Matemática B Extensivo V. 6

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1 Matemática Etensivo V. 6 Eecícios ) Seja: + e s a eta pependicula a : omo s, temos: m s m s Logo, a equação da eta s é dada po: m ( ) ( ) ( ) ) + + Temos ainda: m + + m m omo as etas acima são paalelas, então seus coeficientes são iguais, ou seja: m m m ) a) / + b) ( ) a) b) omo a eta é pependicula à eta +, então o coeficiente angula da eta pocuada é m. Logo, a equação da eta pocuada é dada po: ( ( )) ( + ) + ) O coeficiente angula da eta é m. O ponto de intesecção é dado po: ( ) + + ssim, a equação da eta é: ( ( )) ( ) ) omo as etas são paalelas, então os coeficientes angulaes são iguais. Logo, m eta paalela à eta e conduzida pelo ponto é dada po: ( ) ( ) + + 6) D Já que as etas são paalelas, então possuem o mesmo coeficiente angula. + + Logo, o coeficiente angula é m. Matemática

2 Potanto, a equação da eta paalela à eta s e que passa pelo ponto P(,) é dada: ( ) 7) 8 Reta s: Logo, m s 7 Temos ainda: (P + ) + (P + ) + ( P + ) + omo s, temos m s. Daí, ( P + ) 7 ( P + ).( ) 7 P + 7 P + 7 P 7 P 6 P 6 P 8 8) D Reta : Reta : + + Logo, Reta : Logo, Logo, Temos:. 9) E Logo,. Potanto, a eta é pependicula à eta. omo essas etas são pependiculaes, temos que o coeficiente angula de uma das etas é o oposto do inveso da outa, ou seja, eta. eta a + a a a + a a + a + a a ) Sabemos que as diagonais do quadado são pependiculaes. : Logo, omo as diagonais são pependiculaes, então. m s. m s m s Potanto, a equação da outa diagonal s é: m s ( ) ( ) ( ) ) E oeficiente angula da eta definida pelos pontos e. m m 8 ( 6) 8 Logo, o coeficiente da mediatiz é: m Matemática

3 Ponto médio de. X M X X + 6 ) E Y M Y + Y 8 6 Logo, M (, 6) Potanto, a equação da eta mediatiz de é dada po: 6 ( ( )) D 6 ( + ) ) Ponto de intesecção: Paa Logo, o ponto de intesecção é I(, ) omo a eta é paalela à eta de equação, então possuem o mesmo coeficiente angula. Logo, Potanto, a equação da eta é dada po: ( ) ( ) + 6 ) Sabe-se que a equação da eta supote da altua é pependicula a. Então: m + + m Segue, m.. Potanto, a equação da eta é dada: ( ) ( ) Daí, b a S D (, ) I. Incoeta II. oeta. Pois a equação é a bissetiz dos quadantes II e IV. III. Incoeta. oeficiente angula de Logo, m oeficiente da eta deteminada po D. m D D m m m. m D. Logo, as etas não são pependiculaes. IV. oeta. Facilmente pelo gáfico vemos que o ponto simético eelação ao eio das abscissas é S D (, ). V. oeta. D 9 Áea do Δ: 9 9 D, u.a Matemática

4 ). Incoeta Logo, as etas e s não são coincidentes.. oeta Logo, m s, ou seja, paalelas.. Incoeta. Paa. + Logo, o ponto que intecepta o eio das odenadas é (, ). 8. Incoeta. Pois a eta intecepta no ponto Incoeta. + 6 (i) + (ii) Fazendo (i) (ii), teemos: + Logo, as etas inteceptam no ponto (, ).. oeta Fazendo (i) (ii), teemos: + Substituindo em (ii), obtemos:. ( ) + + Potanto, as etas e s inteceptam no ponto (, ). 6) Equação da eta s: m s ( ) Logo, ( ) ( ) + Equação da eta t: t. m t m t m t Logo, 6 ( ) ( 6 ) + + Ponto P. 6 () (i) + (ii) Fazendo (i) + (ii), teemos: Substituindo em (i), obtemos:. 8 8 Logo, P (, ) Potanto, a + b ) P está no ponto em comum dessas duas etas: + e assim. Potanto, P (, ). 8) + ( ) 66 (i) + (ii) Fazendo (i) + (ii), teemos: Substituindo em (ii), obtemos: + 9) Paa, temos:. + k + k k + Segue, + + k + 8 k + 8 k 8 k Matemática

