Série II - Resoluções sucintas Energia

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1 Mecânica e Ondas, 0 Semeste , LEIC Séie II - Resoluções sucintas Enegia. A enegia da patícula é igual à sua enegia potencial, uma vez que a velocidade inicial é nula: V o mg h 4 mg R a As velocidades nos efeidos pontos podem se obtidas usando a expessão da consevação da enegia mecânica: 4 mg R mv A, 4 mg R mv B + mg R, 4 mg R mv C + mg R. Vem pois v A 8 g R, v B 6 g R, v C 4 g R. b Seja Q um ponto genéico da calha identificado pelo valo do ângulo θ que o segmento QO faz com a vetical AO (sendo O o cento da cicunfeência. A equação de Newton paa a componente centípeta da foça é: N + mg cos θ m v R, em que N é o valo da eacção da calha sobe a patícula em Q. Po outo lado, a consevação da enegia mecânica é expessa pela igualdade 4 mg R mv + mg (R R cos θ. Combinando estas duas equações obtemos a seguinte expessão da foça N em qualque ponto da calha: N 3 mg ( + cos θ. em-se então N A 9 mg, θ 0 N B 6 mg, θ π/ N C 3 mg, θ π c Paa que o loop seja ealizado com sucesso é peciso que o copo se mantenha sempe em contacto com a calha, ou seja, é necessáio que, em qualque ponto, haja uma eacção nomal da calha sobe o copo. Oa, esta foça tem o seu valo mínimo no ponto C (isso é clao em

2 na expessão de N,mas é também vedade paa qualque altua do ponto de lançamento P, pelo que a altua mínima de onde o copo deve se lançado deve coesponde a uma eacção nomal nula em C. Da expessão de N tem-se: 0 + mg cos π m v C R vc g R combinando isto com a consevação da enegia mecânica, tem-se: mg h min mv C + mg R donde, h min 5 R.. A pati da foça de atacção univesal de Newton, escita em coodenadas esféicas, e sendo o vecto que liga os dois copos: F G M m e pode obte-se o potencial associado (admitindo paa zeo do potencial, potencial coespondente a infinito: F V V G M m a Desenvolvendo o potencial em tono de um ponto à supefície da ea, e tuncando na pimeia odem: V (R + h V (R + dv d (R h +... V (R + h V (R dv d (R h dv d G M m substituindo, tem-se: dv d (R G M m R V (R + h V (R G M m h m G M R h R A pati da expessão da atacção univesal de Newton, tem-se paa aceleação de um copo à supefície da ea: F( R G M m e R m G M e R mg e g G M R tem-se paa o potencial peto da supefície da ea, escolhendo paa zeo do potencial o seu valo à supefície: V (R + h mg h em que a aceleação é dada po: g G M R ( m/s. b Fazendo o cálculo da difeença de potencial atavés da expessão exacta: V (R + h V (R G M m R +h + G M m R G M ( R +h R m V (R + h V (R m(j

3 A pati da expessão apoximada: V apox (R + h V apox (R mg h m(j e compaando os dois esultados: V V apox V ou seja, ceca de % Paa calcula a velocidade de escape, pecisa-se de sabe qual o enegia mínima paa que um copo se libete da atacção, isto é, que tenha a enegia mínima paa chega a infinito. À supefície do planeta a enegia é: E S mv esc G M m R ; em infinito, a enegia cinética mínima seá 0, logo: E mv G M m 0 Usando an consevação da enegia, podemos iguala os dois esultados: E S E v esc G M R No caso da ea: v esc. 0 4 m/s mv esc G M m R 0 b Paa o satélite desceve uma óbita cicula: F G + F C 0 G M m + m v 0 v G M em que v é a velocidade com que o satélite gia em tono do planeta. Potanto, o acescimo de velocidade necessáio, seá: v v esc v G M G M G M ( Reescevendo em elação à velocidade de escape à supefície: v G M R R ( v v esc R ( Se se considea um ponto póximo da supefície, isto é, R: v v esc ( 0.9 v esc 4. Paa o satélite desceve uma óbita cicula: F G + F C 0 G M m + m v 0 v G M se a óbita se de junto da supefície da ea, tem-se R, ou seja: v G M R G M R R g R 3

