(b) Num vórtice de raio R em rotação de corpo sólido a circulação para qualquer r R é zero. A. Certo B. Errado. + u j

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1 Pova II Nome: Infomações: Duação de 2:30 hoas. Pode come e bebe duante a pova. Pode faze a pova à lápis. Pode usa calculadoa (sem texto. A pova tem complexidade pogessiva. A tentativa de violação de qualque ega anulaá teu exame. Não consulte mateial ou colegas. Sente viado/a paa fente. Vá ao banheio antes ou depois do exame. Rascunho apenas no veso da pova. Desligue e guade o celula. 1. Assinale as afimações eadas e moste poque estão eadas. (a Considee uma gota de óleo esféica submesa e em epouso, com aio = m e cento à pofundidade h num tanque com um líquido pola de densidade ρ igual à do óleo. Na notação usual, a pessão no cento da gota é p = p a + ρgh + 2ρ. A. Eado B. Ceto (b Num vótice de aio R em otação de copo sólido a ciculação paa qualque R é zeo. A. Ceto B. Eado ( (c A taxa de defomação dada po: e ij = 1 ui 2 exclui o temo u. A. Eado B. Ceto x j + u j x i (d A foça centífuga tem a mesma magnitude e dieção da foça centípeta, mas sentido oposto, potanto num sistema não aceleado elas se anulam. A. Ceto B. Eado (e As linhas de coente de um fluxo bidimensional incompessível são definidas como: dx u = dy v, ou seja, v dx = u dy A. Ceto B. Eado Página 1 de 7

2 2. Demonste que u e ɛ ijk ( u k x j ˆxi são iguais. 10 Dica: Aba o otacional e passe paa notação indicial, incluindo os vesoes. 3. O fluxo dado po ψ = 2Axy(x 2 + y 2 2 é incompessível? Justifique matematicamente. 15 Dica: A equação acima tem pates que paecem com o aio do cículo, com o seno e/ou cosseno. Evidentemente é mais fácil tabalha num sistema de coodenadas cilíndico. Página 2 de 7

3 . Esta é a eq. de Navie Stokes: ρ D u = p 10 Dt + µ 2 u + ρ g + ρ( Ω ( Ω 2ρΩ u. (1 Um io flui paa leste sobe 30 N a 3 m/s e tem 1 km de lagua. Considee o fluxo estacionáio, linea, invíscido, homogêneo e hidostático. Calcule o desnível meidional ente as magens a pati da equação 1. Dica: Na hoizontal o balanço é geostófico e na vetical é hidostático. Use a gavidade apaente. 5. Esta também é a eq. de Navie Stokes: ρ D u Dt = p + µ 2 u + ρ g 2ρ Ω u. (2 (a Dado um fluxo oceânico estacionáio, linea e foçado pelo vento, suponha também que a inteface 10 oceano-atmosfea é pefeitamente hoizontal e que o fluxo é homogêneo e hidostático. Dois temos fomam o balanço hoizontal e outos dois fomam o balanço vetical de momentum. Esceva essas duas equações. Dica: Note que as 3 últimas simplificações fazem que só haja vaiação da pessão po causa do peso da coluna d água. Página 3 de 7

4 (b Aba a equação do balanço hoizontal obtida no item (a em duas componentes hoizontais î x e î y. 10 Dicas: Vamos simplifica o temo com o Laplaciano, pois 2 u = ( u ( u, abindo seiam 12 temos! Relaxe. Considee apenas os 2 maioes temos: as deivadas segundas das velocidades hoizontais na dieção vetical. No balanço hoizontal, coloque só esses temos nas equações paa cada dieção, o temo em u vai na dieção iˆ x e o temo em v na dieção î y, um em cada uma. Não esqueça considea o seno da latitude ao abi o outo temo do balanço. (c Substitua as tensões hoizontais de cisalhamento (τ x, τ y nos temos que vieam do Laplaciano. Bem 5 vindo à dinâmica de Ekman. 6. Considee o fluxo lamina bidimensional ente dois cículos concênticos, como indicado na figua ao lado. Seja 1 o aio do cículo inteno que gia com velocidade angula Ω 1 e 2 o aio do exteno que gia com velocidade angula Ω 2. Há um fluido newtoniano ocupando todo o espaço. Vamos pecisa da equação de Navie Stokes em coodenadas cilíndicas paa tata este poblema: Página de 7

5 u t + u u + u θ u u θ t + u u θ + u θ u θ onde 2 = 1 = 1 p ρ + µ ( 2 u u ρ 2 2 u θ 2 = 1 ( p 2 u θ u θ ρ + µ ρ ( u2 θ u 2 u u θ (3 ( 2 (5 (a Estas equações são simplificadas e ficam na foma: 5 0 = 1 p ρ 0 = µ + u2 θ ( 1 (u θ (6 (7 Associe odenadamente os temos (ou gupos de temos que foam eliminados da Equação 3 com a justificativa física paa eliminá lo(s da equação 6. (b Paa obte uma solução geal paa u θ intege a Equação 7 duas vezes em. Ao faze isso ficam 2 10 constantes de integação a detemina. Página 5 de 7

6 (c Obtenha u θ paa 0 1 usando a solução geal obtida no item (b e as condições de não 5 escoegamento e fluxo zeo na oigem paa detemina as constantes. Como costumamos chama esse tipo de fluxo? (d Obtenha u θ paa > 2 usando a solução geal obtida no item (b, as condições de não escoegamento 5 e de enegia finita paa detemina as constantes. Como costumamos chama esse tipo de fluxo? (e Obtenha u θ paa 1 2 usando a solução geal obtida no item (b e as condições de não 5 escoegamento. Deixe A e em temos das constantes conhecidas e B em temos de A e das constantes. Questão Total Pontos Nota Página 6 de 7

7 Memóia não volátil: Γ = C u. dl O tenso altenante ɛ ijk é definido como: 1 se ijk = 123, 231, 312, (cíclico ɛ ijk = 0 se quaisque dois índices foem iguais, 1 se ijk = 321, 213, 132 anticíclico. Convesão do sistema etangula (x, y, z paa o cilíndico (, θ, z e vice-vesa: x = cos θ, y = sin θ, z = z e = (x 2 + y 2, θ = actan y x, z = z. Quanto aos vesoes, i x = (i cos θ i θ sin θ, i y = (i sin θ + i θ cos θ, i z = i z Potencial de velocidade e função de coente: u = 1 ψ = φ u θ = ψ = 1 φ u = ψ y = φ x v = ψ x = φ y Ω = s 1 E = Sistema de Coodenadas Cilíndico ou Pola ( E î + ( 1 E + î θ ( E z î z V 1 ( u = V ( = 1 u z 1 + u θ z + ( u î z u θ + u z z ( uz + 1 ( u θ î θ 1 u î z Página 7 de 7