admitiremos o lema da paridade das permutações Definição de grupo Cap 5 () Mostrar que existem n matrizes de permutação n n (2) Seja G o conjunto das matrizes da forma l l l n 0 0 Mostre que o produto de dois elementos de G está em G (3) Mostre que para todo A G, existe B G tal que BA = AB = I Deduza que G é um grupo (4) Seja P uma matriz de permutação, mostre que para todo A G, P AP G Aula 8 (8 de novembro) Fatoração PLU Cap 6 () Ache uma fatoração P LU de A = (2) Ache uma fatoração P LU de A = (3) Usando a fatoração P LU, ache o conjunto das soluções de Ax = b, onde 3 2 A = 3 7, e b = (4) Mesma pergunta, b = 3 Aula 9 (3 de novembro) Fatoração PLUP Cap 6 () Seja A = P LUP Qual é a fatoração P LUP de A T? (Assuma U inversível) [ ] (2) Se A = P LUP com U =, qual é a solução geral de Ax = b? (3) Ache uma fatoração A = P LUP de 4 2 A = (4) Quando é que a equação P LUP x = b admite soluções? 5 de novembro: Proclamação da República 20 de novembro: Dia da consciência negra 3
4 4 Aula 0 (22 de novembro) Subespaços vetoriais Núcleo e imagem Cap 7 () Exiba o núcleo a a imagem de (2) Exiba o núcleo a a imagem de (3) Mostre que o núcleo de uma matriz A é o espaço dos vetores ortogonais a todas as linhas de A (4) Qual é a relação entre ker(ba) e ker(a)? Entre ker(a T A) e ker A? 27 de novembro: Estarei fora do Rio Aula (29 de novembro) Dimensão Bases Cap 8 () Mostre que as colunas de uma matriz A são linearmente independentes se e somente se ker(a) = {0} (2) Ache uma base do núcleo de A = (3) Seja A = P LUP Como você poderia produzir uma base da imagem de A? (4) Seja W um subespaço de R n Mostre que qualquer cadeia de inclusões de subespaços V 0 V V r V r = W é tal que r n Aula 2 (4 de dezembro) Teorema do posto Forma escada Cap () Achar a forma escada da matriz (2) Mostre que um sistema de equações Ax = b (com A não necessariamente quadrada) tem soluçao se e somente se o posto de A é igual ao posto da A A in b matriz ampliada  = A m A mn b m (3) Use forma escada da matriz ampliada para achar a solução geral de x = (4) Mesma pergunta, para x =
5 5 Aula 3 (6 de dezembro) Determinante Motivação, exemplos, unicidade Cap 0 () Calcule o determinante de (2) Calcule o determinante de 0 n n n n (3) Sejam u, v R 3 Definimos w = u v como o vetor que satisfaz, para todo p R 3, a equação: det u v p u 2 v 2 p 2 = p, w u 3 v 3 p 3 Calcule as coordenadas de w em função das de u e v (4) Mostre que u w é ortogonal a u e a v Aula 4 ( de dezembro) Determinante do produto Volume e área Cap 0 () Seja A = P LU Como é que você calcularia o determinante de A? (2) Seja A uma matriz com coeficientes inteiros, inversível e com inversa a coeficientes inteiros Mostre que det(a) = ± ([ ]) a c (3) Sejam a e b inteiros Mostre que existem c e d inteiros tais que det = b d, se e somente se a e b são relativamente primos (ie, mdc(a, b) = ) (4) Seja A uma matriz com coeficientes reais, de módulo menor ou igual a H Mostre que det A ( nh) n Aula 5 (3 de dezembro) Revisão Aula 6 (8 de dezembro) Primeira prova: até forma escada Aula 7 (20 de dezembro) Correção e vista de prova 22 de dezembro a 7 de janeiro: recesso da UFRJ Aula 8 (8 de janeiro) Autovalores e autovetores Cap () Ache os autovalores e uma base de autovetores para a matriz [ ] 2 (2) Para quais valores de t a matriz possui um autovalor com multiplicidade t dois? [ cos(θ) sen(θ) (3) Ache os autovalores e autovetores complexos da matriz A = sen(θ) cos(θ) ]
6 6 (4) Mostre que para todo λ C, existe uma matriz real 2 2 com autovalores λ e λ Aula 9 (0 de janeiro) Teorema: se uma matriz n n admite n autovalores reais (resp complexos), então ela é diagonalizável sobre os reais (resp complexos) Cap () Produza uma matriz que não possa ser diagonalizada sobre C (2) Seja p(λ) = λ 2 + p d λ d + + p 0 A matriz C p = p 0 p p d p d é chamada de matriz companheira de p Mostre que os autovalores de C p são exatamente as raizes de p (3) Assuma que as raizes de p são diferentes 2 a 2 Produza uma base de autovetores de C p (4) Sejam A e B duas matrizes n n, cada uma com autovalores diferentes dois a dois Assuma também que AB = BA Mostre que todo autovetor de A é autovetor de B 5 a 8 de janeiro: estarei no exterior Aula 20 (22 de janeiro) Mudança de coordenadas Cap 2 [ [ [ 2 2 () Qual é a transformação linear que leva em e em 2] 3] ] [ 2 4]? (2) Na base [ canônica ] de R 2, a transformação linear ([ T[ é representada pela 2 matriz Qual é a matriz de T na base,? 3 2] 2]) (3) Uma transformação A : R 2 R 2 é [ representada ] [ ] pela matriz identidade na 3 base canônica Escreva A na base (, ) 3 (4) Agora consideramos uma aplicação linear A : R 2 R 3, dada nas bases canônicas respectivas por: 2 A = 3 0 [ ] [ ] Considere agora o espaço R 2 munido da base α = (, ) e o espaço R munido da base β = ( 3, [, 2, ], 0 Escreva a matriz associada a 0) A nas bases α e β