4 logo, v g R 5. Qualque óbita de um satélite tem de conte no seu plano o cento atacto, neste caso, o cento da ea, ou seja, à pojecção dessas óbitas coespondem os cículos máximos da ea. a Se se petende uma óbita geo-estacionáia, isto é, o satélite se visto como fixo da ea, ele deveá te uma óbita cicula pependicula ao eixo da ea. Oa, existe um único cículo máximo pependicula ao seu eixo: o equado. Potanto, uma óbita geo-estacionáia deveá se esta sobe o equado. b A condição de óbita cicula é: F G + F C 0 G M m + m v 0 v G M Paa se visto da ea no mesmo ponto deveá te um peíodo de otação igual ao peíodo de otação teeste: 3 h 56 mn s ω π ad/s como numa obita cicula se tem v ω, v G M ω G M 3 G M ω m c Paa calcula a velocidade: G M v v m/s 6. Consideando a situação em que o copo se enconta na linha que une a ea e a Lua, a foça que actua uma massa m seá: F G M m e sg( d G M L m ( d e em que a função sg é a função sinal que dá ( se o agumento fo negativo e (+ no caso contáio. A pati da definição de potencial, tem-se: ou seja, F V V F d + V o V V o ( G M m sg( d G M L m ( d d Paa evita poblemas com a integação da função sg( d, vai-se considea o integal paa as situações em que < d e > d: { V Vo G m ( M M L ( d d ( < d V V o G m ( M + M L d ( < d ( d 4

5 ou ainda, { V Vo G mm d G mm L V V o G mm d + G mm L como, d e d ( d ( < d d ( d ( > d d ( d d tem-se, então: { V Vo G m M + G m M d ( < d V V o G m M G m M d ( < d eagupando, V V o G m M sg( dg m M d Fazendo o zeo do potencial em infinito e substituindo a função sinal pelo módulo: V G m M G m M d a Paa calcula a velocidade de escape: mv(l esc + V ( R mv mv(l esc G m M R v esc (L G M R v (L esc v (L esc + G M R d ( v esc + G M R d m/s + G m M R d + V ( b Seja X o ponto em que o potencial é máximo ente a ea e a Lua. Nesse ponto a foça que a ea exece sobe o copo compensa a foça que a Lua exece sobe ele. Assim, paa calcula a velocidade mínima com que o copo chega à supefície da Lua, considee-se um copo que tem velocidade paticamente nula nesse ponto X e aplique-se a consevação da enegia ente ele e a supefície da Lua: mv X + V (X mv (d R L + V (d R L v (d R L m (V (X V (d R L com v X 0 Paa obte o ponto X, calcule-se o ponto em que a esultante das foças é nula, paa 0 < < d: G M m + G M L m ( d 0 M ( d M L (M M L d M + M d 0 esolvendo a equação, M + M M L M M L A solução que satisfaz a condição 0 < < d é: d X M M M L M M L d 5

