( z) Fluido Perfeito/Ideal Força Exercida por um Escoamento Plano em Torno de um Sólido Escoamento em torno de um cilindro circular com circulação Γ

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1 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ - Potencial complexo W V - Velocidade complexa dw Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial z + a z V V Γ + i ln π a z 1 ( z) Γ + i πz

2 Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ - Pontos de estagnação dw V a Γ V 1 i + z πz Γ z i 4π V ± a 1 Γ 4πaV

3 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ - Pontos de estagnação 1. Γ Γ z i < 4πa V 4π V ± a 1 Γ 4πa V - Dois pontos de estagnação com a mesma pate imagináia e pates eais siméticas, menoes que a Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

4 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ - Pontos de estagnação Γ z i. Γ 4πa V 4π V ± a 1 Γ 4πa V - Um ponto de estagnação (aíz dupla) no eixo imagináio em i a Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

5 Aeodinâmica I Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ - Pontos de estagnação 3. Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Γ Γ z i > 4πa V 4π V ± a 1 Γ 4πa V - Dois pontos de estagnação no eixo imagináio. Um abaixo de i a e outo no inteio do cilindo Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

6 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial 1. Γ

7 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ 1. Γ Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial < 4πa V

8 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ. Γ Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial 4πa V

9 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ 3. Γ Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial > 4πa V

10 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Fluido Pefeito Fluido Real Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial 1. Γ

11 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Fluido Pefeito Fluido Real 1. Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Γ < 4πa V Fluido Real

12 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Fluido Pefeito Fluido Real. Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Γ 4πa V

13 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Fluido Pefeito Fluido Real 3. Γ Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial > 4πa V

14 Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Potencial complexo do escoamento em tono de um cilindo a Γ W V z i ln( z) z + + π Velocidade complexa dw a V V 1 z Na supefície do cilindo z ae V V V sen Γ + i πz iθ ( θ ) Γ + πa

15 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Foças aplicadas nas diecções x e y podem se obtidas integando a distibuição supeficial de pessão F x π π ( θ ) adθ F psen( θ ) y p cos adθ Pela equação de Benoulli 1 1 Γ p po ρ V po ρv sen( θ ) + πa Paa um cilindo com ciculação num escoamento unifome tem-se ρ Γ Fx Fy V Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

16 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Teoema de Blasius Considee-se um copo de foma abitáia em escoamento pemanente y d F pds C x Foças aplicadas ao copo são esultado da distibuição de pessão na supefície do copo, C Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

17 C x y c Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido y ds Teoema de Blasius df pdy dy dx df y x df i df pdy pdx pdx df df ( ) x x i dfy p dy + i dx ( ) i p dfx i dfy i p dx i dy Utilizando a equação de Benoulli e tendo em atenção que o integal ao longo de um contono fechado de um valo constante (p o ) não contibui paa a foça, tem-se F i F i p 1 x x ρ i c y dw df y i

18 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Momento Execido po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Teoema de Blasius Considee-se um copo de foma abitáia em escoamento pemanente y df b dm o bdf C x bpds Momento aplicado ao copo é esultado da distibuição de pessão na supefície do copo, C Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

19 C c Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial y ds Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Momento Execido po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Teoema de Blasius dm ydf dy dx df y x dm pydy + xdf pxdx df dm ( ) x o p xdx + ydy ( ) dm o pr z Utilizando a equação de Benoulli e tendo em atenção que o integal ao longo de um contono fechado de um valo constante (p o ) não contibui paa a foça, tem-se M 1 pr( z) ρ R c o o dw z x + y

20 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Teoema de Kutta-Joukowski Considee-se a aplicação do teoema de Blasius ao caso de um escoamento unifome no infinito, V U iv em tono de um copo de foma abitáia 1 dw F F x i y ρ i c dw Desenvolvendo em séie de Lauent dw 1 n V An z A + A1 z + A z n z z Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial A A...

21 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Teoema de Kutta-Joukowski No infinito, z, a velocidade é imposta, donde dw A A n V U A iv + A z 1 + n 1 A +... z Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

22 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Teoema de Kutta-Joukowski Tomando como contono de integação uma cicunfeência de aio R muito supeio às dimensões do copo e tendo em atenção que não existem singulaidades ente a supefície do copo e o contono C dw Q i Γ Μ V U iv O R πz z [ ] 3 Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

23 Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido dw Teoema de Kutta-Joukowski Q i Γ Μ V U iv O R πz z [ ] 3 Q é o somatóio das intensidades das linhas de fontes e poços no inteio do contono C Γ é o somatóio das intensidades das linhas de vótice no inteio do contono C Μ epesenta o momento complexo esultante das linhas de dipolos no inteio do contono C

24 Aeodinâmica I Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Teoema de Kutta-Joukowski A função integanda da equação de Blasius é Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido A A A B A A B A B z B z B B z A z A A dw

