Superfícies Sustentadoras

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1 Superfícies Sustentadoras Uma superfície sustentadora gera uma força perpendicular ao escoamento não perturado, força de sustentação, astante superior à força na direcção do escoamento não perturado, força de resistência. L D Sustentação Força Resistência Superfícies Sustentadoras O exemplo típico de uma superfície sustentadora é uma asa de avião. As pás de um hélice ou de uma turomáquina axial, ou os ailerons de carros de competição são tamém superfícies sustentadoras.

2 Superfícies Sustentadoras O estudo aerodinâmico de superfície sustentadoras pode ser divido em duas partes (teoria clássica): - Estudo i-dimensional da secção (perfil) - Estudo do efeito da extremidade Asas finitas Superfícies Sustentadoras Nomenclatura - Envergadura (span) - S Área projectada - Λ Alongamento (Aspect Ratio) Λ = S - Secção recta Perfil (foil)

3 Perfis Superfícies Sustentadoras Nomenclatura - L Bordo de ataque (leading edge) - T Bordo de fuga (trailing edge) - c Corda (chord) Perfis Superfícies Sustentadoras Nomenclatura - Esqueleto (camer line) é a linha que contem os centros dos círculos incritos no perfil - Espessura máxima, d, (thickness) é o diâmetro máximo dos círculos inscritos - Espessura relativa (relative thickness) é a razão entre a espessura máxima e a corda, d/c

4 Perfis Superfícies Sustentadoras Nomenclatura - Flecha máxima, f,, (maximum camer) ) é a distância máxima entre o esqueleto e a recta que une as as extremidades do esqueleto (corda) V - Ângulo de ataque, α, é o ângulo entre a direcção do escoamento não perturado,, e a corda V Perfis Superfícies Sustentadoras Nomenclatura Bordo de ataque Espessura Flecha Esqueleto Corda Bordo de fuga

5 Superfícies Sustentadoras Forças Aplicadas Sustentação, L. Força perpendicular à direccção do escoamento não perturado U C C L l = = L 1 ρ V L 1 ρ V S c (3 D) ( D) V Superfícies Sustentadoras Forças Aplicadas Resistência, D. Força na direccção do escoamento não perturado U C C D d D = 1 ρ V D = 1 ρ V S c (3 D) ( D) V

6 A transformação de Joukowski é uma transformação conforme que transforma um cilindro circular num perfil sustentador de acordo com a seguinte expressão z = z = + ( ) ( + ) + z z + z = = + z = + O plano z é o plano do perfil (plano transformado) O plano é o plano do cilindro circular (plano ase) O cilindro tem continuidade tangencial, pelo que a a única forma de gerar o ordo de fuga é garantir que o ponto que se transforma no ordo de fuga (=) é uma singularidade da transformação

7 z = + Derivada da transformação dz = 1 d As singularidades da transformação encontram-se em dz = 0 = ± d z = + As singularidades da transformação encontram-se em dz = 0 = ± d O ponto que dá origem ao ordo de fuga está em =. é a distância da intersecção do cilindro com o eixo real positivo à origem do referencial

8 Condição de Kutta A velocidade no plano do perfil otem-se a partir de dw dz dw d = dz d Velocidade no plano do cilindro Derivada da transformação Para que a velocidade não seja infinita no ordo de fuga é necessário que o ponto = seja um ponto de estagnação Condição de Kutta Para que a velocidade não seja infinita no ordo de fuga é necessário que o ponto = seja um ponto de estagnação dw dz ordo de fuga dw d = dz d = = 0 = 0 De acordo com a condição de Kutta, a velocidade no ordo de fuga é finita o que equivale a definir a circulação em torno do perfil

9 Escoamento em torno de um cilindro circular de raio a com circulação é o escoamento de partida - Potencial complexo para um sistema de eixos alinhado com o escoamento não perturado e com o cilindro centrado na origem do referencial W a Γ = V + i ln π ( ) Escoamento em torno de um cilindro circular de raio a com circulação é o escoamento de partida - Velocidade complexa para um sistema de eixos alinhado com o escoamento não perturado e com o cilindro centrado na origem do referencial dw a Γ = V = V 1 i d π

10 Escoamento em torno de um cilindro circular de raio a com circulação é o escoamento de partida - Pontos de estagnação Γ z = i 4π V ± a 1 Γ 4πa V - Só tem sentido considerar (como veremos à frente) a situação Γ < 4πa V Escoamento em torno de um cilindro circular de raio a com circulação é o escoamento de partida - O argumento dos pontos de estagnação, θ, é dado pela equação Γ sen( θ ) = 4πaV Γ = 4πaV sen ( θ ) θ θ Γ < 0

