TICA MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA. Nona Edição CAPÍTULO. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr.

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1 CAPÍTULO 2 Está MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA TICA Fedinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Notas de Aula: J. Walt Ole Teas Tech Univesit das Patículas

2 Conteúdo Intodução Resultante de Duas Foças Vetoes Adição de Vetoes Resultante de Váias Foças Concoentes Poblema Resolvido 2.1 Poblema Resolvido 2.2 Componentes Retangulaes de uma Foça: Vetoes Unitáios Adição de Foças pela Soma dos Componentes Poblema Resolvido 2.3 Equilíbio de uma Patícula Diagamas de Copo Live Poblema Resolvido 2.4 Poblema Resolvido 2.6 Componentes Retangulaes no Espaço Poblema Resolvido

3 Intodução O objetivo desta pate é analisa o efeito de foças que atuam sobe patículas: - substitui múltiplas foças atuando em uma patícula po uma única foça equivalente ou esultante, - analisa as elações ente foças que atuam em uma patícula que está em estado de equilíbio. O foco em patículas não implica uma estição a pequenos copos. Significa que o estudo é estito a análises nas quais o tamanho e o fomato dos copos não afetam significativamente a esolução dos poblemas. Nesses casos, todas as foças que atuam sobe um dado copo podem se consideadas como tendo um mesmo ponto de aplicação. 2-3

4 Resultante de Duas Foças Foça: ação de um copo sobe outo; caacteizada po seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua dieção, e seu sentido. Evidências epeimentais mostam que o efeito conjunto de duas foças pode se epesentado po uma única foça esultante. A esultante de duas foças é equivalente à diagonal de um paalelogamo que contém as foças em lados adjacentes. Foça é uma gandeza vetoial. 2-4

5 Vetoes Vetoes: epessões matemás que têm intensidade, dieção e sentido e que se somam confome a lei do paalelogamo. Eemplos: deslocamentos, velocidades, aceleações. Escalaes: gandezas físicas que têm intensidade mas não têm dieção. Eemplos: massa, volume e tempeatua. Classificações de vetoes: - Vetoes fios têm pontos de aplicação bem definidos e não podem se deslocados sem que se alteem as condições do Poblema. - Vetoes lives podem se move livemente no espaço sem que se alteem as condições do Poblema. - Vetoes deslizantes podem se deslocados ao longo de suas linhas de ação sem que se alteem as condições do Poblema. Vetoes iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido. O veto negativo de um veto dado é aquele que tem sua mesma intensidade e sentido oposto. 2-5

6 Adição de Vetoes Rega do paalelogamo paa soma de vetoes Rega do tiângulo paa soma de vetoes Lei dos cossenos, B C C R P Q 2PQ cos B R P Q Lei dos senos, B sena P senb R senc Q A adição de vetoes é comutativa, P Q Q P Subtação de vetoes 2-6

7 Adição de Vetoes Soma de tês ou mais vetoes po meio da aplicação sucessiva da ega do tiângulo. Rega do polígono paa a soma de tês ou mais vetoes. A adição de vetoes é associativa, P Q S P Q S P Q S ( ) ( ) Multiplicação de um veto po um escala. 2-7

8 Resultante de Váias Foças Concoentes Foças concoentes: conjunto de foças que passam po um mesmo ponto. Um conjunto de foças concoentes aplicadas em uma patícula pode se substituído po uma única foça esultante que é o veto equivalente à soma das foças aplicadas. Componentes do veto foça: dois ou mais vetoes que, juntos, têm o mesmo efeito que um único veto. 2-8

9 Poblema Resolvido 2.1 SOLUÇÃO: Solução gáfica - constuímos um paalelogamo com lados nas mesmas dieções de P e Q desenhados em escala. Avaliamos gaficamente a esultante que é equivalente à diagonal em dieção e popocional em módulo. As duas foças atuam sobe um paafuso A. Detemine sua esultante. Solução tigonomética usamos a ega do tiângulo paa soma de vetoes em conjunto com a lei dos cossenos ou a lei dos senos paa enconta a esultante de P e Q. 2-9

