Mudança de bases. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2

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1 Mudança de bases Juliana Pimentel juliana.pimentel Sala Bloco A, Torre 2

2 Um corpo se movendo no plano xy, com trajetória descrita pela equação x 2 + xy + y 2 3 = 0.

3 Um corpo se movendo no plano xy, com trajetória descrita pela equação x 2 + xy + y 2 3 = 0. A descrição do movimento torna-se muito simplificada se ao invés de trabalharmos com os eixos x e y (ou seja, o referencial determinado pela base formada por (1,0) e (0,1)) utilizarmos um referencial que se apóia nos eixos principais da elipse.

4 Um corpo se movendo no plano xy, com trajetória descrita pela equação x 2 + xy + y 2 3 = 0. A descrição do movimento torna-se muito simplificada se ao invés de trabalharmos com os eixos x e y (ou seja, o referencial determinado pela base formada por (1,0) e (0,1)) utilizarmos um referencial que se apóia nos eixos principais da elipse. No novo referencial, a equação da trajetória será: 3x y 2 1 = 6.

5 Um corpo se movendo no plano xy, com trajetória descrita pela equação x 2 + xy + y 2 3 = 0. A descrição do movimento torna-se muito simplificada se ao invés de trabalharmos com os eixos x e y (ou seja, o referencial determinado pela base formada por (1,0) e (0,1)) utilizarmos um referencial que se apóia nos eixos principais da elipse. No novo referencial, a equação da trajetória será: 3x y 2 1 = 6. Qual a relação entre as coordenadas de um ponto no antigo referencial e suas coordenadas no novo?

6 Sejam B = {u 1,, u n } e B = {v 1,, v n } duas bases de um espaço vetorial V. Dado v V, podemos escrever:

7 Sejam B = {u 1,, u n } e B = {v 1,, v n } duas bases de um espaço vetorial V. Dado v V, podemos escrever: v = x 1 u x n u n, v = y 1 v y n v n. Logo v tem as seguintes coordenadas nas bases B e B, respectivamente: x 1 y 1 v B = x 2. e v B = y 2.. x n y n

8 Como cada elemento v i da base B pertence a V e B é base de V : v 1 =a 11 u 1 + a 21 u a n1 u n v 2 =a 12 u 1 + a 22 u a n2 u n. v n =a 1n u 1 + a 2n u a nn u n

9 Como v = y 1 v y n v n, temos v =y 1 (a 11 u a n1 u n ) y n (a 1n u a nn u n ) v =(a 11 y a 1n y n )u (a n1 y a nn y n )u n Mas v = x 1 u x n u n, x 1 =a 11 y a 1n y n. x n =a n1 y a nn y n

10 Em forma matricial a x 11 a a 1n 1. = a 21 a a 2n... x n a n1 a n2... a nn y 1. y n Denotando a matriz de ordem n acima por I B B, temos v B = I B B v B A matriz IB B é chamada matriz de mudança da base B para a base B.

11 Mudança de bases Observe que a matriz é obtida, colocando as coordenadas em relação a B de v i na i-ésima coluna.

12 Mudança de bases Observe que a matriz é obtida, colocando as coordenadas em relação a B de v i na i-ésima coluna. Uma vez obtida IB B podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor v em relação à base B, multiplicando a matriz pelas coordenadas de v na base B (supostamente conhecidas).

13 Exemplo V = R 2 com bases B = {(2, 1), (3, 4)} B = {(1, 0), (0, 1)}. Encontre IB B. Solução. v 1 = (1, 0) = a 11 (2, 1) + a 21 (3, 4), donde (1, 0) = (2a a 21, a a 21 ). Isto implica que a 11 = 4 11 e a 21 = Seja v 2 = (0, 1) = a 12 (2, 1) + a 22 (3, 4), donde (0, 1) = (2a a 22, a a 22 ). Isto implica que a 11 = 3 11 e a 21 = 2 Portanto I B B = [ a11 a 12 a 21 a 22 ] = 1 11 [ ]

14 Podemos usar a matriz para encontrar, por exemplo, v B sabendo que v B = (5, 8): [ ] 5 [v B ] = IB B = 1 [ ] [ ] [ = ], ou seja, (4, 1) é o vetor v em coordenadas na base B: (5, 8) = 4(2, 1) 1(3, 4).