25 Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Teoema de Kutta-Joukowski Pelo teoema dos esíduos tem-se c dw π i B 1 4π i A A 1 Compaando dw A 1 A V A z z com dw Q i Γ V U iv + + µ + O R πz z [ ] 3

26 Aeodinâmica I Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Teoema de Kutta-Joukowski Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido ( ) π π π i i i 4 i i 1 Γ Γ Q V U dw Q A V U A c

27 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Teoema de Kutta-Joukowski Substituindo na fómula de Blasius F x i F y 1 ρ i c dw ρ ( U iv )( Q i Γ) ou seja F F x y ρu ρu Q + ρv Γ ρv Γ Q Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

28 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Teoema de Kutta-Joukowski Pojectando o vecto foça nas diecções paalela e pependicula à diecção do escoamento não petubado (em z ) obtem-se U Fx + VFy D V VFx + U F L V Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial y ρ V ρ V Q Γ

29 Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Foça Execida po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Teoema de Kutta-Joukowski D ρ V Q L ρ V Γ Em escoamento potencial, um copo finito imeso num escoamento unifome tem: - Foça de esistência (D) nula - Foça de sustentação (L) popocional à ciculação(γ) - As foças de esistência e sustentação são independentes da foma do copo

30 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Momento Execido po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido Fómula de Blasius M como 1 pr( z) ρ R c c dw z c dw z Q i Γ π i π + ( U iv ) Μ Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

31 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Momento Execido po um Escoamento Plano em Tono de um Sólido QΓ M ρ + πρ UI( Μ) VR( Μ) π QΓ [ ] iα M ρ + R i πρu Μe π em que α é o ângulo ente V e o eixo x Em notação vectoial QΓ M ρ + πρv Μ π depende da foma do copo devido a Μ M [ ] Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

32 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Escoamento incompessível e iotacional obedece à equação φ com V φ Condição de fonteia numa paede sólida V n φ n Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

33 Aeodinâmica I Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Coodenadas Catesianas Coodenadas Cilíndicas Fluido Pefeito/Ideal Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível ( ) z y x,, φ φ ( ) z,,θ φ φ z W y V x U z y x + + φ φ φ φ φ φ,, z W V V z + + φ θ φ φ φ θ φ φ θ, 1, 1 1

34 Aeodinâmica I Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Coodenadas Esféicas Fluido Pefeito/Ideal Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível ( ) ϕ θ φ φ,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ φ θ θ φ φ ϕ φ θ ϕ θ φ θ θ φ θ θ ϕ θ + + sen 1, 1, sen 1 sen sen sen 1 V V V

35 Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Singulaidades Fonte/poço pontual c c φ V φ e Escoamento com linhas de coente adiais c V, V, θ Vϕ Caudal que atavessa uma esfea de aio c 4 Q V nds π S donde Q c 4π

36 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Singulaidades Função potencial de uma fonte(q>)/poço(q<) pontual φ Q 4π θ Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial ϕ

37 Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Dipolo pontual - Pa fonte/poço a tendeem paa o mesmo ponto ao longo do segmentolcom intensidades siméticas a tende paa infinito Função potencial em P P Q 1 φ 4π 1 1 Q l cos( θ ) θ φ Poço Fonte 4π l No limite quando l, Q µ cos( θ ) φ 4π

38 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Singulaidades V Função potencial de um dipolo pontual φ µ cos 4π ( θ ) µ é a intensidade do dipolo - θ é a oientação do dipolo µ cos( θ ) µ sen( θ ), Vθ, 3 π 4π V 3 ϕ θ µ ϕ Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial

39 Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Escoamento em tono de uma esfea Sobeposição de um escoamento unifome oientado com o sentido negativo do eixo z com um dipolo na oigem do efeencial alinhado com o eixo z e de intensidade R V 3 µ π - Escoamento unifome V V cos( θ ) V V sen θ ϕ Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial V θ ( ) ϕ

40 Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Escoamento em tono de uma esfea Velocidade ao longo da esfea de aio R 3 πr V cos ( ) ( θ ) V V cos θ + 3 π R 3 πr V sen ( ) ( θ ) 3 Vθ V sen θ + V sen( ) 3 θ 4π R Vϕ Só existe componente V θ na supefície da esfea de aio R. Logo, a função potencial obtida da soma de um escoamento unifome com um dipolo pontual epesenta o escoamento em tono de uma esfea de aio R

41 Mestado Integado em Engenhaia Aeoespacial Aeodinâmica I Fluido Pefeito/Ideal Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Escoamento em tono de uma esfea Distibuição de pessão na supefície da esfea C p θ em gaus Esfea Cilindo C p p p 1 ρv p + 1 ρv ct 1 V C p V 9 C p 1 sen 4 e ( ) θ