10 Poblema Resolvido 2.1 Solução gáfica - Um paalelogamo com lados iguais a P e Q é desenhado em escala. A intensidade e o ângulo que define a dieção da esultante (diagonal do paalelogamo) são medidos, R 98 N α 35 Solução gáfica Um tiângulo é desenhado com P e Q no padão ponta-a-cauda e em escala. A intensidade e o ângulo que define a dieção da esultante (teceio lado do tiângulo) são medidos, R 98 N α

11 Poblema Resolvido 2.1 Solução tigonomética Aplicamos a ega do tiângulo. B 180 o 25 o 155 o. Pela lei dos cossenos, R P Q 2PQ cos B 2 2 ( 40N) ( 60N) 2( 40N)( 60N) cos155 R 97,73N Pela lei dos senos, sen A sen B Q R sen A A α sen sen 15,04 20 B 155 Q R 60N 97,73N A α 35,

12 Poblema Resolvido 2.2 Uma bacaça é puada po dois ebocadoes. Se a esultante das foças eecidas pelos ebocadoes é N diigida ao longo do eio da bacaça, detemine: a) A foça de tação em cada um dos cabos paa α 45 o, b) O valo de α paa o qual a tação no cabo 2 é mínima. SOLUÇÃO: Obtemos uma solução gáfica aplicando a Rega do Paalelogamo paa soma vetoial. O paalelogamo tem lados nas dieções dos dois cabos e diagonal na dieção do eio da bacaça com compimento popocional a N. Obtemos uma solução tigonomética aplicando a Rega do Tiângulo paa soma vetoial. Com a intensidade e a dieção da esultante conhecida e as dieções dos outos dois lados, paalelas aos cabos dados, aplicamos a Lei dos Senos paa enconta as tações nos cabos. O ângulo paa a tação mínima no cabo 2 é deteminado aplicando-se a Rega do Tiângulo e obsevando o efeito de vaiações em α. 2-12

13 Poblema Resolvido 2.2 Solução gáfica Aplicamos a ega do paalelogamo conhecendo a dieção e a intensidade da esultante e as dieções dos lados T N T N Solução tigonomética - Rega do tiângulo e Lei dos Senos T1 T N sen45 sen30 sen105 T N T N 2-13

14 Poblema Resolvido 2.2 O ângulo paa tação mínima no cabo 2 é deteminado aplicando a ega do tiângulo e obsevando o efeito de vaiações em α. A tação mínima no cabo 2 ocoe quando T 1 e T 2 são pependiculaes T 2 ( N) sen 30 T N T 1 ( N) cos 30 T N α α

15 Componentes Retangulaes de uma Foça: Vetoes Unitáios Pode-se decompo uma foça em dois componentes pependiculaes de foma que o paalelogamo esultante é um etângulo. F são chamados de e F componentes etangulaes e F F F Definimos então os vetoes unitáios pependiculaes i e j que são paalelos aos eios e. Os componentes de um veto podem se epessos como podutos dos vetoes unitáios pelas intensidades dos componentes do veto. F F i F j F e F são chamados de componentes escalaes de F. 2-15

16 Mecânica Vetoial paa Engenheios: Est Nona Adição de Foças pela Soma dos Componentes 2-16 S Q P R Deseja-se obte a esultante de 3 ou mais foças concoentes, ( ) ( )j S Q P i S Q P j S i S j Q i Q j P i P j R i R Paa isso, decompomos cada foça em componentes etangulaes F S Q P R Os componentes escalaes da esultante são iguais à soma dos componentes escalaes coespondentes das foças dadas. F S Q P R R R R R R actg 2 2 θ Paa enconta a intensidade e a dieção da esultante,