6 X m Substituindo, então na expessão da velocidade à supefície da Lua, tem-se: v (d R L G ( M X M L X d + substituindo os valoes, obtem-se: v (d RL m/s M (d R + M L d R L d 7. a A teceia lei de Keple pemite esceve t 3 t a, a 3 em que t e a são os peíodos das óbitas da ea e do asteoide, espectivamente, t é o aio da óbita da ea e a é o compimento do semi-eixo maio da elipse descita pelo asteoide. Obtem-se, então, medindo o tempo em anos e as distâncias em UA, 3 a a 3 a 5.46 anos ( j + t em que j é o aio da óbita de Júpite. b Na óbita elíptica do asteoide conseva-se a enegia mecânica e o momento angula. No afélio (ponto de maio afastamento do Sol, tem-se E a mv a G M S m a, L a m a v θa m a v a, onde se usou v θa v a, pois, sendo um ponto de máximo, v ṙ 0. De igual foma, paa o peiélio da óbita (ponto de maio apoximação ao Sol, E p mv p G M Sm p, L p m p v θp m p v p. Da consevação do momento angula esulta que a velocidade do asteoide vai se máxima no peiélio e mínima no afélio. Mais pecisamente, obtem-se a elação v a p a v p, o que, substituindo em E p E a conduz a ( ( vp p G M a S p a omando p UA e a 5. UA vem v p 38.6 km/s v a 7.4 km/s. 8. Paa veifica que a dependência é em /, vamos admiti como válida aquela elação e veifica se se obtem ou não a igualdade ente as extessões. F L G M M L F d CL M L v M d L d ω F S G M m P R S mg e igualando, G M M L d M L d ω G M d 3 ω 6

7 G M m R igualando G M, tem-se: Como, tem-se, mg G M g R d 3 ω g R d 3 ( π g R 4 π d dia s ( π ( ( o que, dento da magem de eo, coesponde à igualdade. g R 9. A foça é dada pelo gadiente da enegia potencial: F V V x e x V y e y V z e z a Paa o potencial tem-se V (x, y x sin x y + y cos y x F b Paa o potencial tem-se ( xy xy xy y (sin + cos + x sin y x e x x y cos x y + cos y x y x sin y x e y V (x, y, z k (x + y + z F k (x e x + y e y + z e z k. 0. A foça é dada pelo gadiente da enegia potencial: F V V x e x V y e y V z e z Paa sabe se a foça é consevativa deveá calcula-se o seu otacional ( F, se fo zeo a foça é consevativa, se não fo, não o é. Em coodenadas catesianas o otacional é calculado a pati da expessão: otf F e x e y e z x y z F x F y F z otf ( F z y F y z e x + ( F x z F z x ey + a Seja a foça F a (x b e x ; ( Fy x F x y e z. Neste caso é imediato veifica que o seu otacional otacional é zeo. Paa calcula o 7

8 potencial: dv F dx V F dx + V o V a (x b dx + V o ( x V (x a b x + V o, em que V o é uma constante abitáia. b Neste caso é necessáio calcula o otacional da foça paa aveigua se ela é consevativa. F ( a Vsando a identidade do poduto exteno: tem-se oa, a ( b c b( a c c ( a b ( a a( ( a x x + y y + z z 3 a x a x + y a y + z a z 0 donde esulta: F 3 a Calculando o otacional da foça: logo, F (a x + b y e x + (a z + b x y e y + (a y + b z e z F ( F z y F y z e x + ( F x z ( F z Fy x ey + x F x y e z F (a a e x + (0 0 e y + ( b y b y e z F 0 ou seja, a foça é convesativa. Resta, pois, enconta o potencial. Nestas condições a vaiação da enegia potencial é igual ao tabalho (que não depende do caminho escolhido: V (x, y, z V o (x,y,z (0,0,0 F d V (x, y, z V o (x,0,0 (0,0,0 F x dx (x,y,0 (x,0,0 F y dy (x,y,z (x,y,0 F z dz V (x, y, z V o (x,0,0 (0,0,0 (a x + 0 dx (x,y,0 (x,0,0 (0 + b x y dy (x,y,z (x,y,0 (ay + b z dz V (x, y, z a x b x y a y z 3 b z3 + V o Em que V o é uma constante abitáia, não física, que podeá se escolhida do modo consideado mais conveniente.. A expessão geal do tabalho de uma foça F ao longo do pecuso AB é W AB F d 8