5 ) E Reta que passa po (, ) e (, ) ( ) + Reta que passa po (, 7) e (, ) Ponto de intesecção: + (i) + (ii) Fazendo (i) (ii), teemos: + ) E ) D O ponto em que as tês etas concoem é o ponto em que e s se inteceptam: ssim, 8. Potanto, seá o ponto P 8,. Paa que t passe po esse ponto, a equação geal da eta t aplicada a P deve se zeo, ou seja, 8 + m 8 + m m 8. Ponto de intesecção: i () + () ii Fazendo (ii) (i), temos: 9 9 Substituindo em (i), teemos: Substituindo em (ii), obtemos: + Logo, o ponto de intesecção é P(, ). Paa que as etas sejam concoentes no mesmo ponto, então P(, ) deve satisfaze a equação m. Segue, m. m 6 Potanto, I (, ). m 6 m ) a) P( ; 7) b) a) Ponto de intesecção: + 7 ( ) Matemática

6 + i () + 6+ () ii Fazendo (i) + (ii), teemos: Substituindo 7 em (i), obtemos: ( 7) ) E Note que a eta é linea, ou seja, b. Logo a eta é dada po m. Potanto, : 88 Potanto, I (, 7). b) Seja a eta a se deteminada. omo a eta é pependicula à eta +, então satisfaz a seguinte igualdade: m. ssim, + + Logo, m Daí, m...( ) Potanto, a equação da eta é dada po: ( 7) ( ( )) ( + 7 ) i () + 6 () ii Fazendo (i) + (ii), teemos: Substituindo em (i), obtemos: ) Áea do quadiláteo O: s D 6 α P Logo, D 8. 8 u.a. m tg α 6 Matemática

7 6) E + 7) Ponto de intesecção:.( ) i () () ii Fazendo (i) + (ii), teemos: Ponto : i () + () ii Substituindo (i) em (ii), temos: + 8 Logo, ( 8, ). Ponto : i () + () ii Fazendo (i) + (ii), temos: Substituindo Logo, I ( 7, 7 ). em (i), obtemos: 6 Substituindo em (ii), obtemos: + Logo, (, ). Ponto : + i () () ii Substituindo (ii) em (i), temos: + Logo, (, ). Temos ainda que a eta pocuada é pependicula à eta +, logo o coeficiente angula da eta pocuada é m. Potanto, a equação da eta pocuada é: ( 7 ). ( 7 ) Matemática 7

8 8) Fazendo (i) (ii), teemos: + / Substituindo em (ii), obtemos: 6 +. Áea do tiângulo O: + i () () ii D / + D Logo,. D.. 9) a) (, ), (, ) e (, ) b) u.a. + a) Vétice : i () + () ii Substituindo (i) em (ii), obtemos: Logo, (, ). Vétice :.( ) + + () i + () ii Fazendo (i) + (ii), obtemos: + Logo, (, ). 8 Matemática

9 Vétice : i () () ii Substituindo (i) em (ii), teemos: 6 6 Logo, (, ). b) Áea do Δ : D D + + D. Logo,. D. u.a. ) Logo, a equação de h é: ( ) + + Otocento (enconto das altuas): + i () () ii 7 Fazendo (i) + (ii), teemos: Equação da altua elativa ao lado. omo m, então m. Pois h é pependicula h à eta supote de. Logo, a equação de h é: ( 7) Substituindo em (ii), obtemos: Equação da altua elativa ao lado. omo m, então m. Pois h é pependicula h à eta supote. Potanto, a b 7 7 a b a b Matemática 9

10 ) ) : + s: + 8 m s Logo, o ângulo fomado pelas etas é: m m tg θ ( ) s + ms m + ( ) + 6 tg θ tg θ Potanto, θ. ) k ou k 9 K M ) Sejam: : + s: + m s Note que:. m s. ( ) Potanto,. Sejam: : + s: m s Ângulo fomado pelas etas e s é dado po: m m tg θ s + m ms ( ) tg θ + ( ) tg θ 6 tg θ Logo, θ. ) oeficiente angula m tg θ θ m tg Logo, a equação da eta que passa pelo ponto P(8, ) é dada po: ( 8) m M M k k M 6 k m 7 7 Segue, k tg θ m m M 7 + mm m k + 7 7k tg θ + k 7k tg θ + k Paa θ temos tg θ, ou seja, 7k tg θ + k ssim, 7k ou + k 7k + k 7k k + 6k k 6 Potanto, k ou k 9. k 7k + k 7k ( + k) 7k k 7k + k + 8k 8 k 8 8 k 9 Matemática