7 7 Aula 2 (24 de janeiro) Equações diferenciais ordinárias Cap 3 () Resolva o circuito RC (sem inductância), com condição inicial q(0) = q 0 (2) Consideramos agora que o circuito RLC (Fig Cap5) está está submetido a um potencial externo dado por u(t) (Por exemplo, podemos acoplar uma antena!) A equação diferencial agora é: () q(t) + RL q(t) + q(t) = u(t) LC e chamamos a equação (2) q(t) + RL q(t) + LC q(t) = 0 de equação homogênea associada Mostre que o conjunto das soluções de () é da forma q 0 (t) + S onde q 0 (t) é uma solução particular de () e S é o espaço das soluções da equação homogênea associada (2) (3) Considere o problema de valor inicial: { ẋ(t) = λx(t) + u(t) x(0) = 0 onde x(t) e u(t) são funções de R em C, e λ C Mostre que o operador que associa a solução x(t) à entrada u(t) é um operador linear (4) Ainda para o mesmo problema de valor inicial: Mostre que a solução x(t), se escreve como t x(t) = e λt e λs u(s) ds Aula 22 (29 de janeiro) O grupo ortogonal Cap 4 0 () Escreva a matriz correspondente à simetria ortogonal de R 3 que leva um vetor u arbitrário no vetor e (Aqui e nos próximos exercícios, assuma que u e e não são colineares) (2) Seja u 0 R 3 Escreva a matriz de rotação de ângulo π/6 em torno do vetor u (3) Escreva a matriz 4 4 representando a rotação do exercício anterior, seguido T da translação pelo vetor 2 3 (4) Mostre que se Q O(n), então det(q) = Deduza que o conjunto O(n) tem pelo menos dois componentes distintos (rotações e simetrias) Aula 23 (3 de janeiro) Mínimos quadrados Cap 5 () Seja V um subespaço de R n Mostre que existe uma e apenas uma projeção ortogonal em V (2) Seja W uma matriz cujas colunas são uma base ortonormal de V Ache a matriz da projeção ortogonal π : R n V (3) Dada uma matriz A, escreva a matriz da projeção ortogonal em I(A)
8 8 (4) Você acredita que y(x) é um polinômio de grau 2 Você dispõe de dados experimentais x i R, y i R para i =,, N Como você acharia os coeficientes de y(x)? Aula 24 (5 de fevereiro) O processo de Gram-Schmidt Cap 6 () Calcule (pelo método de sua escolha) a decomposição QR da matriz A = (2) Considere a seguinte recorrência É dada uma matriz A simétrica de tamanho n n Indutivamente, A i = Q i R i é a sua decomposição QR (obtida pelo método de Gram-Schmidt) Então fazemos A i+ = R i Q i Mostre que as A i são todas simétricas (3) Nas hipóteses do exercício anterior, mostre que os autovalores de A e de A i são os mesmos (4) Ainda nas hipóteses do exercício anterior, se C = lim i A i existe A é simétrica, mostre que C é diagonal Aula 25 (7 de fevereiro) Matrizes simétricas e o Teorema Espectral Cap 7 () Mostre que se S é positiva definida, então existe uma matriz R simétrica positiva definida, conhecida com raíz quadrada de S, tal que S = R 2 Ela é única? (2) Seja f(x, y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 F Qual é o lugar geométrico da curva f(x, [ y) ] = 0? Existem diversas possibilidades em função da matriz simétrica A B B C (3) Considere agora a cônica em R n, de equação x T Sx+v T x f = 0 A matriz S é simétrica Assuma que nenhum dos seus autovalores se anule Quais são as possibilidades para o lugar geométrico dessa cônica? (4) Escreva todas as matrizes n n que são simétricas e ortogonais a 3 de fevereiro: Carnaval Aula 26 (4 de fevereiro) A decomposição em valores singulares Cap 8 [ ] 0 A T () Compare os autovalores e autovetores de com os valores singulares A 0 e vetores singulares de A (2) Mostre que para todo vetor x, Ax σ x, onde σ é o maior valor singular de A (3) Se A for sobrejetiva, mostre que AA é a identidade Mostre um exemplo de matriz A não sobrejetiva com AA I (4) Se A for injetiva, mostre que A A é a identidade Mostre um exemplo de matriz A não injetiva com A A I
9 9 Aula 27 (9 de fevereiro) Aplicações à estatística: covariância Cap 9 () Considere que os dados x i e y i, i N, têm média zero e variância Mostre que a correlação linear entre as variáveis y e x é o coeficiente da reta obtida aplicando o método dos mínimos quadrados para y = t x + t 0 Calcule o erro de aproximação, em função da correlação (2) Agora não assuma hipóteses sobre os dados x i e y i, i N Calcule o erro da aproximação de mínimos quadrados, em função da correlação e das variâncias (3) Sejam z i R k, com i N Qual é o hiperplano que melhor se ajusta aos dados z i? Qual é o erro de aproximação? (Responda em função da matriz de covariância) (4) Agora sejam w i = Dz i onde os z i são os dados do exercicio anterior Qual é a matriz de covariância de w? Aula 28 (2 de fevereiro) Revisão Aula 29 (26 de fevereiro) Prova Final Aula 30 (28 de fevereiro) Correção e vista de Prova
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