9 No nosso caso temos F mg e y e o elemento de compimento é convenientemente escito em coodenadas polaes: d R dθ e θ. Usando seguidamente a fómula que elaciona o vecto pola e θ com os vectoes catesianos, vem e θ sin θ e x + cos θ e y, W mg R 3π π cos θ dθ mg R. b Neste caso de uma foça é tangente à tajectóia e, potanto, sempe paalela ao deslocamento elementa, logo, W 3π π. Seja a foça, F b R dθ π F b R F (4 x 3 + x y e x x y e y. a Paa que a foça seja consevativa, o seu otacional deve se igual a zeo, F ( Fy x F x y e z F ( 4 x y + 4 x y e z 0 logo, a foça é consevativa. b Paa calcula a enegia potencial em (x, y, tomando paa zeo do potencial a oigem, tem-se: V (x, y (x,y (0,0 V (x, y +x 4 + x y F d (x,0 (0,0 (4 x3 + 0 dx + (x,y (x,0 x y dx c Paa veifica explicitamente: F ( V x e x + y e y + z e z V F (4 x 3 + x y e x x y e y o que dá o valo inicial da foça. d Da consevação da enegia mecânica, (0, 0 + V (0, 0 (, 0 + V (, 0 (0, 0 (, 0 + V (, 0 V (0, 0 (0, mv v v.4 m/s 3. Seja a foça, F k y z sin (kxy e x + k x z sin(kxy e y cos(kxy e z a Paa que a foça seja convevativa o seu otacional deveá se igual a zeo 9

10 otf F e x e y e z x y z k y z sin (kxy k x z sin(kxy cos(kxy logo, F ( y ( cos(kxy y k x z sin(kxy e x+ ( zk y z sin (kxy x ( cos(kxy e y+ ( x k x z sin(kxy y k y z sin (kxy e z (k x sen(kxy k x sen(kxy e x + 0 (k x sen(kxy k x sen(kxy e y + (k z sen(kxy + k x y z cos(kxy k z sen(kxy k x y z cos(kxy e z potanto, a foça é consevativa. b Paa calcula o potencial em (x, y, z, V (x, y, z V (0, 0, 0 (x,y,z (0,0,0 F d tomando paa zeo o ponto (0, 0, 0, tem-se V (,, (,0,0 (0,0,0 k y z sin (kxy dx + (,,0 k x z sin(kxy dy+ (,0,0 (,, ( cos(kxy dz (,, cos k 0 dz cos k logo, a enegia potencial no ponto (,, é: V (,, cos k 4. Seja a foça F k (x z ( e x e z a Paa mosta que a foça é consevativa: otf F e x e y e z x y z k (x z 0 k (x z ou seja, F x k (x z e x + ( z k (x z x k (x z e y y k (x z e z logo F 0 isto é, a foça é consevativa. b O potencial é então: V ( V ( o o F d V ( V ( o (x,y,z o (x o,y,z o F xdx (x,y,z (x,y,z o F zdz V ( V ( o k x x o (x z dx + z z o (x z dz 0

11 e, finalmente, tem-se V ( V ( o k 3 ( (x z 3 (x o z o 3 c Paa veifica a econstução da foça a pati do gadiente: gad V ( V x e x + y e y + z e z V gad V V k (x z e x k (x z e z que é a foça. 5. Seja a foça, F (x a y e x + (3 y x e y a Paa veifica os casos em que é consevativa, calculemos o seu otacional: otf F e x e y e z x y z x a y 3 y x 0 ou seja, F ( z (3 y x e x + z (x a y e y + x (3 y x y (x a y e z F ( + a e y assim, a foça seá consevativa paa a. b V ( V ( o o F d V ( V ( o (x,y o (x o,y o F xdx (x,y (x,y o F ydy V ( V ( o (x,y o (x o,y o (x y o dx (x,y (x,y o (3 y x dy V ( V ( o (x y o (x o y o + 6 (3 y x 6 (3 y o x fazendo as contas, obtem-se, V ( V ( o + (4 x y x 3 y 4 x o y o + x 3 yo e fazendo o potencial na oigem igual a zeo, tem-se V ( (4 x y x 3 y

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