Mecânica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolução de Problemas n o 3

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1 Mecânica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolução de Problemas n o 3 (Método das imagens, escoamento em torno de um cilindro com circulação, transformação conforme) EXERCÍCIO 1 [Problema 6 das folhas do Prof. António Falcão]. Considere o escoamento na vizinhança da margem dum rio. A margem é uma parede vertical plana. O fundo é plano e horizontal (profundidade da água constante e igual a h. À distância b da margem, existe uma saída de esgoto (emissário submarino), com um caudal Q por unidade de profundidade do rio. Longe do emissário, a velocidade do rio U é constante. Despreze o efeito devido à presença da outra margem. Admita que o escoamento é irrotacional e bidimensional e que a massa específica é uniforme. Estude os vários regimes possíveis do escoamento. Sugestão: Utilize o método das imagens para que o eixo real seja uma linha de simetria, a simular a margem. Para simplicar a análise, localize a saída do esgoto no ponto (0, i b). Utilize como parâmetro adimensional α = Q/(2πUb). Em particular, localize os pontos de estagnação, e indique para que valores de α a contaminação devida ao esgoto pode atingir a margem. EXERCÍCIO 2 Resolva o exercício 7 das folhas do Prof. António Falcão, Escoamento de Fluidos Perfeitos, Secção de Folhas da AEIST. Pode consultar a solução detalhada nessas folhas. EXERCÍCIO 3 Considere o escoamento permanente (estacionário), bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1 metro e está centrado na origem do referencial z = x+iy. O escoamento de aproximação uniforme está alinhado com o eixo real, x, e tem uma velocidade U com um módulo de 10m/s. O cilindro encontra-se a rodar a 60 r.p.m. no sentido horário e portanto torna-se necessário introduzir circulação no escoamento com um vórtice colocado na origem do referencial para simular o efeito da rotação. 1. Determine a intensidade do vórtice que deve colocar na origem para simular a rotação do cilindro. 2. Escreva o potencial complexo que representa o escoamento. 3. Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação. 4. Desenhe qualitativamente o escoamento.

2 2 Figura 1: Ex.4.1: Escoamento em torno de um cilindro circular no plano ζ e escoamento contra uma parede plana com uma saliência semi-circular no plano z. EXERCÍCIO 4 Considere o escoamento irrotacional, incompressível e bi-dimensional no plano ζ = ξ + iη em torno de um cilindro sem circulação. Pretende-se a partir deste escoamento obter o escoamento bi-dimensional contra uma parede plana com uma saliência em forma de semi-cilindro circular de raio R = 1 no plano z = x + iy. A figura Ex4.1 esboça os dois escoamentos. 1. Determine a transformação conforme que permite passar do escoamento no plano ζ para o escoamento no plano z. 2. Escreva o potencial complexo que representa o escoamento no plano ζ. 3. Escreva o potencial complexo que representa o escoamento no plano z. 4. Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação do escoamento no plano z. 5. Desenhe qualitativamente o escoamento. SOLUÇÕES Ex.1: O potencial complexo do escoamento é: w = w esc. uniforme + w fonte + w imagem = Uz + Q ln(z ib) + Q ln(z + ib) = Uz + Q 2π 2π 2π ln(z2 + b 2 ); Os pontos de estagnação podem obter-se de V = dw = U + Q 2z = 0 dz 2π z 2 +b ( ) 2 2 ( ) 1 z 2 b + Q z 2πUb b + 1 = 0, ( ) ( z 2 b = Q ± ) Q 2 ( ) 2πUb πub 1, ou seja zest b = α ± α 2 1, com α = Q/(2πUb). Existem 3 configurações possíveis consoante o valore de α 2. Para α 2 = 1 temos um ponto de estagnação na recta y = 0, para x est = b; Para α 2 > 1 temos dois pontos de estagnação em y = 0, de coordenadas x est = b ( α ± α 2 1 ) ; Para α 2 < 1 temos dois pontos de estagnação fora do eixo real: ( ) z est b = x est + i yest = α ± i 1 α b b 2. A figura Ex.1 indica as linhas de corrente para as 3 situações.

3 3 (a) (b) Figura 2: Ex.1: Escoamento num rio com uma fonte para: (a) α 2 = ( Q 2πUb )2 = 1; (b) α 2 = ( Q 2πUb )2 > 1; (c) α 2 = ( Q 2πUb )2 < 1. (c)

4 4 ϕ eixo no plano ζ θ eixo no plano z 0 ξ > 0 0 x > 0 π/2 η > 0 π/4 y = x π ξ < 0 π/2 y > 0 2π (4 o Q) π x < 0 Tabela 1: Tabela para o exercício 4. Ex.3: A intensidade do vórtice pode obter-se através da circulação calculada no raio do cilindro: Γ = u 0. dl = u 0.2πR, onde u 0 é a velocidade tangencial em cima do cilindro. A velocidade angular é ω 0 = 60(2π)/60 = 2π rad/s, donde u 0 = ω 0 R = 2π m/s, e Γ = 4π 2 m 2 /s, uma vez que neste caso o cilindro roda no sentido horário (Γ < 0); O potencial complexo resulta da sobreposição de um escoamento uniforme com velocidade U, um dipolo, ) e um vórtice com + (2πi)ln(z). Os ) + iγ 2π ln(z) = 10 ( z + 1 z ( circulação Γ: w(z) = U z + R 2 z pontos de estagnação podem obter-se através de V = dw = 10 ( ) 1 1 dz z +2πi 1 = 0, 2 z z est = i e z est = i. Trata-se de dois pontos sobre o raio do cilindro fazendo um ângulo de β = arctg( 0.314/0.949) = 18 o com o eixo y = 0. Ex.4: Para determinar a transformação conforme entre os escoamentos nos planos ζ e z começa-se por escrever a tabela 1 onde se analisa como os ângulos ϕ e θ estão relacionados nos dois planos. Usando coordenadas polares temos ζ = ρe iϕ e z = re iθ. Constata-se que a transformação z = re iθ = (ρ/2)e iψ/2 = (ρe iϕ ) 1/2 = ζ 1/2 satizfaz os requesitos. Temos então: z = f(ζ) = ζ 1/2, e ζ = f 1 (z) = z 2 com r = ρ 1/2 e θ = ϕ/2. O potencial complexo para o escoamento no plano ζ é: w(ζ) = U ζ + U, donde, w(z) = U ζ z 2 + U. A função de corrente é obtida ( z 2 ) a partir de w(z) = φ + iψ, e é ψ = U r r sen(2θ). As superfícies sólidas 2 são dadas pela linha de corrente ψ = 0, e consistem no quarto de circulo r = 1, e nas linhas x = 0 e y = 0. Finalmente os pontos de estagnação obtêm-se de V = dw/dz = 2U z 2 U = 0, cuja solução é: z 4 z 3 est = 1, z est = ±1 e z est = ±i. Os pontos de estagnação estão indicados na figura Ex4.2. O ponto de estagnação z est = i não tem significado físico.

5 Figura 3: Ex.4.2: Pontos de estagnação no escoamento contra uma parede plana com uma saliência semi-circular no plano z. 5