11 6) omo as etas fomam um ângulo de θ, então tg θ. Logo, m + m Daí, m ou + m m + m m m m 6 m 6 m Potanto as etas são: Paa m : ( ) Paa m : ( ) + 7) m + m m ( + m) m m m + m + 6m m 6 m Note que a odenada do ponto P é igual ao ponto cuja a eta s cuza o eio, isto é, o ponto (, ). m tg Logo, a equação da eta s é: ( ( )) 8). ( + ) Paa, temos:. ( + ) Potanto, a odenada do ponto P é. Do gáfico podemos afima que os pontos (, ) e (, ) petencem à eta s, então vamos calcula o coeficiente angula da eta. m s ( ) m s ( ) m s m s Também do gáfico podemos afima que o ângulo ente e s é, então: m ms tg + m. ms m + m. m + m m m + Da definição de módulo temos dois casos. aso : aso : m m + m m Note que a eta é decescente, então m <, logo. Matemática

12 9) Sejam : + s: m s ) d P + + tg θ tg θ ms m + m m s 6 + ( ) 6 d P d P. d P ) D tg θ tg θ, Note que: <, <,7 Daí, temos: tg < tg θ < tg 6 Potanto, < θ < 6. Sejam : s: ( ) ) E s d ap Então: ms m tg θ + ms m + tg θ + omo >, temos: tg θ + tg θ. + ( tg θ ) + tg θ θ ac tg ( ) θ d s d s 9+ 6 ) a + b + c d p a + b + p + p p p. p p Matemática

13 Logo, p p + p p ) p ou Potanto, p 8 ou p. p p + p 8 p 8 P(m, ) : + + d 6 p + p + d + 6 m m m m m m m + 8 m + 8 (a) De a temos dois casos. aso I: aso II: m + 8 m + 8 m 8 m 8 m m 8 m m 8 Então, m + m 8 6. ) unidades : + 6 s: + Distância ente etas: d,s a + b 6 d,s + d,s + 9 d,s. d,s 6) h oeficiente angula da eta () supote do segmento. ssim, m 7 m ( ) Logo, a equação da eta é dada po: ( + ) ( )(+) Matemática

14 ltua é dada po: 9) 7) D h d V h + + h h ( )+ + h D 6 Segundo o gáfico obtemos facilmente h. h Vamos enconta a equação da eta () supote do segmento. m Segue: ( ) + + 8) Potanto, a altua elativa ao lado é: h d, + + h. h ( )+ + h 8+ h 6 6, ) Seja : a + b + c a equação da eta pocuada. omo a eta é paalela à eta de equação +, temos que a b. Logo: d,p + + c + + c ) D. + c. + c 6 + c Temos dois casos: aso I. + c 6 c 6 c aso II. + c 6 c 6 c 9 Potanto, as etas são: (não seve, pois não passa pelo ponto P(, ). De fato, ). m d + ( ) 8 m Matemática

15 ) 8. m 6 m m Temos os seguintes casos: aso I. m m m aso II. m + m m 6 Potanto, m ou m 6. Do enunciado temos que. d + + ( ) Temos os seguintes casos: aso I. + 7 aso II. + 6 Potanto, ) a), b) P h unidades de compimento Q (, ) a) Vamos enconta a equação da eta () que passa pelo ponto P(, ) e seja pependicula à eta s.. m s. ( ) Logo, a equação da eta t é dada po: ( ) + Potanto, o ponto Q(, ) é dado pela solução do seguinte sistema: +.( ) + + i () + () ii Fazendo (i) + (ii), teemos: Substituindo 8 em (i), obtemos: s + ( ) Matemática

16 6 + Potanto, Q ( 8, ). b) h d PQ 8 + h + h h ( + ) h h h + ( ) h + h ) P s No tiângulo OP, temos: sen. sen o sen. 6 6 Logo, (, 6). m s tg No tiângulo PO, temos: sen Logo, ( 6, ). Potanto, a equação da eta (s) é: Logo, a e b 6. Potanto, 6a + b 6. ( ) + ( 6) 6a + b a + b 6 + 6a + b 6 Matemática

17 ) Ponto de intesecção das etas e s. λ ( ) + 6 i () + () ii Fazendo (i) + (ii), temos: + d Substituindo em (ii), teemos: Temos que: a tg tg omo a eta passa pelo ponto (, ), temos que b. Logo, a equação da eta é: a + b + + Potanto, a distância da eta e o cento é dado po: d,o + + d,o d,o. d,o d,o 6) Equação da eta s: Equação da eta : s h. Incoeta. 7 h 7 Áea do tiângulo. h 7 7 ua.. Matemática 7

18 . Incoeta. Pois. m s.. Incoeta. Pois a eta e s inteceptam no ponto de abscissa. 8. oeta. d o, + + d o, d o, d o,. 6. oeta.omo mostado no início da questão. 8 Matemática