17 Poblema Resolvido 2.3 SOLUÇÃO: Decompomos cada foça em componentes etangulaes. Quato foças atuam no paafuso A, como mostado na figua. Detemine a esultante das quato foças no paafuso. Deteminamos os componentes da esultante somando os componentes coespondentes de cada uma das foças. Calculamos a intensidade e a dieção da esultante. 2-17

18 Poblema Resolvido 2.3 SOLUÇÃO: Decompomos cada foça em componentes etangulaes. Foça F1 F2 F3 F 4 Intens (N) Comp (N) Comp , (N) R R Deteminamos os componentes da esultante somando os componentes coespondentes de cada uma das foças. Calculamos a intensidade e a dieção da esultante. R 2 199,1 14,3 2 R 199,6 N 14,3N tg α α 4, 1 199,1N 2-18

19 Equilíbio de uma Patícula Quando a esultande de todas as foças que atuam sobe uma patícula é zeo, a patícula está em equilíbio. Pimeia Lei de Newton : Se a foça esultante em uma patícula é nula, a patícula pemaneceá em epouso ou se moveá em velocidade constante em linha eta. Paa uma patícula em equilíbio sob a ação de duas foças, ambas as foças devem te: - mesma intensidade - mesma linha de ação - sentidos opostos Paa uma patícula sob a ação de tês ou mais foças: - a solução gáfica gea um polígono fechado - solução algébica: R F 0 F 0 F

20 Diagamas de Copo Live Diagama espacial : Um esboço mostando as condições físicas do poblema. Diagama de Copo Live: Um esboço mostando apenas as foças que atuam sobe a patícula escolhida paa análise. 2-20

21 Constução do diagama de copo live Passo 1: Decida qual sistema deve se isolado ; Passo 2: Isole o sistema escolhido desenhando um diagama que epesente completamente seu contono eteno; Passo 3: Identifique todas as foças que atuam no sistema isolado devidos aos copos emovidos, que façam contato, ou que eeçam atação, e as epesente em suas poções adequadas no diagama; Passo 4: Moste os eios coodenados dietamente no diagama.

22 Poblema Resolvido 2.4 Numa opeação de descaegamento de um navio, um automóvel de N é sustentado po um cabo. Uma coda é amaada ao cabo em A e puada paa centa o automóvel paa a posição desejada. Qual é a tação na coda? SOLUÇÃO: Constuimos um diagama de copo live paa a patícula na junção da coda e do cabo. Aplicamos as condições de equilíbio ciando um polígono fechado a pati das foças aplicadas na patícula. Aplicamos elações tigonométicas paa detemina a intensidade das foças desconhecidas. 2-22

23 Poblema Resolvido 2.4 SOLUÇÃO: Constuimos um diagama de copo live paa a patícula A. Aplicamos as condições de equilíbio. Calculamos as intensidades das foças desconhecidas. T AB T AC N sen 120 sen 2 sen 58 T AB T AC N 648 N 2-23

24 Poblema Resolvido 2.6 SOLUÇÃO: Deseja-se detemina a foça de aasto no casco de um novo baco a vela a uma dada velocidade. Um modelo é colocado em um canal de teste e são usados tês cabos paa alinha sua poa com a linha de cento do canal. A uma dada velocidade, a tação é de 180 N no cabo AB e de 270 N no cabo AE. Detemine a foça de aasto eecida no casco e a tação no cabo AC. Escolhendo o casco como um copo live, desenhamos o diagama de copo live. Epessamos as condições de equilíbio paa o casco escevendo que a esultante de todas as foças é zeo. Decompomos a equação vetoial de equilíbio em duas equações paa as componentes. Resolvemos paa as tações desconhecidas nos dois cabos. 2-24

25 Poblema Resolvido 2.6 SOLUÇÃO: Escolhendo o casco como um copo live, desenhamos o diagama de copo live. tg α 2,1m 1,2 m α 60,26 1,75 tg β 0,45 m 1,2 m β 20,56 0,375 Epessamos as condições de equilíbio paa o casco escevendo que a esultante de todas as foças é zeo. R T T T F 0 AB AC AE D 2-25

