Curso: Engenharia Industrial Elétrica. Análise de variáveis Complexas Data: 27/08/2013. Turma: 01 Semestre:

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1 Professora: Edmary S B Araújo Aluno(a): Fontes e poços São pontos singulares de f( Linhas de fontes e linhas de poços são linhas no fluido nos quais o fluido aparece e desaparece, respectivamente Alguns Escoamentos Especiais 1- Escoamento Uniforme O potencial complexo corresponde ao fluxo de um fluido com velocidade constante V 0, numa direção fazendo um ângulo com a direção positiva do eixo dos x i ( V e z 0 urso: Engenharia Industrial Elétrica Análise de variáveis omplexas Data: 7/08/013 Turma: 01 Semestre: Fonte em z = a ( k ln( z a) onde k > 0 é dito o comprimento da fonte As linhas de fluxo e as linhas equipotenciais são retas e círculos, respectivamente 3- Poço em z = a O fluido desaparece em z = a ( k ln( z a)

2 4- Escoamento com circulação O fluxo corresponde ao potencial complexo ( ik ln( z a) 5- Superposição de escoamento Fluxo devido à fonte em z = - a e ao poço de igual comprimento em z = a z a ( k ln( z a) k ln( z a) k ln z a Fazendo a 0 e k de tal modo que ka = seja finito, obtemos o potencial ( Este é o potencial complexo devido a um dipolo A quantidade é chamada z o momento do dipolo Escoamento em torno de obstáculos Fluxo de um fluido, que, movendo-se inicialmente com velocidade constante V 0, é perturbado por introduzir-se certo obstáculo ( V0 z G( Onde G( seja tal que lim G'( 0 (Longe do obstáculo, a velocidade tem módulo constante neste caso, V 0 ) z O potencial complexo deve ser escolhido de tal modo que tenha uma das linhas de fluxo seja a fronteira do obstáculo O potencial complexo correspondente ao fluxo uniforme no plano w é dado por V 0 w a Usando transformação conforme w z, o semiplano superior do plano w é levado z na região do semi plano superior do plano z, exterior ao círculo, e o potencial a complexo para o fluxo é dado por ( V z 0 z

3 Teorema de Bernoulli Se P é a pressão em um fluido e V é a velocidade do fluido, então, o teorema de Bernoulli estabelece que P 1 V k onde é a densidade do fluido e k é uma constante ao longo de qualquer linha de fluxo Teorema de Blasius 1- Sejam x e y forças internas, nas direções positivas dos eixos dos x e y, devidas a pressão do fluido sobre a superfície de um obstáculo limitado por uma curva simples fechada Então, se é o potencial complexo para o fluxo, 1 d x yi i dz dz - Se M é o momento, com relação à origem, das forças de pressão sobre o obstáculo, então, 1 d M Re z dz dz Aplicações a Eletrostática Lei de oulomb Seja r a distância entre duas cargas elétricas pontuais q 1 e q Então, o módulo da força q1q entre elas é dada pela lei de oulomb F e é de atração ou repulsão dependendo das kr cargas serem ou não de mesmos sinais A constante k é a constante dielétrica Intensidade de ampo elétrico Potencial Eletrostático Intensidade do campo elétrico grad onde é o potencial Se a distribuição de cardas é bidimensional, então Ex iey i onde x y Ex e Ey Em tal caso, se E t é a componente tangencial da intensidade do x y campo elétrico em qualquer curva simples fechada do plano z, então, E tds Exdx Eydy 0

4 Teorema De Gauss Se é qualquer curva simples do plano z, limitando uma região com carga q (é um cilindro infinito com carga q), e E n é a componente normal da intensidade do campo elétrico, então, o teorema de Gauss estabelece que Ends 4 q Se não envolve nenhuma carga, reduz-se a ds 0 Segue-se daí que, em qualquer E E x y região não carregada 0 é uma função harmônica em todos x y x y os pontos não carregados E n O Potencial Eletrostático omplexo Existe uma função harmônica conjugada de tal que ( ( i( é analítica numa região descarregada hamamos ( o potencial eletrostático complexo d i i '( e o módulo de é dado por x y x x dz E ' ( As curvas ( x,, ( são linhas equipotenciais e linhas de fluxo, respectivamente O campo elétrico nos problemas eletrostático corresponde ao campo de velocidade nos problemas de escoamento de fluidos O potencial (eletrostático) complexo devido a uma linha de carga q por unidade de comprimento em z 0 (no vácuo) é dado por ( q ln( z z0) e representa uma fonte ou um poço, se q < 0 ou q > 0 Aplicações ao escoamento de calor onsideremos um sólido com uma distribuição de temperatura não necessariamente uniforme A quantidade de calor conduzido, por unidade de tempo, através de uma superfície localizada no sólido, a que chamaremos o fluxo de calor através da superfície, é dada por L = - k grad Onde é a temperatura e k, considerado constante, a condutividade térmica que depende do material sólido

5 A Temperatura omplexa L = - k k i Q x iqy x y, onde Qx k, Qy k x y Seja qualquer curva simples fechada no plano z (representando a seção reta de um cilindro) Se Q t e Q n são componentes tangencial e normal do fluxo de calor e se as condições de estado estacionário prevalecem de tal modo que não existe nenhuma acumulação de calor na região limitada por, então, temos Q nds Qxdx Qydy 0, Q tds Qxdx Qydy 0 considerando que não exista nenhuma fonte ou poço nessa região ( ( i( é analítica As curvas ( x,, ( são chamadas linhas isotermas e linhas de fluxo, respectivamente, e ( a temperatura complexa