Cap.12: Rotação de um Corpo Rígido

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1 Cap.1: Rotação de um Copo Rígido Do pofesso paa o aluno ajudando na avaliação de compeensão do capítulo. Fundamental que o aluno tenha lido o capítulo. 1.8 Equilíbio Estático Estudamos que uma patícula está em equilíbio quando ela se move com velocidade constante poque a foça esultante que age sobe ela é zeo. No caso de copos eais (alongados) é mais complexo poque não podem se consideados como patículas. Num copo alongado, uma segunda condição deve se consideada, pois ao aplica uma foça, o copo pode gia. Foto: Ponte Rio-Niteói Estutuas estáticas: infinitas possibilidades (foto: H. Shigueoka) Foto: Atleta basileio Zanetti, ouo em Olimpíadas de 01. Duas condições necessáias paa o equilíbio de um copo ígido: 1. A foça extena esultante sobe o copo deve se nula: S F ext = 0. O toque exteno esultante sobe o copo em tono de qualque eixo deve se igual a zeo: S t ext = 0. No caso especial de equilíbio estático, o copo em equilíbio está em epouso em elação ao obsevado e não tem velocidade tanslacional nem angula, ou seja, v = 0 e = 0.

2 Teste 01. Considee um copo sujeito a duas foças de módulos iguais, Escolha a afimação coeta com elação a esta situação. (a) O copo está em equilíbio de foça, mas não em equilíbio de toque. (b) O copo está em equilíbio de toque, mas não em equilíbio de foça. (c) O copo está em equilíbio de foça e em equilíbio de toque. (d) O copo não está em equilíbio de foça, nem em equilíbio de toque. Resp. (a) Teste 0: Considee o copo sujeito a tês foças. Escolha a fimação coeta com elação a esta situação. (a) O copo está em equilíbio de foça, mas não em equilíbio de toque. (b) O copo está em equilíbio de toque, mas não em equilíbio de foça. (c) O copo está em equilíbio de foça e em equilíbio de toque. (d) O copo não está em equilíbio de foça, nem em equilíbio de toque. Resp. (b) Estuda os Exemplos: 1.15 a Obs. No Exemplo 1.16, pocue sabe po que o apaz Bo não pode caminha até a extemidade dieita da tábua ígida. O que significa n 1 = 0? Calcule o valo de n na condição n 1 = 0. Depois de calcula a distância d B, obtenha o valo de n, agoa, utilizando S = 0. Equilíbio e estabilidade No poblema de equilíbio, uma das foças que age sobe o copo é a foça gavitacional da Tea sobe o copo ( ou foça peso). Esta foça age em todo o copo, no entanto, pode-se calcula o toque devido a esta foça sobe o copo consideando que toda a foça peso esteja atuando sobe o copo em um ponto conhecido como cento de gavidade. Num copo de pequena dimensão, a foça gavitacional é a mesma em toda a extensão do copo, então o cento de gavidade coincide com o cento de massa do copo, CM. Quando o copo extenso possui um ponto de apoio, o poblema de equilíbio estático se tona um poblema de estabilidade deste equilíbio. A figua abaixo apesenta um cao em movimento apoiado somente sobe as odas de mesmo lado. Dependendo do ângulo de inclinação do cao, medido da posição de CM do cao ao ponto de apoio, toque gavitacional taá de volta sem tomba, e altua h 1 do CM ao solo; se, o CM está acima do ponto de apoio, altua h, potanto o toque poduzido pela foça gavitacional é nulo e se o CM está em altua h 3, e o toque poduzido pela foça gavitacional faá o cao tomba paa o outo lado. A enegia potencial gavitacional de um copo extenso está elacionado com a posição do seu CM: U = mgh. t ext

