CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 014.2

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1 CÁLCULO IFERENCIAL E INTEGRAL II Obsevações: ) Todos os eecícios popostos devem se esolvidos e entegue no dia de feveeio de 5

2 Integais uplas Integais uplas Seja z f( uma função definida em uma egião do plano e suponhamos que seja limitado A integal dupla pode se intepetada como o volume do sólido S, limitado po, pela supefície z f( e pelas etas que passam pela fonteia de, ou seja, V f ( dd () Se f(, então a integal () epesenta a áea da egião, isto é, A ( ) dd e fato, se {( R ; a b, f ( )} então b f ( ) b f ( ) b A ( ) dd d d d a a f ( ) d a que como já vimos, esta integal epesenta a áea limitada pela cuva f () e pelas etas a e b O póimo esultado nos mosta como devemos calcula a integal dupla Teoema: (Teoema de Fubini) Seja f : R R uma função contínua em uma egião assim ( R ; a b, c d Então descita: { } As integais b d d b f ( dd f ( d d f ( d d a c c a d b f ( d d e b d f ( d c a a c são as integais iteadas ou integais epetidas de f em Na pimeia integal calculamos pimeiamente em elação a mantendo constante e em seguida calculemos a segunda integal em elação a Na segunda integal calculamos pimeiamente em elação a mantendo constante e em seguida calculemos a segunda integal em elação à Eemplos: ) Calcule a integal Temos que: dd, onde {( R ;, } dd d d d d A integal dupla também pode se calculada da seguinte maneia: dd d d d d d ) Calcule o volume do sólido S acima da egião {( R ;, } + + z e abaio do plano V Obseve o sólido na figua ao lado Então, o volume V do sólido seá: ( dd ( ( d d ) d ( ) ( ) d u v z z

3 ) ada a integal dd dd, pede-se: a) Esboce a egião de integação e calcule a integal b) Tente desceve a egião de integação de outa maneia e calcule novamente a integal + Suponhamos que z f( seja uma função contínua em um domínio assim descito: {( R ; a b, () ()} com a e b constantes e () e () funções contínuas em [a, b] Então f ( ) dd b a ( ) ( ) f ( ) dd OBS: Note que temos a vaiável ente númeos e ente duas funções de Se o domínio fo assim descito: {( R ; c d, ( (}, com c e d constantes, ( e ( funções contínuas em [c, d] Então f ( ) dd d c ( ( ) ) f ( ) dd OBS: Note que temos a vaiável ente númeos e ente duas funções de Eemplos: ) Calcule as integais: a) + ( ) dd ; onde é o tiângulo de vétices (, ), (, ) e (, ) Solução: A fonteia de é assim descita: Segmento de eta que liga os pontos (, ) e (, ); Segmento de eta que liga os pontos (, ) e (, ); Reta que liga os pontos (, ) e (, ), cuja equação é essa foma, a egião pode se descita das duas fomas: {( ;, } ou ( ;, Logo, () + ( + dd ( d d ( + ) d ( + d d A integal dupla também pode se calculada da seguinte maneia: ( + dd ( + d d ( + d ( + ) d ( + ) + b) ( dd ; { ( R ;, } ) Calcule o volume do sólido limitado pelas supefícies,,,, z, Esboce o sólido f ( + eta de equação + sólido egião no plano

4 Solução: A egião do plano pode se assim descita: Logo, o volume do sólido seá: {( ;, + } + V (, ) f dd ( + ) d d ) Calcule o volume do tetaedo limitado pelo plano + + z e pelos planos coodenados Esboce o sólido ) Calcule o volume do sólido limitado pelas supefícies +, z + e pelos planos coodenados Esboce o sólido Mudança de Coodenadas Consideemos as funções u u( e v v( com deivadas paciais de pimeia odem contínuas em uma egião Esse pa de equações pode se intepetado como uma tansfomação de uma egião do plano em uma egião do plano uv, isto é, T : ' ( T ( ( onde e são subconjuntos do R Chamaemos de Jacobiano da tansfomação ao númeo eal u u v v As egiões do plano e do plano uv seão epesentadas po R e R uv, espectivamente Se a tansfomação T fo invesível, o pa de equações acima epesentam uma mudança de coodenadas Eemplos: Considea a seguinte tansfomação:, sen θ Esta é a tansfomação pola Calculemos o jacobiano da tansfomação: θ senθ, θ ) θ senθ OBS: Coodenadas Polaes O sistema de coodenadas que conhecemos paa identifica pontos no plano é o sistema de coodenadas etangulaes Eiste outo sistema de coodenadas que pode se usado neste sentido: O sistema de coodenadas polaes A segui, veemos como constui e como identifica pontos neste sistema Considee um plano e sobe ele escolha um ponto fio O, chamado de oigem ou pólo do sistema A pati do ponto O, em qualque dieção, tace uma semi-eta, nomalmente taçada hoizontalmente, chamada de eio pola Seja P um ponto qualque do plano, distinto de O Seja θ o P ângulo, em adianos, oientado AOP Se OP, então o pa (, θ) θ é fomado pelas coodenadas polaes do ponto P O A Eemplos: Identifica os pontos no plano pola a) A (, ) b) B ( 5, ) c) C (, ) d) ( 5, ) Obs: Obseve que um ponto pode te mais de uma epesentação Podeíamos pegunta se eiste alguma elação ente as coodenadas etangulaes de um ponto P e suas coodenadas polaes? A esposta é afimativa Paa mostamos isto, considee o sistema de coodenadas catesianas (etangulaes) Faça a oigem do plano pola coincidi com a oigem do plano catesiano e o eio pola coincidi com o eio dos Suponha que > Então:

5 α + θ θ - α Logo e cosα Agoa, cosα cosϑ senθ senα senθ P α θ Assim, + Se <, então cos( θ + ) e sen( θ + ) senθ Considee a seguinte egião do plano R: +,, a) Esboce a egião R e sua imagem de R no plano uv, pela tansfomação u e v + b) Calcule c) Enconte a tansfomação invesa e calcule Solução: a) Em f temos: e Como u e v + teemos: u e v aí, v u e u Em f temos: e Então u e v aí, v e u Em f temos: e Então u e v aí, v u e u Em f temos: e Então u e v aí, v e u v u egião no plano egião no plano uv b) Então u u J v v c) Resolvendo o sistema u e v + encontaemos: u + v e u + v e u v J ' u v OBS: Que elação eiste ente J e J? As equações que são invesíveis são muito impotantes, pois pemitem passamos de um sistema de coodenadas paa outo sistema de coodenadas e vice-vesa Assim a integal dupla de uma função f sobe uma egião, podeá se calculada de uma maneia mais simples sobe uma egião, imagem de pela tansfomação dada Vamos considea o poblema de mudança de vaiáveis numa integal dupla Sejam uma egião do plano e a imagem de, no plano uv, pela tansfomação biunívoca de equações

6 u u( e v v( onde u( e v( são funções contínuas, com deivadas paciais de pimeia odem contínuas e cujo jacobiano u u J v v Assim temos f ( dd ' f ( (, ( ) J dudv Esta é a fomula paa mudanças de coodenadas paa integal dupla Assim, paa as coodenadas polaes temos: Eemplo: Calcule: f ( dd ' f ( (, θ ), (, θ ) ddθ a) ( + ) dd, onde é o semi-cículo +, Esboce a egião Solução: Vamos usa coodenadas polaes paa esolve a integal, uma vez que em coodenadas etangulaes dá bastante tabalho Então, ( ) dθ d θ d ( + ) dd d b) + c) + d) dd, onde é a egião delimitada po + e + 9 Esboce a egião dd ; { ( R ; + R } Esboce a egião dd, onde é egião delimitada po + Esboce a egião Calcule o volume do sólido limitado pelas supefícies +, z e + z 8 Esboce o sólido - Integais Tiplas O cálculo de integais tiplas se eduz ao cálculo de uma integal dupla seguida de uma integal simples e, dependendo da egião de integação, a integal pode se calculada de foma iteada como tês integais simples Veja as seguintes situações, quando se deseja calcula f (, dddz : Ω Ω (, R ;( e ϕ( z ψ ( ( é uma egião do plano XY) (a) { } Neste caso é a pojeção no plano da egião de integação Ω e Ω f (, dddz ψ ( ϕ ( f (, dz dd (b) Ω {(, R ; a b, ϕ( ) ψ ( ) e α( z β ( } Neste caso a integal tipla é calculada como uma integal iteada f (, dddz Ω b a ψ ( ) ϕ ( ) β ( α ( f (, dz d d

7 Natualmente, uma mudança na descição da egião Ω acaeta invesões na odem de integação efinição: Seja um domínio egula efinimos o volume V de, como sendo Eemplos: Calcule: V dddz a) o volume do tetaedo limitado pelos planos coodenados e pelo plano + + z Solução: A egião pode se assim descita: z {( ;, +, z } Logo [ ] V dddz dz d d d d b) o volume do sólido limitado pelo cilindo e pelos planos + z e z c) volume do sólido limitado pelos paabolóides z e z + OBS: Em cada caso, esboce o sólido 7 Mudança de Coodenadas Seja w f(, uma função contínua em um domínio compacto R Seja a imagem de pela tansfomação ( v, w), ( v, w) e z z( v, w), onde ( v, w), ( v, w) e z( v, w), são contínuas, têem deivadas paciais contínuas e J Então v, w) f (, dddz ' f ( v, w) J dudvdw Em paticula, considee a tansfomação cilíndica, senθ e z z, >, θ, cujo jacobiano é senθ, J senθ, θ, CILÍNRICAS z P(, θ Potanto, f (, dddz ' f (, θ, ddθdz Eemplos: Usando coodenadas cilíndicas, calcule: a) o volume do sólido, no pimeio octante, limitado pelas supefícies + e Solução: Vamos desceve a egião no R Temos:, e z + O volume do sólido seá: z + + Em coodenadas cilíndicas teemos: dddz dzdd dddz dzdθd

8 OBS: Note que a integal em coodenadas cilíndicas é bem mais simples b) o volume da esfea de aio R c) o volume do sólido limitado pelo plano z e pela supefície z + OBS: Em cada caso, esboce o sólido 7 Coodenadas Esféicas Sejam (, as coodenadas etangulaes de um ponto P R e (ρ, φ, θ) suas coodenadas esféicas, descitas abaio: Temos potanto, que: ρsenφ ρ cosφ z ρ cos φ ρ >, φ, θ ESFÉRICAS z θ ϕ ρ P(, Então, J ρ, φ, θ ) senφ senφsenθ ρ cosφ ρ cosφsenθ ρsenφ ρsenφsenθ ρsenφ ρ senφ Eemplos: ) Calcule o volume do sólido limitado pelas supefícies z +, z, e + + z Solução: Vejamos a inteseção ente as supefícies: z + z + z z + + z Quando z teemos + e assim θ Além disso, teemos z ρ cosφ cosφ cosφ φ Logo φ e ρ Potanto, ( ) V ρ φ φ θ ρ sen d d d ) Calcule o volume do sólido acima do cone z + e limitado pela esfea + + z az ) Calcule o volume do sólido, limitado pelas supefícies ρ, θ φ OBS: Em cada caso, esboce o sólido