ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PME 2200 MECÂNICA B 2ª
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- Eugénio Festas
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1 ESCLA PLTÉCNCA DA UNVERSDADE DE SÃ PAUL DEPARTAMENT DE ENENHARA MECÂNCA PME MECÂNCA B ª Pova /5/ Duação minutos (Não é pemitido o uso de calculadoas). b j B y A ω a M ω C g i ª Questão (, pontos) No sistema da figua, o disco de massa M, aio R e cento de massa, está peso a um eio de massa despezível, que gia em tono de B com velocidade angula ω. eio está montado em mancais, que po sua vez estão fiados em um sistema de supote, o qual gia em tono do eio Ay, fio, com velocidade angula ω. É dado o momento de inécia MR =, do disco em tono de. Pede-se: a) Detemine qual o mancal que se desgastaá mais, admitindo que o desgaste seja popocional apenas à foça nomal atuante no mancal; justifique a sua esposta. b) Detemine as eações nos mancais. a Questão (4, pontos) -- y j b a i P Q defensa pie A figua ao lado mosta um ebocado potuáio pestes a se choca conta uma defensa de um pie. A embacação, de massa total M, ealiza uma manoba à é, em movimento de tanslação pua, com velocidade constante, tal que V = ui é o veto de velocidade de seu cento de massa, imediatamente anteio ao choque. ponto de contacto da embacação com a defensa é P, tal que ( P ) = ai bj. Dado o coeficiente de estituição e, e despezando qualque foma de atito, pede-se: a) elaboe o diagama de copo-live; b) equacione o poblema de impacto; c) detemine o impulso R aplicado à embacação; d) detemine e a velocidade V = i + v j, do cento de massa da embacação e o veto de otação da embacação ω, logo após o choque. Dado:, momento de inécia total da embacação em tono do eio z. 3 ª Questão (baseada no eecício computacional #) (4, pontos) Z φ & z y Considee, confome mosta a figua, um pião simético, sujeito apenas à ação da foça peso, depezando qualque foma de atito. eio fio Z é vetical e é uma aticulação. Nestas condições, uma única equação difeencial odináia, não-linea, ege o movimento do pião, X z mg φ Y ( α β cos )( β α cos ) & + = mgz sen 3 () sen
2 onde α = K φ& sen + cos ( φ& Z = J + cos ) e β = K ( ψ φ& z = J & + cos ), componentes do momento angula nas dieções dos eios Z e z, espectivamente, são dois invaiantes do movimento e, potanto, dependem apenas das condições iniciais. Pede-se: (a) Detemine o valo da taa de pecessão estacionáia φ & = Ω, consideando conhecidos a taa de otação pópia ψ & = ω, constante, e o ângulo de equilíbio. (b) Elaboe um diagama de blocos paa simulação da equação () em ambiente SCCS/SCLAB, chegando até o nível que pemita plota um gáfico da posição do cento de massa ( X, Y, Z ). (c) A figua abaio mosta dois esultados de simulação da equação (). Responda às seguintes peguntas: - Qual dos dois casos coesponde à pecessão estacionáia? - bsevando os gáficos do caso (b), vê-se que a taa de pecessão atinge um valo máimo quando a taa de otação pópia atinge valoes mínimos e também quando o ângulo de nutação tem valoes máimos. Eplique poque isto ocoe desta maneia. 3 - Avalie o peíodo da nutação no caso (b). 4 - Se a otação pópia fosse aumentada, o peíodo de nutação diminuiia ou aumentaia? Justifique. Paâmetos da simulação: mgz =. Nm; =, kg m ; = ; condições iniciais: () = π 6; ψ () =. ad/s; & J & () = Z.65 Z Y X..5. Y X. Ψ & (a) φ & (b) φ & ψ - 5 & & (a) (b)
3 PME - - P# - /5/ - RESLUÇÃ DETALHADA a. Questão a) Temos um caso de pecessão estacionáia em que os eios de otação pópia e de pecessão fomam um ângulo de 9 o. Sabemos que nesse caso o eio de otação pópia, o momento aplicado ao oto e o eio de pecessão fomam um tiedo eto positivo e, potanto, o momento aplicado ao oto tem a dieção e sentido de k. Potanto o momento aplicado aos mancais teá a dieção e sentido de k. Como a componente estática da eação nos mancais tem a dieção e sentido de j, o efeito do bináio gioscópico seá o de aumenta o módulo da eação em B e diminui o módulo da eação em C. Assim, dento das hipóteses do poblema, o desgaste seá maio em B. b) Veto de otação: ω = ω i + ω j Momento angula: H = ω i + yω Deivada do momento angula em elação ao tempo: TMA: M ω H B y C ω = & + y = a TR: B + C P Resp: y y = P MR ωω B y = + e 4a j P MR ωω C y = 4a & H = ω ω k bs: Pelo menos um dos mancais deve impedi o movimento do eio na dieção e, potanto, apaeceá, também, uma eação nessa dieção. Supondo que o mancal B seja esponsável po essa estição, então, B = M a ω
