ELECTROMAGNETISMO. EXAME Época Especial 8 de Setembro de 2008 RESOLUÇÕES

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1 ELETROMAGNETISMO EXAME Época Especial 8 de Setemo de 8 RESOLUÇÕES a Paa que a patícula esteja em equíio na posição ilustada, a foça eléctica tem de te o mesmo sentido que E A caga tem de se positiva T qe mg omo a caga está em equilíio: T + qe + mg Pojectando as foças nos eios vetical e hoizontal temos: T cos θ + qe y mg T sin θ + qe c Multiplicando a pimeia equação po sin θ, a segunda po cos θ e somando-as temos qe y sin θ mg sinθ + qe cosθ q mg sinθ E y sinθ + E cosθ, 987 sin 9, 8 q, ( 6, sin 9, +, cos 9,) d Multiplicando a pimeia equação da alínea po E e a segunda po temos T E cos θ mg E + T E y sinθ E y e somando-as

2 T E mg E cosθ + E sinθ y T, 9,87, 7 N, cos 9, + 6, sin 9, a A distância dum ponto no eio dos, com coodenada, a qualque uma das caga é a + V ( ) ε O potencial num ponto é dado pela soma das contiuições de cada caga a + + ε a + ε a + O potencial ao longo do eio dos é máimo paa : V () O potencial ε a tende paa quando A sua vaiação é simética em elação à oigem c uando as duas cagas têm a mesma magnitude mas sinais opostos, V ( ) d uando as duas cagas têm a mesma magnitude mas sinais opostos, a vaiação do potencial ao longo do eio dos y tem as seguintes caacteísticas O potencial é nulo na oigem O potencial tende paa quando y O potencial é infinito paa y ± a : V (a) +, V ( a) A sua vaiação é antisimética em elação à oigem

3 a Devido à simetia esféica do polema, o campo eléctico é sempe adial, inclusive na egião < a Imaginemos uma supefície gaussiana esféica de aio, < a, cuja supefície é O campo eléctico tem uma magnitude, E, constante soe toda esta supefície, à qual é sempe pependicula Então, o fluo eléctico atavés dessa esfea é q dado po E da E Aplicando o teoema de Gauss temos E, onde ε S q é a caga contida na pate da esfea E E < a 4 4 ρ π ρ π a q ε ε ε a ε a 4 πε a Imaginemos uma supefície gaussiana esféica de aio, a < <, cuja supefície é Seguindo o mesmo aciocínio que na alínea anteio e aplicando o teoema de Gauss temos E ou seja E ε 4 π ε c Neste polema de electoestática, o campo eléctico no inteio da esfea oca condutoa tem de se nulo Então, o fluo eléctico atavés de uma supefície gaussiana esféica de aio, < < c, é nulo Isto só é possível se a caga total no inteio dessa supefície gaussiana tamém fo igual a zeo omo a esfea isoladoa tem uma caga, a sua pesença induz na supefície intena da esfea oca condutoa uma caga i Dado que a áea dessa supefície é, a densidade de caga supeficial σ

4 Em altenativa: utilizando a epessão acima deduzida no limite, o campo eléctico no lado inteno ( - ) da supefície é dado po E 4 π ε A caga induzida na supefície tem sinal contáio à caga e poduz um campo que vai anula o campo poduzido pela caga no lado eteno ( + ) da supefície Paa pontos muito peto da supefície esféica (distância << aio de cuvatua), a supefície apaenta se plana Aplicando o teoema de Gauss paa supefícies planas a esta supefície, e tendo em conta que o campo eléctico que esta distiuição de caga poduz paa σ ε E Igualando as duas epessões paa E otemos σ < é nula, temos d omo a caga total na esfea oca é nula, a caga induzida na supefície c tem de se + A densidade de caga supeficial σ c c 4 a uando S está fechado e S aeto, a difeença de potencial aos teminais do condensado é igual a V 4, V A caga amazenada no condensado é igual a 4 V 6, 4,,44 44 µ uando se ae o inteupto S e se fecha o inteupto S, a caga que estava inicialmente no condensado distiui-se pelos dois condensadoes até que a difeença de potencial aos teminais dos dois condensadoes seja igual Só nessa altua é que cessa o movimento de cagas c A caga total nos dois condensadoes é igual à caga inicial no condensado : + A difeença de potencial V é a mesma paa os dois condensadoes: 4

