Lei de Gauss. Lei de Gauss: outra forma de calcular campos elétricos

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1 ... Do que tata a? Até aqui: Lei de Coulomb noteou! : outa foma de calcula campos eléticos fi mais simples quando se tem alta simetia (na vedade, só tem utilidade pática nesses casos!!) fi válida quando há movimento de cagas; fi faz pate das 4 eq. de Maxwell.

2 Fluxo de um veto Fluxo «flui : fluidez dos vetoes de um campo atavés de uma supefície (imagináia). associa campo com um fluido (pensa em..., faze analogia com...) x.: Linhas de campo de velocidade de algo escoando Quanto passa atavés de uma supefície de áea A? Tem-se que considea dimensões e dieções. Alguns exemplos de fluxo atavés de supefícies:

3 Fluxo de um veto Fomalmente (paa cálculos): associa-se veto a uma supefície! n 1) n é um veto unitáio nomal à supefície em cada ponto (aponta paa foa ); ) supefície = conjunto de elementos de áea A n A Na figua ao lado fluido de densidade ρ escoa atavés de uma supefície com velocidade v; em um intevalo de tempo t, pelo elemento de áea A, fluiá uma quantidade de massa m = ρ A vt o fluxo de massa (massa po unidade de tempo) é Φ = m t = ρ v A

4 Fluxo de um veto x..1 Água flui em um cano com diâmeto inteno de 0 mm com velocidade homogênea (constante na secção tansvesa do cano) de1,5 m/s. Calcule o fluxo da água no cano. Sol. Na pesente situação, v e A são paalelos. Potanto Φ= ρv A= ρvπ Q- Qual é a densidade da água? Substituindo os valoes numéicos tem-se kg cm Φ = 1, ,14 1,0cm cm s 3 3 Φ =0,47kg/s

5 Fluxo de um veto Analogamente... A idéia de fluxo pode se usada pa qualque campo ( imateial ) \ Fluxo do Campo lético Φ = A ( ρ v «) m uma supefície S qualque (genealizando) Φ i i A no limite de se toma elementos de áea bem pequenos i Φ = d A S (integação em toda a supefície) com d A = nˆ da

6 y (m) Fluxo de um veto x.. Um campo elético vaia nos espaço na foma 3 L N y = 400 kˆ dy Cm y Qual é o fluxo do campo na supefície quadada indicada na ao lado? 1 Sol. o sinal do fluxo depende da escolha de da. scolhendo-se saindo do papel como, tem-se nˆ = kˆ 0 1 Assim sendo, tem-se N y ˆ ˆ N y da= 400 k dak = 400 da Cm Cm Vê-se que = (y) (não depende de x e de z) \ pode-se toma da = L dy, da= N y 400 Cm Ldy S 3 L x (m) \ L N N L Φ = da= 400 Lydy= 400 L S Cm Cm 0 3 N (3m) 3 N Φ = 400 = 5,4 10 m C m C

7 Fluxo do campo de uma caga em uma supefície esféica Considee-se: patícula de caga q Q- Qual é o fluxo de em uma casca esféica de aio?. da R- Φ Ε =! No pesente caso, é paalelo a da.da = da S \ Φ = S da = da = A = S k q 4 π Φ = 4 π k q \ O fluxo Φ { independe de ; é popocional ao valo de q.

8 A lei de Gauss Considee-se: duas supefícies, S 1 e S, envolvendo a patícula de caga q q Obviamente, Φ S1 = Φ S Pensando-se em q como fonte de um fluido Φ S1 = Φ S = Φ S! Se existe um conjunto de N cagas q i, ciando campos i, tem-se = = i S 1 (pincípio da supeposição) S S \ o fluxo total atavés de uma supefície que envolva estas cagas seá Φ = S.dA = S i ( ) i.da = i S i Φ i.da = Φ i = 4 π k i {i q i Φ = 4 π k q TOTAL

9 Define-se: o A lei de Gauss 1 4π k com ε ε o = pemissividade elética do vácuo. No sistema SI tem-se ε o = 8, C N 1 m A lei de Gauss estabelece que o fluxo do campo elético em qualque supefície fechada é igual à azão ente a caga total q no seu inteio e a pemissividade do vácuo. Matematicamente, Φ = S.dA = q εο = caga dento da supefície / ε o Voltando à lei de Coulomb: F = 1 4πε o q 1 q ˆ

10 A lei de Gauss Um exemplo de análise de fluxo: uma caga positiva q e uma caga negativa q Supefície de Gauss -q Linhas de foça iadiam da caga positiva fi é fonte de linhas de foça. Linhas de foça convegem paa a caga negativa fi é um sumidouo de linhas de foça. Mas... apenas metade das linhas que iadiam da caga q convege paa a caga q. q \ Na supefície de Gauss que envolve as duas cagas, cuza um númeo líquido de linhas de foça (linhas que saem da supefície e não entam de volta) que é popocional à caga líquida em seu inteio q = q q.

11 A lei de Gauss e a lei de Coulomb A lei de Gauss é mais geal que a de Coulomb Foi visto: patícula de caga pontual q S. da = 4 π VAL também paa cagas em movimento! (não é o caso da lei de Coulomb: efeitos elativísticos) = 1 4πε Obs. 1- a Lei de Coulomb é empíica Obs. - as condições de simetia podem deixa de vale e, nesses casos, a lei de Gauss pode não se útil paa cálculo de. o q ˆ

12 R- Φ = d A S Aplicações da Simplifica o cálculo de quando há alta simetia! fi scolhe a boa supefície de Gauss! Como?? fi analisa a simetia! 1 o caso: fio eto infinito, com densidade de caga unifome λ Q- Como enconta o fluxo? = caga dento da supefície / ε o Q- Qual a supefície imagináia adequada? R- o fio tem simetia cilíndica, logo... h Supefície de Gauss... cilindo de aio concêntico ao fio bases infeio e supeio é adial (^ ao fio) fi fluxo nas bases é NULO já que ^ a da)! { fi nas lateais, // a da

13 Aplicações da é adial (^ ao fio) Φ Ε = ntão, π h = = caga dento da supefície / ε o = S.dA = = λ πεo { fi fluxo nas bases é NULO já que ^ a da)! fi nas lateais, // a da λh ε o Supefície de Gauss h Obs. O que significa se infinito?