11 Escoamento em torno de um cilindro circular de raio a com circulação é o escoamento de partida - O argumento dos pontos de estagnação, θ, é dado pela equação Γ > 0 Γ sen( θ ) = 4πaV Γ = 4πaV sen ( θ ) θ θ Escoamento em torno de um cilindro circular de raio a com circulação é o escoamento de partida 1. Cilindro centrado na origem do referencial

12 Escoamento em torno de um cilindro circular de raio a com circulação é o escoamento de partida. Cilindro centrado no eixo imaginário Escoamento em torno de um cilindro circular de raio a com circulação é o escoamento de partida 3. Cilindro centrado no eixo real negativo

13 Escoamento em torno de um cilindro circular de raio a com circulação é o escoamento de partida 4. Cilindro centrado no º ou 3º quadrantes 1. Cilindro centrado na origem do referencial - Transformação da geometria a o = 0 + i 0, = = e iθ iθ z = e + e z = cos iθ ( θ ) A circunferência é transformada numa placa plana de comprimento 4

14 1. Cilindro centrado na origem do referencial η z = + y ξ - x 1. Cilindro centrado na origem do referencial - Condição de Kutta = tem de ser um ponto de estagnação no plano do cilindro η Γ = 4πa V sen( α ) Γ α ξ

15 1. Cilindro centrado na origem do referencial α = 10 º, Γ = 0 1. Cilindro centrado na origem do referencial α = 10º, Γ = 4πa V sen ( ) α

16 1. Cilindro centrado na origem do referencial - Coeficiente de sustentação, L ρ V Γ Cl = = 1 ρ V 1 ρ c V c Γ = 4πaV sen α, c = 4, C ( ) = π sen ( ) α C l Γ Γ = V c = a - Para pequenos ângulos de ataque πα l C l sen( α ) α 1. Cilindro centrado na origem do referencial - Velocidade no ordo de fuga dw d = ( V ) ordode fuga = = dz d - Levantando a indeterminação U = V ( V ) ordode fuga = V cos( α ) V = 0 = 0 0 cos ( α )

17 1. Cilindro centrado na origem do referencial - Distriuição de pressão na superfície da placa -C p x/c Extradorso, α=3 o Intradorso, α=3 o Extradorso, α=10 o Intradorso, α=10 o C p = p p ρ V 1. Cilindro centrado no eixo imaginário ( β ), cos( β ) = 0 + i asen a o = η β a ξ

18 . Cilindro centrado no eixo imaginário η z = + y ξ - f β f f tan ( β ) = = c c x A circunferência é transformada numa placa curva (arco de círculo) com corda igual a 4. Cilindro centrado no eixo imaginário - Condição de Kutta = tem de ser um ponto de estagnação no plano do cilindro η Γ = 4π av sen( α + β ) Γ β β α ξ

19 . Cilindro centrado no eixo imaginário f α = 10º, β = 10º = 0, 088 c. Cilindro centrado no eixo imaginário f α = 0º, β = 10º = 0, 088 c

20 . Cilindro centrado no eixo imaginário f α = 10º, β = 10º = 0, 088 c. Cilindro centrado no eixo imaginário - Coeficiente de sustentação, C l L ρ V Γ Γ Γ Cl = = = 1 ρ V 1 ρ c V c V c Γ = 4πaV sen α + β, c = 4, = a cos β C l ( ) ( ) sen( α + β ) = π cos( β )

21 . Cilindro centrado no eixo imaginário - Coeficiente de sustentação, - Para pequenos ângulos de ataque (α) e pequenos valores de β sen α + β α + β, cos β - A curvatura provoca uma translacção horizontal de β na recta C l = f ( α ). Para o mesmo ângulo de ataque uma placa com curvatura exie maior sustentação que uma placa plana. C l C l ( ) ( ) 1 ( α β ) π +. Cilindro centrado no eixo imaginário - Coeficiente de sustentação, C l ( α β ) π + - Uma placa curva tem sustentação C l 0 para um ângulo de ataque de 0 graus, para o qual não tem ponto de estagnação nem pico de sucção - O ângulo α = β é o ângulo de sustentação nula C l ( )

22 . Cilindro centrado no eixo imaginário - Distriuição de pressão na superfície da placa -C p x/c Extradorso, α=0 o Intradorso, α=0 o Extradorso, α=10 o Intradorso, α=10 o Extradorso, α=-10 o Intradorso, α=-10 o C p = p p ρ V 1 3. Cilindro centrado no eixo real negativo ( + ) a o = ε + i 0, 1 ε = η ε a ξ