5 Da segunda equação deduz-se que Sustituindo este esultado na pimeia equação otemos + Da mesma foma, deduz-se que + Veifica-se que estas epessões satisfazem + 6, 44 4,8 48, µ ( 6, +,) ( 6, +,), 44 9,6 96, µ d A enegia amazenada num condensado é dada po U ( V ) omo V é igual paa os dois condensadoes, o condensado amazena mais enegia poque tem uma capacidade maio: U > U A difeença de potencial aos teminais dos dois condensadoes é 48, V 8, V 6, ou, equivalentemente, 96, V 8, V, 4 U 6, (8,),9 J 4 U, (8,),84 J Veifica-se que U > U a A foça eecida soe um aco do anel de compimento dφ pecoido po uma coente I sujeito a um campo magnético é dada po df I ds, onde ds é um vecto tangente ao anel e cuja magnitude é dφ df é um vecto adial que aponta paa o cento do anel omo I e são pependiculaes, ficamos com df I ds I dφ A foça total eecida soe o anel é a soma vectoial das foças adiais eecidas soe cada segmento do anel Dado a simetia do anel, essa soma é nula c O campo tem uma componente vetical (pependicula ao plano do anel) e uma componente hoizontal (paalela ao plano do anel) A foça total eecida soe o anel pela componente vetical é nula Dado a simetia do polema, com o eio do íman coincidente

6 com o eio do anel, a componente hoizontal é adial - e a sua magnitude é constante no peímeto do anel A foça eecida pela componente adial é vetical e aponta de aio paa cima, visto que em cada segmento do anel ela é dada po df I ds d Utilizando a epessão da alínea anteio, a foça eecida soe um aco do anel de compimento dφ é df I dφ I dφ sinθ A foça total eecida soe o anel é otida integando esta epessão soe o peímeto do anel, ie com φ vaiando de a π : F π π df I dφ sinθ I sinθ dφ π I sinθ π 6 dφ a A foça electomotiz é dada po ε, onde o fluo magnético é dado po dt Φ da omo o campo magnético é pependicula ao plano do cicuito S Φ A π ( π ) d Φ d d ε π, visto que só a intensidade do campo magnético é que dt dt dt vaia com o tempo No caso do cículo supeio, ε π,,,7 V, mv S 7 O sentido da coente é otido atavés da Lei de Lenz, que diz que o sentido da coente induzida é tal que o campo magnético po ela ciado contaia a vaiação do fluo magnético que atavessa o cicuito omo o campo aplicado aponta paa dento da folha e está a aumenta, o campo magnético devido à coente induzida deveá aponta paa foa da folha Usando a ega da mão dieita paa a diecção do campo magnético ciado po uma coente, concluímos que o sentido da coente induzida no cículo supeio é o sentido anti-hoáio, consideando este cículo sepaadamente do cículo infeio No caso do cículo infeio, ε π,9,,9 V, mv I 9 Tamém neste ciculo, consideado sepaadamente, o sentido da coente induzida é o sentido anti-hoáio 6

7 c Dado a foma como os dois cículos estão ligados paa foma o cicuito em foma de 8, as foças electomotizes induzidas em cada um dos cículos têm polaidades opostas: ε ε ε,9 7, mv I S 4 d O sentido da coente induzida no cicuito em foma de 8 é o sentido da coente induzida no cículo com maio áea, o cículo infeio: sentido anti-hoáio no cículo infeio e sentido hoáio no cículo supeio ε A sua magnitude é dada po I, onde R é a esistência do cicuito, dada pelo poduto R do compimento do cicuito e da esistência po unidade de compimento do fio,4,4 I,7 A, 7 ma, π (, +,9), π 4 7