ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 SCOL POLITÉCIC UIVRSI SÃO PULO epatamento de ngenhaia ecânica P 100 CÂIC 1 Pova Substitutiva 1 de julho de uação: 110 minutos (não é pemitido o uso de celulaes, tablets, calculadoas e dispositivos similaes) 1ª Questão (,5 pontos). ois discos e, homogêneos e de massa m estão ligados po meio de uma baa C de massa despezível aticulada em C e. Um bináio de módulo constante é aplicado ao disco de cento. Sabe-se que os discos olam sem escoega sobe o plano hoizontal. o instante mostado, a baa C está paalela ao plano hoizontal. Paa esse instante, pede-se: (a) desenha os diagamas de copo live dos discos e da baa; (b) detemina a aceleação do cento de massa de cada disco; (c) detemina as foças que agem na baa; (d) detemina os valoes mínimos dos coeficientes de atito µ 1 e µ paa cada disco, compatíveis com o movimento de olamento sem escoegamento. RSOLUÇÃO Os diagamas de copo live dos discos e da baa são apesentados nas figuas abaixo: C C plicando-se o T e o TQ ao disco de cento, obtém-se: ma (1) C () (1 ½ ponto) ω& C () z + Como ambos os discos têm o mesmo aio e olam sem escoega, a aceleação de seus baicentos é dada po: a ω& () onde ω& é a aceleação angula (incógnita) dos discos. plicando-se o T e o TQ ao disco de cento, obtém-se: ma mω& (5) (6) z ω& (7)

2 SCOL POLITÉCIC UIVRSI SÃO PULO epatamento de ngenhaia ecânica P 100 CÂIC 1 Pova Substitutiva 1 de julho de uação: 110 minutos (não é pemitido o uso de celulaes, tablets, calculadoas e dispositivos similaes) plicando-se o T à baa C e lembando que esta possui massa despezível, esulta que: C (8) a equação (), decoe que zω& ( ) C + e da equação (7), decoe que ( ) zω& Igualando-se as expessões acima, esulta: z ( ) 0 & ω + & ω + (9) z as equações (1) e (5), esultam: C mω& (10) mω& + (11) Igualando-se as expessões acima, esulta: mω& (1) Substituindo-se a expessão acima em (9), obtém-se: ( + ) ω + ( m & ω) 0 z z & (1) Substituindo-se as expessões de z e z acima, obtém-se ω& : ω& (1) m Logo, a aceleação dos baicentos dos discos, é dada po: a ω& (15) m pati de (8), (10) e (11), obtém-se: mω& + (16) C Substituindo-se (16) em (9), obtém-se: z m m m + & m ω + & ω & ω (17) Substituindo-se (17) em (16), esulta: C m + m (18)

3 SCOL POLITÉCIC UIVRSI SÃO PULO epatamento de ngenhaia ecânica P 100 CÂIC 1 Pova Substitutiva 1 de julho de uação: 110 minutos (não é pemitido o uso de celulaes, tablets, calculadoas e dispositivos similaes) Potanto, na baa C age uma foça de tação de módulo Substituindo-se (18) em (), obtém-se: m m C z ω& (19) Paa que ambos os discos olem sem escoega, deve-se te: µ µ µ (0) µ µ µ (1)

4 SCOL POLITÉCIC UIVRSI SÃO PULO epatamento de ngenhaia ecânica P 100 CÂIC 1 Pova Substitutiva 1 de julho de uação: 110 minutos (não é pemitido o uso de celulaes, tablets, calculadoas e dispositivos similaes) ª Questão (,5 pontos). figua mosta um disco homogêneo, de massa m e aio R, que pate do epouso e ola sem escoega em um plano inclinado devido à ação da gavidade e de um bináio, constante. O disco está conectado a uma guia hoizontal C sem atito po meio de uma mola ideal de constante elástica k, que se mantém na dieção vetical duante o movimento. o instante inicial o disco se enconta na posição x 0 e a mola não está defomada, pede-se, paa um instante posteio: (a) o diagama de copo live do disco; (b) a enegia cinética do disco, em função da sua velocidade x& ; (c) o tabalho ealizado pelos esfoços aplicados ao disco, em função de x ; (d) a velocidade angula ω do disco, em função de x ; (e) a aceleação angula ω& do disco, em função de x. RSOLUÇÃO a) O diagama de copo live do disco: b) enegia cinética do disco em função da sua velocidade : (1 ponto) c) O tabalho ealizado pelos esfoços aplicados ao disco em função de : Potanto, o tabalho total ealizado pelos esfoços aplicados ao disco é: (1 ponto)

5 SCOL POLITÉCIC UIVRSI SÃO PULO epatamento de ngenhaia ecânica P 100 CÂIC 1 Pova Substitutiva 1 de julho de uação: 110 minutos (não é pemitido o uso de celulaes, tablets, calculadoas e dispositivos similaes) d) velocidade angula ( ) do disco em função de ; plicando o TC ao disco, tem-se: Consideando que : e) aceleação angula ( ) do disco, em função de. eivando, em elação ao tempo, a expessão de obtida no item d), tem-se

6 SCOL POLITÉCIC UIVRSI SÃO PULO epatamento de ngenhaia ecânica P 100 CÂIC 1 Pova Substitutiva 1 de julho de uação: 110 minutos (não é pemitido o uso de celulaes, tablets, calculadoas e dispositivos similaes) ª Questão (,0 pontos). O caetel de massa m e cento de massa possui distibuição de massa tal que o momento de inécia em elação ao seu pólo é dado po z 5m. Sobe o caetel, enola-se um cabo ideal sujeito à ação das foças de módulo constante, mas desconhecido. O caetel apóia-se constantemente sobe um supote em V. O coeficiente de atito dinâmico ente as supefícies é µ e o ângulo θ vale π adianos. essas condições, pede-se: θ θ (a) o diagama de copo live do caetel; (b) o valo das foças constantes aplicadas ao cabo e capazes de popociona ao caetel uma aceleação angula de módulo α. RSOLUÇÃO a) O diagama de copo live é dado abaixo, onde: e C são os pontos de contato do cabo com o caetel; e são os pontos de contato ente o caetel e o apoio em V ;,, e são espectivamente as foças nomais e de atito no contato ente o caetel e o apoio. P y C θ x (1 ponto) b) O caetel, na situação poposta, apenas gia em tono de seu cento de massa. aplicação do T, já levando em conta o valo do ângulo θ conduz a: x y P 0 Como há escoegamento puo ente as supefícies em contato, podemos esceve, a pati das equações (1), 0 x y 0 (1 + µ ) (1 µ ) + (1 µ ) 0 (1 + µ ) Resolvendo as equações () obtém-se P 0 (1) ()

7 SCOL POLITÉCIC UIVRSI SÃO PULO epatamento de ngenhaia ecânica P 100 CÂIC 1 Pova Substitutiva 1 de julho de uação: 110 minutos (não é pemitido o uso de celulaes, tablets, calculadoas e dispositivos similaes) P (1 µ ) (1 + µ ) P (1 + µ ) (1 + µ ) Com e temos e : P (1 µ ) µ (1 + µ ) P (1 + µ ) µ (1 + µ ) plicando-se o TQ no pólo, tem-se: z z ext α α k ( ) + ( C ) + ( ) + ( ) zα k ( + + ) k () fetuando a mudança de pólo paa o momento de inécia, temos: m z z + md, z z m z Utilizando também os valoes das foças de atito calculadas anteiomente, a equação () leva a: m µ P (1 µ + 1+ µ ) α + (1 + µ ) Resolvendo () paa obtemos () µ P mα + (1 + µ ) 8