3 No gáfico abaixo é apesentado o compotamento da enegia potencial gavitacional do cao, ilustado nouta figua em função do ângulo de inclinação do cao. Em, a enegia potencial gavitacional é U e é o valo máximo da cuva de U e a foça é nula, pois sabe-se que F = - du( )/d. Esta foça é a pojeção da foça gavitacional na dieção pependicula à linha que une o ponto apoio ao CM. A altua em que se enconta o CM do cao acobata é h = d sen onde d é a distância do CM do cao ao eixo, dessa foma a enegia potencial gavitacional do cao acobata é U = m g d sen O compotamento da enegia potencial gavitacional segue ao da função seno e está epesentado na figua ao lado. Diz-se que, na posição, o copo (cao) está em equilíbio instável, pois F = - du/d =0. Qualque petubação no cao pode giá-lo no sentido hoáio ou anti-hoáio. Estuda o Exemplo: Responda a questão Pae E Pense 1.5 Poblema 01: (A) Enconte o módulo da foça F, em expessão liteal, que um cadeiante deve aplica à oda pincipal de uma cadeia de odas paa subi no meio-fio, figua (b). Essa oda que enta em contato com o meio-fio tem aio, e a altua do meio-fio é h.

4 (B) Considee o aio de oda = 30, a altua de meio-fio h = 30, o peso do conjunto (cadeia mais a pessoa) mg = 1,4x 10 3 N e, ainda, supo que a cadeia de odas e a pessoa são siméticos e que cada oda supota um peso de 700 N. Obtenha o valo de foça F, item (A), aplicada pelo cadeiante sobe uma oda. (C) Detemine o módulo e dieção de R, fig (c), foça de eação do meio-fio em A sobe a oda. (D) Uma nova foça F D é aplicada no ponto D na oda, fig. (c) e a sua dieção é tangente à oda. Calcule a elação desta foça pela anteio: F D /F. Sugestões e Respostas: (A) Consulte a fig. (b) e expesse o toque esultante em elação a um eixo que passa po A, å em t A = 0. A foça nomal execida pelo chão sobe a oda no ponto B é nula. Po quê? Resulta (B) O valo é F = 3 x 10 N. mg h - h F = - h (C) Aplica a pimeia condição de equilíbio à oda: å F = 0. 0 Obtém - se a dieção q = 70 e a eação R = 8 10 N. (D) Pocede como no item (A), ou seja, aplica o toque das foças em elação ao eixo que passa po A. A foça F D está aplicada na oda tal que o toque em elação ao ponto A está oientado no sentido hoáio. O baço de seu momento em tono de um eixo que passa po A é d +, Resulta em F D mg h - h = h - h + E o valo numéico da elação obtida é F D F = 0,96

5 1.9 Movimento de olamento A figua ilusta tês movimentos possíveis quando uma foça é aplicada ao sistema de duas patículas de massas difeentes conectadas po uma haste ígida. Na figua (a) é epesentada o movimento de tanslação e otação do sistema no sentido hoáio e na figua (b), no sentido anti-hoáio quando a foça não é aplicada no CM do sistema. Ao aplica a foça no CM, figua (c), o sistema não gia e se move tansladando no sentido de aplicação da foça. O movimento de um ponto da peifeia de um cilindo olando é mostado na figua abaixo. O conjunto de figuas é uma simulação de movimento, em intevalo de tempo constante, da distância pecoida pelo cento do disco e a tajetóia do ponto no disco (linha tacejada) conhecida como cicloide. Dedução da equação de cicloide. O cento do cilindo se move a velocidade v e gia no sentido hoáio, figua ao lado. As posições X e Y de um ponto da peifeia do cilindo no instante t são x( t) = v t - senq y( t) = - cosq Uma vez que o cilindo não escoega, vale a elação ente as velocidades angula e linea: v = w. A abetua angula é igual a t. A equação esultante desceve uma cuva conhecida como cicloide:

6 x( t) = ( q - senq ) y( t) = (1 - cos q ) A expessão v = w detemina o vínculo de olamento, a ligação ente os movimentos de tanslação e otação paa copos ígidos que olam sem se deapa. O módulo da aceleação linea do CM paa o movimento de olagem puo é onde a é a aceleação angula do copo. dv dt dw dt a = = = O ponto mais baixo de um copo que ola se enconta instantaneamente em epouso. Significa que o copo ola sem desliza. Fisicamente se diz que existe foça de atito estático agindo neste ponto mais baixo do copo. Neste caso a enegia mecânica se conseva. Se o atito fo cinético, o copo ola e desliza e a enegia mecânica não se conseva. Poblema 0: Uma lata de efigeante, empuado po uma égua desde a posição inicial mostada na figua, ola paa fente sobe a mesa a distância L/, igual à metade do compimento da égua. Não ocoe escoegamento em nenhum dos contatos. Onde estaá a égua então? Que distância foi pecoida pela mão? a Enegia cinética de um objeto em olamento Dedução da enegia cinética de um copo em movimento combinado de otação e tanaslação: movimento de tanslação do CM e uma otação em tono de um eixo passando pelo CM. Na figua ao lado: m i massa da i-ésima patícula do copo ígido;

7 i veto posição da i-ésima patícula em elação ao sistema de efeência inecial; i,el veto posição da i-ésima patícula elativa ao CM ; veto posição do CM Escevemos o veto posição da patícula i: = + i i, el Deivando em elação ao tempo, obtemos a velocidade da patícula i: Enegia cinética da patícula i: v = v + v i i, el mivi mivi vi mi Ki = = = ( v + vi, el ) ( v + vi, el ) m i Ki = ( v + v vi, el + vi, el ) Enegia cinética do copo ígido em olamento: K = å K i= 1 i m m K = ( v ) + ( m v v ) + ( v ) i i i i, el i, el i= 1 i= 1 i= 1 å å å Como a velocidade do cento de massa independe do elemento de massa do copo ígido, então pode-se coloca foa do somatóio: m m K = v ( ) + v ( m v ) + ( v ) i i å å i i, el å i, el i= 1 i= 1 i= 1 No pimeio temo, temos å i= 1 m å( miv i, el ) = Mv, el, onde, el i= 1 v i = M ; massa do copo ígido; no segundo temo, é a velocidade do cento de massa e é nula, pois, é medida em elação ao cento de massa; no teceio temo é a soma de todos os elementos de massa do copo ígido, deteminado pelo cálculo de suas velocidades em elação ao cento de massa. Este último temo, apesentado anteiomente, é Finalmente, obtemos 1 I w.

8 K Mv I w = + a enegia cinético de um copo ígido em olamento. O pimeio temo epesenta a enegia cinética que o copo teia se estivesse apenas em tanslação sem gia, o segundo temo epesenta a enegia cinética otacional do copo em elação ao seu CM. A enegia potencial gavitacional de um copo ígido é U = mgh onde h á posição vetical do CM do copo em elação à supefície, nível no qual U =0. Outo modelo sobe olamento Num olamento puo, as velocidades do cento de massa e de váios pontos na supefície e no inteio do cilindo estão apesentadas na figua. Nota-se que a velocidade linea de qualque ponto está numa dieção pependicula à linha que une este ponto ao ponto de contato P com a supefície hoizontal. Em qualque instante, o ponto de contato, P, está em epouso elativo à supefície hoizontal po que não ocoe escoegamento. Todos os pontos têm a mesma velocidade angula. No entanto, como a distância de P a P é duas vezes a distância de P ao cento de massa, a velocidade em P é v = v = R. Explicase isto po que o modelo de olamento do cilindo consiste numa combinação de movimentos de otação e tanslação, Figs. (A) (C) abaixo. No movimento de otação pua, Fig.(A), imagina-se que o eixo de otação que passa pelo cento de massa é estacionáio, tal que cada ponto do cilindo tem a mesma velocidade angula. No movimento de tanslação, Fig(B), o cilindo não gia, tal que cada ponto do cilindo se move paa a dieita com a velocidade v. A combinação destes dois movimentos epesenta o movimento de olamento como mostado na Fig.(C). A enegia cinética do cilindo olando pode se expessa como K = I P w onde I P é a inécia otacional do copo ígido em elação ao eixo de otação que passa pelo ponto P. Aplicando o teoema de eixos paalelos, I I MR v P = +, e Iw Mv K = + = Rw, obtemos