26 Poblema Resolvido 2.6 Decompomos a equação vetoial de equilíbio em duas equações paa as componentes. Resolvemos paa as tações desconhecidas nos dois cabos. TAB ( 180 N) sen 60,26 i ( 180 N) cos 60,26 j ( 156,29 N) i ( 89,29 N) j TAC TAC sen 20,56 i TAC cos 20,56 j 0,3512TAC i 0,9363TAC j TAE ( 270 N) j F F i D D R 0 ( 156,29 N 0,3512TAC FD ) i ( 89,29 N 0,9363T 270 N) j AC 2-26

27 Poblema Resolvido 2.6 R 0 ( 156,29 N 0,3512TAC FD ) i ( 89,29 N 0,9363T 270 N) j AC Esta equação só é satisfeita se cada componente da esultante é igual a zeo. ( F 0) : 156,29 N 0,3512 TAC FD ( F 0) : 89,29 N 0,9363TAC T F AC D 193 N 88,5 N

28 Componentes Retangulaes no Espaço O veto F está Decompomos F em contido no plano uma componente OBAC. hoizontal e outa vel F F h F cosθ Fsen θ F h Decompomos em componentes etangulaes F F z F cosφ Fsenθ cosφ F h h sen φ Fsenθ sen φ 2-28

29 Componentes Retangulaes no Espaço Com os ângulos ente F e os eios, e z temos, F F cosθ F F cosθ Fz F cosθ z F Fi F j Fzk F( cosθ i cosθ j cosθ zk ) Fλ λ cosθ i cosθ j cosθ k 2-29 é um veto unitáio ao longo da linha de ação de F e cosθ, cosθ e cosθ z são os cossenos que oientam a linha de ação de F. λ z

30 Mecânica Vetoial paa Engenheios: Est Nona Componentes Retangulaes no Espaço 2-30 A dieção de uma foça é definida pelas coodenadas de dois pontos, em sua linha de ação. ( ) ( ) ,, e,, z N z M ( ) d Fd F d Fd F d Fd F k d j d i d d F F z z d d d k d j d i d N M d z z z z z 1 e veto que liga λ λ

31 Poblema Resolvido 2.7 SOLUÇÃO: Consideando a posição elativa dos pontos A e B, deteminamos o veto unitáio oientado de A paa B. Utilizamos o veto unitáio paa detemina os componentes da foça atuando em A. A tação no cabo de sustentação da toe é 2500 N. Detemine: a) os componentes F, F e F z da foça que atua no paafuso em A, b) os ângulos θ, θ e θ z que definem a dieção da foça. Obsevando que os componentes do veto unitáio são os cossenos que oientam a dieção do veto, calculamos os ângulos coespondentes. 2-31

32 Poblema Resolvido 2.7 SOLUÇÃO: Deteminamos o veto unitáio oientado de A paa B. AB 40m i 80m j 30 m k AB ( ) ( ) ( ) 2 2 ( 40 m) ( 80m) ( 30 m) 94,3 m λ i j k 94,3 94,3 94,3 0,424i 0,848 j 0,318 k 2 Deteminamos os componentes da foça. F Fλ 2500 N 0,424i 0,848 j 0,318k 1060 N i 2120 N j 795 N ( )( ) ( ) ( ) ( )k 2-32

33 Poblema Resolvido 2.7 Obsevando que os componentes do veto unitáio são os cossenos que oientam a dieção da foça, calculamos os ângulos coespondentes. λ cosθ i cosθ j cosθ zk 0,424 i 0,848 j 0,318k θ 115,1 θ 32,0 θ 71,5 z o o o 2-33

34 Eecícios 2-34

35 Eecícios 2-35

36 Eecícios 2-36

37 Eecícios 2-37

38 Eecícios 2-38

39 Eecícios 2-39

40 Eecícios 2-40