15 Inversa da Matriz Mudança de Base Se escrevermos u i em termos de v i ao invés de escrever v i em termos de u i, chegaremos à relação: v B = I B B v B. Ou seja, as matrizes I B B e IB B são invertíveis e (I B B ) 1 = I B B

16 Exemplo V = R 2 com bases B = {(2, 1), (3, 4)} B = {(1, 0), (0, 1)}.

17 Exemplo V = R 2 com bases B = {(2, 1), (3, 4)} B = {(1, 0), (0, 1)}. Para encontrar IB B basta escrever os vetores de B em termos dos vetores de B :

18 Exemplo V = R 2 com bases B = {(2, 1), (3, 4)} B = {(1, 0), (0, 1)}. Para encontrar IB B basta escrever os vetores de B em termos dos vetores de B : (2, 1) = 2(1, 0) 1(0, 1) (3, 4) = 3(1, 0) + 4(0, 1)

19 Exemplo V = R 2 com bases B = {(2, 1), (3, 4)} B = {(1, 0), (0, 1)}. Para encontrar IB B basta escrever os vetores de B em termos dos vetores de B : (2, 1) = 2(1, 0) 1(0, 1) (3, 4) = 3(1, 0) + 4(0, 1) donde I B B = [ ].

20 Exemplo V = R 2 com bases B = {(2, 1), (3, 4)} B = {(1, 0), (0, 1)}. Para encontrar IB B basta escrever os vetores de B em termos dos vetores de B : (2, 1) = 2(1, 0) 1(0, 1) (3, 4) = 3(1, 0) + 4(0, 1) donde [ IB B 2 3 = 1 4 ]. Então I B B = [ ] 1 =

21 Exemplo V = R 2 com bases B = {(2, 1), (3, 4)} B = {(1, 0), (0, 1)}. Para encontrar IB B basta escrever os vetores de B em termos dos vetores de B : (2, 1) = 2(1, 0) 1(0, 1) (3, 4) = 3(1, 0) + 4(0, 1) donde Então I B B = [ [ IB B 2 3 = 1 4 ] 1 = 1 11 ]. [ ].

22 Exemplo V = R 2 com a base canônica B = {e 1, e 2 } e a base B = {f 1, f 2 } obtida de B pela rotação de um ângulo θ. Dado v R 2 com coordenadas v B = (x 1, x 2 ) na base B. Quais as coordenadas de v em relação à base B?

23 Exemplo Temos v = x 1 e 1 + x 2 e 2 = y 1 f 1 + y 2 f 2. Queremos calcular v B = I B B v B. Para isso devemos escrever e 1 e e 2 em função de f 1 e f 2. De acordo com a definição de f 1 e f 2, temos e 1 = cosθf 1 senθf 2 e 2 = senθf 1 + cosθf 2 [ ] cosθ senθ Portanto, IB B =. senθ cosθ

24 Logo ] [ cosθ senθ = y 2 senθ cosθ [ y1 ] [ ] x1, ou seja, x 2 Se θ = π/2 então y 1 = x 1 cosθ + x 2 senθ y 2 = x 1 senθ + x 2 cosθ y 1 = x 2 y 2 = x 1

25 Exercícios 1. Se B é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base I B B.

26 Exercícios 1. Se B é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base I B B. 2. Fazer os exercícios 3, 6, 9, 11, 13, 22, 24, 25, 27 e 29 do livro BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. L. R.; FIGUEIREDO, V. L. e WETZLER, H. G.; Álgebra Linear, 3a edição, Editora Harbra, São Paulo, 1986.

27 Exercício Mostre que o conjunto de todos os polinômios em P n tais que p( x) = p(x) é um subespaço vetorial de P n. Em caso afirmativo, encontre uma base para o subespaço.