carga da esfera: Q densidade volumétrica de carga: ρ = r.

Transcrição

1 Detemine o módulo do campo elético em todo o espaço geado po uma esfea maciça caegada com uma caga Q distibuída com uma densidade volumética de caga dada po ρ =, onde α é uma constante ue tona a expessão dimensionalmente consistente. Dados do poblema caga da esfea: Q densidade volumética de caga: ρ =. Esuema do poblema Vamos assumi ue a esfea está caega com uma caga positiva ( Q > ) e seu aio é igual a. distibuição de cagas vaia com o aio lineamente com a expessão ρ = (I) no cento, onde paa = temos ρ = (ponto em banco no cento da figua 1), até a supefície da esfea onde paa = temos ρ = (supefície em cinza na figua 1). Paa detemina o módulo do campo elético em todo o figua 1 espaço devemos considea os pontos no inteio da esfea ( ) e pontos no exteio da esfea ( ), confome figua 2. figua 2 Consideamos uma supefície Gaussiana intena e outa supefície extena á esfea. Solução Paa : Como a caga está distibuída pelo seu volume existem cagas no seu inteio (figua 3), pela Lei de Gauss figua 3 1

2 E.d = (II) a Lei de Gauss nos diz ue apenas a caga intena à supefície Gaussiana contibuí paa o campo elético, assim podemos e-esceve E.d = 1 onde ρ é a densidade volumética de cagas e a integação é feita sobe o volume limitado pela supefície Gaussiana. (III) supefície Gaussiana ue passa pelo ponto onde se deseja calcula o campo elético tem um aio s, a distibuição de cagas intena à supefície Gaussiana tem um aio, como o ponto onde se deseja calcula o campo elético está no inteio da distibuição de cagas esses aios coincidem s = = (figua ). O campo elético se espalha adialmente a pati da distibuição de cagas na dieção e, e em cada elemento de áea d da supefície temos um veto unitáio n pependicula à supefície e oientado paa foa. ssim em cada ponto da supefície o veto campo elético E e o veto unitáio n possuem a mesma dieção e sentido (figua 5). figua figua 5 O veto campo elético só possui componente na dieção e pode se escito como E = E e (IV) O veto elemento de áea pode se escito como d = d n (V) substituindo as expessões (IV) e (V) em (III), temos E e.d n = 1 E d e.n = 1 1 Obsevação: como e e n são vetoes unitáios seus módulos são iguais a 1 e como ambos estão na mesma dieção e sentido o ângulo ente eles é nulo ( θ = ), assim e.n = e n cos = = 1. 2

3 E d = 1 (VI) integal do lado esuedo da igualdade na expessão (VI) efee-se a supefície Gaussiana e é feita sobe todos os elementos de áea d (figua 6-), a integal do lado dieito da igualdade efee-se a distibuição de cagas intena à supefície Gaussiana e é feita sobe todos os elementos de volume d V (figua 6-B). O elemento de áea d seá d = s d θ senθ d d = s 2 senθ d θ d (VII) figua 6 O elemento de volume d V seá d V = d θ sen θ d d d V = 2 senθ d d θ d (VIII) Fazendo = na expessão (I) paa a densidade de cagas dada no poblema e substituindo as expessões (VII) e (VIII) em (VI), temos E 2 s senθ d θ d = 1 2 senθ d d θ d E 2 s senθ d θ d = 1 3 senθ d d θ d Do lado esuedo da igualdade a integal não depende do aio da supefície Gaussiana, assim E e s podem sai da integal e como não existem temos cuzados em θ e as integais podem se sepaadas. Do lado dieito da igualdade α é constate e pode sai da integal e como não existem temos cuzados em, θ e as integais podem se sepaadas. E s 2 sen θ d θ d = 3 d senθ d θ d (IX) Do lado esuedo da igualdade os limites de integação seão de a em d θ e de e 2 em d (uma volta completa na esfea), confome figua 7-, e temos s =, lembando da figua acima. 3

4 Do lado dieito os limites de integação seão de a em d θ, de e 2 em d (uma volta completa na esfea) e de a em d, confome figua 7-B 2 E 2 senθ d θ figua 7 d = 2 3 d senθ d θ d integação de sen θ d θ sen θ d θ cos θ cos cos integação de 2 d 2 d = 2 = 2 = 2 integação de 3 d 3 d = = = = E = 2.2 E 2 =

5 E = 2 (X) Paa : Nesta situação a supefície Gaussiana passando pelo ponto onde se deseja calcula o campo elético tem um aio s = exteno à distibuição de cagas e o aio da distibuição de cagas seá o pópio aio da esfea = (figua 8) Paa o cálculo do campo elético é válida a mesma expessão obtida em (IX) E s 2 senθ d θ d = 3 d senθ d θ d Do lado esuedo da igualdade os limites de integação seão os mesmos usados no caso anteio, apenas lembando ue agoa o ponto é exteno à distibuição de cagas, de a em d θ e de e 2 em d, e temos s =, lembando da figua figua 8 acima. Do lado dieito os limites de integação seão de a em d θ, de e 2 em d e de a em d. 2 E 2 senθ d θ d = 2 3 d senθ d θ d integação de 3 d 3 d = = = = E = 2.2 E 2 = E = 2 (XI) caga total da esfea de aio paa a densidade volumética de cagas dada no poblema é Q = d o elemento de caga d é dado po ρ = d d V expessão acima d = ρd V, substituindo este valo na Q = ρd V 5

6 substituindo a expessão (I), temos Q = d V o elemento de volume d V seá o mesmo da expessão (VIII) Q = 2 senθ d d θ d Q = 3 senθ d d θ d aui vale o mesmo cálculo feito acima, constante pode sai da integal, as integais podem se sepaadas e os limites de integação seão de a em d θ, de e 2 em d e de a em d Q = 3 d 2 sen θ d θ d Q =.2.2 Q = = Q (XII) substituindo a expessão (XII) em (XI), obtemos E = a solução seá dada pelas expessões (X) e (XIII) Q 2 (XIII) { 2, E = Q, 2 Obsevação: o campo elético em todo o espaço é dado po uma função definida po pates. Paa vaia com o uadado da distância como uma Função do 2. o Gau y = a x 2 b xc, onde E = y 2, como α e são constantes epesentam o x 2 b x c a coeficiente a e como b e c são nulos a paábola passa pela oigem e o campo elético é nulo paa =, temos, E =. E =, o campo elético vai aumentando apidamente até ue na supefície se compota como se toda a caga Q estivesse concentada na oigem e o Q campo fosse calculado a uma distância paa =, temos, E = Paa o campo elético decai popocionalmente a como numa caga pontual. 6