CSE-MME Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia

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1 CSE-MME Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais L.F.Perondi Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais

2 3 Cálculo Vetorial Sumário 3.1 Vetores 3.2 Sistemas de coordenadas 3.3 Campos escalares e vetoriais 3.4 Gradiente, rotacional e divergente 3.5 Teoremas de Stokes e Green

3 3.1 Conceitos e definições Vetores - Elementos que requerem para sua especificação a definição de uma grandeza e de uma direção.

4 3.1 Conceitos e definições Representação módulo direção θ forma polar

5 3.1.2 Operações com vetores

6 3.1 Conceitos e definições Operações com vetores adição subtração multiplicação por escalar produto escalar O produto escalar entre dois vetores é igual ao produto dos módulos dos vetores e o cosseno do ângulo ente os eles. produto vetorial

7 3.1 Conceitos e definições Operações com vetores Representação geométrica O produto escalar entre dois vetores relaciona-se com a projeção de um vetor na direção do outro. O módulo do produto vetorial entre dois vetores é igual à área do paralelograma definido pelos dois vetores.

8 3.2 Sistemas de coordenadas Curvas em 3D - Uma curva no espaço 3D pode ser representada por um vetor, onde t é um parâmetro (escalar).

9 3.2.1 Curvas em 3D

10 3.2.1 Curvas em 3D Comprimento de uma curva

11 3.2.1 Curvas em 3D Comprimento de uma curva Ex.:

12 3.2.1 Curvas em 3D Comprimento de uma curva Ex.:

13 3.2.1 Curvas em 3D Vetor tangente vetor tangente velocidade reta tangente

14 3.2.1 Curvas em 3D Vetor normal vetor tangente velocidade reta tangente Vetor unitário normal à curva no plano da curva Vetor unitário normal à curva e ao plano da curva

15 3.3 Campos escalares e vetoriais Definições Campo escalar - f(x,y,z) função definida em um dado domínio, representando uma dada quantidade física. Ex.: distribuição de temperatura em um corpo sólido, a densidade de um meio não-homogêneo, a pressão em um fluído, o potencial eletrostático em um dado meio, e outros.

16 3.3.1 Definições Campo vetorial - vetor definido em um dado domínio, representando uma dada quantidade física. Ex.: distribuição de velocidade em um fluído, os campos elétrico e magnético em um dado meio, entre outros.

17 3.4 Gradiente, rotacional e divergente Gradiente Campo vetorial derivado de um campo escalar f(x,y,z), definido por: O vetor : é perpendicular às superfícies

18 Gradiente -A integral de ao longo de um caminho fechado é sempre zero: - Se em um dado domínio, então neste domínio.

19 Divergente Sejam: J ν fluxo de massa de um fluído na direção ν (massa/área tempo); ρ densidade do fluído (massa / volume; Q fonte por unidade de volume e tempo para o fluído (massa / volume tempo). Equação da continuidade.

20 Rotacional Sejam: campo vetorial; vetor rotacional do campo ; componente do rotacional perpendicular ao plano da curva C.

21 Rotacional

22 Rotacional

23 Rotacional

24 3.5 Teoremas de Stokes e Gauss Stokes Gauss A integral de um campo sobre uma curva fechada S é igual à integral do rotacional deste campo sobre qualquer superfície A limitada por S. Na expressão ao lado, representa um elemento de área da superfície A. A integral de um campo sobre uma superfície fechada A é igual à integral do divergente deste campo no volume V limitado por A.