4 a. Questão a) elaboe o diagama de copo-live; y j i P R -R Q b) equacione o poblema de impacto; Embacação: TR: M ( u) = R R = u M ( V V ) = R i ( ) = M M v v v = TM: ( ω ω) = k ω = k ω = Restituição de Newton: P = e u P = eu Poisson: P = + ω b (.) (.) (.3) (.4) c) detemine o impulso aplicado à embacação; Aplicando (.) em (.4): = substituindo o esultado em (.3) u P = e u (.6) e usando este último esultado em (.) M R = ( + e) u i (.7) + Mb d) detemine e a velocidade V = i + v j, do cento de massa da embacação e o veto de otação da embacação ω, logo após o choque. De (.7) e (.8) Já esolvido, de (.): v = Mb e = u Mb + (.5) De (.7) em (.): Mb ω = + Mb ( + e) u k
5 3a. Questão (a) Detemine o valo da taa de pecessão estacionáia φ & = Ω ψ & = ω, constante, e o ângulo de equilíbio., consideando conhecidos a taa de otação pópia Pecessão estacionáia significa: & = && = φ&& = & = ; = ω; φ& = Ω; =, e potanto de α = K φ& sen + cos ( φ& Z = J + cos ) e β = = J( + φ& cos ), vem β = K z = J( ω + Ω cos ) que fonece a taa de pecessão: K z β Ω = ω cos J ou, esolvendo eplicita e altenativamente, Ω = Jω ( J ) cos ± Jω ( J ) cos Po outo lado, da eq. (), segue uma elação ente, α e β, na foma ( α β cos )( β α cos ) = mgz sen ou, altenativamente, esolvendo eplicitamente 3 sen 4mgz + ( J ) cos (3.) (3.) (3.3) mgz cos = ωω (3.4) J ( ) Ω J (b) Elaboe um diagama de blocos paa simulação da equação () em ambiente SCCS/SCLAB (ou MATLAB/SMULNK), chegando até o nível que pemita plota um gáfico da posição do cento de massa X, Y, Z ). ( t tetapp tetap t tetapp tetap Clock -K- teta Xg To Wokspace3 ain teta Fcn4 Yg s ntegato s ntegato fip To Wokspace Fcn5 z*cos(u()) Fcn6 To Wokspace4 Zg To Wokspace5 Fcn Fcn=Const Fcn s ntegato -K- ain fi To Wokspace psip Const Fcn3 To Wokspace onde: K = 8 π α = K β = K Z z () = () = Const [ φ& sen + J cos ( + φ& cos )] t [ J( + φ& cos )] t= = (3.5)
6 Const func = (m*g*z*sin(u())- u()/(*sin(u())^3))/ = mgz sen 3 sen func Const = ( α β cos )( β α cos ) func (alfa - beta *cos(u()))/(*sin(u())^) = ( α - βcos )/(sin ) = φ& func3 beta/j - u(())* cos(u()) = â J func cos = func4 z*sin(u())*cos(u()) = z func5 z*sin(u())*sin(u()) = z func6 z *cos(u()) = z cos = Z sen cosφ = X sensenφ = Y (3.6) (c) A figua abaio mosta dois esultados de simulação da equação (). Responda/justifique às/as seguintes peguntas/afimações: - Qual dos dois casos coesponde à pecessão estacionáia? Resposta: caso (a) coesponde à pecessão estacionáia, pois o ângulo de nutação é constante e o C desceve uma tajetóia cicula. - bsevando os gáficos do caso (b), vê-se que a taa de pecessão atinge um valo máimo quando a taa de otação pópia atinge valoes mínimos e também quando o ângulo de nutação tem valoes máimos. Eplique poque isto ocoe desta maneia. Resposta: Sabemos que: β = K ( ψ φ& z = J & + cos ), (3.7) e α = K φ& sen + cos ( ψ φ& cos ) φ& Z = J & + = sen + βcos (3.8) são dois invaiantes do movimento. De (3.7), se diminui, φ& cos deve aumenta paa que β pemaneça constante. Suponha que φ & aumente e cos diminua, de foma a mante φ& cos aumentando. Vê-se, de (3.8) que é possivel que α pemaneça constante, bastando que φ & sen aumente na mesma taa em que βcos diminui, balanceando-se mutuamente. uta foma de visualiza é esceve (3.8) na foma: α = φ & ( cos ) + βcos (3.9), que é uma equação quadática em cos e que teá solução β β α cos = ± 4 φ& φ& φ& válida desde que (3.) β ± φ& β φ& 4 α φ& (3.). A solução (3.) mosta que cos diminui (i.e., aumenta) quando φ & aumenta.
7 Podemos adicionalmente lemba que, diminuindo, diminui a igidez gioscópica e tende a aumenta. 3 - Avalie o peíodo da nutação no caso (b)? Resposta: Do gáfico de (t) em (b), contamos 4 ciclos completos em ceca de 47,5 segundos. Potanto o 47,5 peíodo de nutação é apoimadamente T s 3, 4s 4 Θ. 4 - Se a otação pópia fosse aumentada o peíodo de nutação diminuiia ou aumentaia? Justifique. Resposta: peíodo de nutação diminuiia, pois a "igidez gioscópica", que é popocional à otação pópia, aumentaia.
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