14 Aplicações da o caso: plano infinito, com densidade de caga unifome σ O fluxo é Φ Ε = S.dA = caga dento da supefície A A Q- Como deve se o campo? R- TM que se ^ ao plano! Q- Qual a supefície imagináia adequada? R- cilindo com eixo ^ ao plano (há outas!) ntão, Φ Ε = = A S.dA = caga dento da supefície / ε o = \ = σ ε o σ A ε o Obs. O que significa se infinito?

15 Aplicações da x..4 Um objeto de dimensões minúsculas e massa m tem uma caga q cujo valo se petende detemina. Paa esse fim, suspende-se o copo, po uma linha de compimento l, amaado a um fio longo vetical com densidade linea de caga unifome λ. Veifica-se que o copo caegado se equiliba numa posição tal que a linha faz com o fio um ângulo θ. Quanto vale a caga do copo? Sol. As foças que atuam no objeto são mostadas na figua. Na dieção hoizontal tem-se λ Tsenθ = q = q πε o e usando-se = l sen θ πε o q = ltsen θ λ Na dieção vetical tem-se T cos θ = mg Potanto, q = πεolmg sen θ λ cosθ

16 Aplicações da 3 o caso: cagas e campos em um conduto em equilíbio eletostático Q- Qual deve se o campo dento de um conduto? R- NULO, pois... Q- Qual é o fluxo de em qq supefície fechada intena ao conduto? R- NULO, pois... Q- ntão,... como se distibuem as cagas em um conduto? R- qualque caga desbalanceada em um conduto em equilíbio se distibui em sua supefície Q- Como deve se o campo na supefície de conduto? R- tem que se nomal à mesma, pois do contáio haveia coentes de supefície

17 Aplicações da 3 o caso: cagas e campos em um conduto em equilíbio eletostático Q- Qual o valo de na supefície do conduto? A supefície gaussiana: pastilha de dimensões infinitesimais, com uma base no inteio e a outa no exteio do conduto conduto é constante em cada supefície da pastilha! Considee-se a densidade supeficial de cagas = σ. (σ = σ () = dq/da pode vaia de ponto a ponto!) Φ Ε = S. da = lateal. da base intena. da base extena. da = caga dento da supefície / ε o = σ A ε o campo póximo à supefície de um conduto caegado é { A = σ ε o Obs. compaa com o campo de placa infinita

18 Gaiola de Faaday q 1 q Considee-se um objeto metálico oco, tendo cagas em sua vizinhança: S q 3 1) Na ausência de movimento de cagas (coente) = 0 no inteio de um conduto. conduto q 4 ) As cagas em um conduto ficam na supefície, i.e, q inteio = 0 \ Φ Ε = = 0 S. da O inteio do conduto está blindando (gaiola de Faaday) 1 & = 0 dento da cavidade! Faaday mostou que o efeito de blindagem funciona paa = (t) x. Telefone celula dento de um ecipiente metálico

19 Campo de uma distibuição esféica de cagas Considee-se um casca esféica com caga total Q e densidade de caga unifome σ m S fi o campo = 0 tem que se adial (simetia). S. da= 4π = Q S / ε o \ Q = πε 4 o Q S S 1 R o campo é o mesmo que de uma caga pontual Q localizada no cento da casca esféica m S 1 S1. da= 4π = Q S1 / ε o = 0 \ = 0 { Q = > R, 4πε o = 0 < R. Q- Como é o campo de uma esfea maciça condutoa, com caga Q?

20 Campo de uma distibuição esféica de cagas Objeto com distibuição esfeicamente simética de cagas Distibuição esfeicamente simética: fi ρ = ρ () =ρ () (depende apenas da distância ao cento) = () =? : Φ = ε o S. da = caga dento da supefície S ε o { S. da = ρ dv = ρ ( ) 4 π d Devido à simetia da densidade das cagas, = (), ou seja, tem que se adial, logo é // a da \. da = 4 π S Assim, 1 = εo 0 ρ( ) d 0 S

21 Campo de uma distibuição esféica de cagas Q Po exemplo, se ρ () =ρ () = constante = = V 3Q 4π R 3 Paa < R (pontos intenos à esfea) o d o 3 1 3Q 1 3Q = = ε 4πR ε 4πR 3 = Q 4πε R o 3 Paa > R (pontos extenos à esfea) = 1 ε o R Q 4 π R 0 3 ' 3 d' = Q 4πε o Q = < R, { 3 4πε or Q = 4πε o R.

22 Demonstação expeimental da lei de Gauss Considee-se duas cagas pontuais q 1 e q 1 q1 q A lei de Coulomb F = 4πε Usando-se a lei de Gauss, mosta-se que F = 0 1 é empíica e o expoente foi deteminado expeimentalmente. Podeia se δ : 1 q1 q 4πε 0 1 qq F = k δ \ compovação expeimental da lei de Gauss gaante que o expoente é! Pela lei de Gauss: o excesso de cagas em um objeto conduto está na sua supefície. xpeimento: esfea caegada toca uma caixa metálica intenamente. 1 q q -q q q q Ao final, o valo da caga esidual na esfea pemite calcula δ. A B C D detemina-se que δ < 10-16!!

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