23 3. Cilindro centrado no eixo real negativo η z = + y d c 3 3 ε 4 ξ -- d x ε = 4 1+ ε A circunferência é transformada num perfil simétrico com corda igual a ε ε 3. Cilindro centrado no eixo real negativo - Condição de Kutta = tem de ser um ponto de estagnação no plano do cilindro η Γ = 4πa V sen( α ) Γ α ξ

24 3. Cilindro centrado no eixo real negativo d α = 10º, ε = 0,15 = 0, 195 c 3. Cilindro centrado no eixo real negativo d α = 0º, ε = 0,15 = 0, 195 c

25 3. Cilindro centrado no eixo real negativo - Coeficiente de sustentação, C l L ρ V Γ Γ Γ Cl = = = 1 ρ V 1 ρ V c c V c Γ = 4πaV ε sen( α ), c = 4 1+, 1 ε + ε Cl = π 1 + sen( α ) 1+ ε a = 1+ ε 3. Cilindro centrado no eixo real negativo - Coeficiente de sustentação, C l d C l π 1 + 0,77 sen( α ) c - Para pequenos ângulos de ataque d C l π 1 + 0, 77 α c - A espessura aumenta o declive da recta sen( α ) α C l = f ( ) α

26 3. Cilindro centrado no eixo real negativo - Distriuição de pressão na superfície do perfil -C p x/c Extradorso, α=0 o Intradorso, α=0 o Extradorso, α=10 o Intradorso, α=10 o C p = p p ρ V 1 4. Cilindro centrado no º quadrante = ε + i asen ( β ), ( 1+ ε ) a cos( β ) o = η β ε a ξ

27 4. Cilindro centrado no º quadrante η z = + y d c 3 3 ε 4 ξ -- x ε f f = 4 tan ( β ) = = 1+ ε c c A circunferência é transformada num perfil ε assimétrico com corda igual a ε 4. Cilindro centrado no º quadrante - Condição de Kutta = tem de ser um ponto de estagnação no plano do cilindro η Γ = 4π av sen( α + β ) Γ α β β ξ

28 4. Cilindro centrado no º quadrante f d α = 10º, β = 10º = 0,088, ε = 0,15 = 0, 195 c c 4. Cilindro centrado no º quadrante f d α = 0º, β = 10º = 0,088, ε = 0,15 = 0, 195 c c

29 4. Cilindro centrado no º quadrante f d α = 10º, β = 10º = 0,088, ε = 0,15 = 0, 195 c c 4. Cilindro centrado no º quadrante - Coeficiente de sustentação, C l L ρ V Γ Γ Γ Cl = = = 1 ρ V 1 ρ c V c V c ε Γ = 4πaV sen( α β ), 4 1, 1 ε + c = + + ε sen( α + β ) Cl = π ε cos( β ) = a cos 1+ ε ( β )

30 4. Cilindro centrado no º quadrante - Coeficiente de sustentação, - Para pequenos ângulos de ataque (α) e pequenos valores de β sen α + β α + β, cos β - O perfil inclui o efeito da curvatura e da espessura: - Translacção horizontal de β na recta C l = f ( α ) - Aumento do declive da recta C l = f α C l ( ) ( ) 1 d C l π 1 + 0, 77 + c ( α β ) ( ) 4. Cilindro centrado no º quadrante - Distriuição de pressão na superfície da placa -C p x/c Extradorso, α=0 o Intradorso, α=0 o Extradorso, α=10 o Intradorso, α=10 o Extradorso, α=-10 o Intradorso, α=-10 o C p = p p ρ V 1

31 .5 Variação de C l com α 1.5 C l α (Graus) Perfis de Joukowski Momento de Picada em torno do centro do perfil y=η C C é o centro do perfil x=ξ iα [ i πρu ] QΓ M 0 = ρ + R Μe π Para um perfil de Joukowski Q=0 M 0 R iα [ i πρu ] = Μe

32 Perfis de Joukowski Momento de Picada em torno do centro do perfil Μ é o coeficiente do termo z - da velocidade complexa a grandes distâncias do perfil Μ = V e a V e iα iα donde M c = πρ V sen α ( ) Momento de Picada em torno do centro do perfil Para pequenos valores de α tem-se ( ) α M c 4 πρ V α sen α Admitindo que um perfil de Joukowski tem uma corda c 4, o coeficiente de momento em torno do centro do perfil é dado por C M c = M c π α ρ V c 1