9 É a enegia cinética de um copo ígido em movimento de otação sem escoega, como apesentado anteiomente. Poblema 03: Um caetel é fomado de dois discos de aio R colados simeticamente nas extemidades de um cilindo maciço de aio (<R). O conjunto possui massa m e está em epouso em uma mesa hoizontal áspea. Um fio sem massa é enolado ao edo do cilindo maciço e, na extemidade live, uma foça F hoizontal constante é aplicada paa a dieita. Ve a figua. Como esultado, o caetel ola sem escoega po uma distância L ao longo da mesa sem atito de olamento. (A) Enconta a velocidade do CM do caetel em função dos paâmetos apesentados. (B) Enconta a foça de atito f ente as duas supefícies em contato. (C) Explica o compotamento que a foça de atito pode assumi quando o aio meno vaia de <<R até = R. (D) Considee o caso em que = R, ou seja, o caetel se tansfoma em um cilindo maciço de aio R. Moste que a (i) f = F/3 e aponta paa a dieita e (ii) a aceleação do CM é 4 F/(3m). Resolução: (A) Paa que o caetel ole po uma distância L, note que o ponto de aplicação, ponto A na figua, de F deve desloca po uma distância difeente de L. O toque esultante sobe o caetel inclui uma foça devido a foça de atito na base do caetel, ponto P na figua. Utilizaemos o pincípio do tabalho - enegia cinética, onde o tabalho é ealizado pela foça F, extena ao sistema, isto é, o sistema é não isolado. A foça de atito estático não ealiza tabalho, poque o deslocamento do ponto P é nulo. Não havendo o atito de olamento, não há vaiação na enegia intena. O único modo de enegia cuza a fonteia do sistema é pelo tabalho ealizado pela foça F. WF = D K = D Ktans + DKot

10 A distância que o ponto de aplicação da foça F desloca é igual ao compimento do aco de aio compeendido pelo ângulo, ângulo de gio do eixo do caetel, s =, mais o compimento do aco de aio R compeendido pelo mesmo ângulo, L = R. Obtemos s = q = L R Dessa foma a distância total do ponto de aplicação da foça F é O tabalho ealizado pela foça F sobe o fio é Escevemos, e, usando a condição de olamento puo, v que esulta em d = s + L = L(1 + ) R WF = Fd = FL(1 + ) R mv I w FL(1 + ) = + R = Rw, 1 I FL(1 + ) = ( m + ) v R R v = FL(1 + / R) m(1 + I / mr Esta expessão é a velocidade linea do CM do caetel. (B) Como a foça de atito estático não ealiza tabalho poque o caetel não escoega, não se pode utiliza a abodagem de

11 enegia. Em sala de aula, este item foi esolvido utilizando o teoema impulso-momento. Agoa, utilizaemos a dinâmica otacional, a segunda lei de Newton da otação. O cilindo tanslada e ola: F - f = ma = mra -F - Rf = -Ia O sinal negativo na segunda equação significa que o sentido do toque é hoáio. Foi utilizada a elação ente as aceleações linea e angula: a = Ra. Resolvendo as equações acima paa foça de atito estático f, obtemos æ I - mr ö f = F ç I mr è + ø Análises: (a) O sentido da foça de atito, f, é paa a esqueda, como está epesentada no diagama, se I mr fo positivo paa deteminado valoes de difeentes de zeo. (b) O temo I m 0 R = 0 paa = 0, a foça de atito é nula. Nesse caso o caetel somente tanslada. (c) Paa valoes de, 0 < R, temos I mr < 0 e o sentido da foça de atito é paa a dieita. O aluno deve demonsta as conclusões apesentadas acima. Poblema 04: No poblema anteio em que = R, o caetel se tona um cilindo simético e moste que a aceleação do cento de massa é 4F/(3 m) e a foça de atito é igual a F/3. A gande coida ladeia abaixo Método de enegia pode se usado paa esolve poblemas elacionados ao movimento de olamento de um copo em uma ampa áspea.consideeuma esfea maciça, apesentada na figua, que ola sem escoega após se libeada do epouso no topo da ampa.o movimento de olamento só é possível se houve uma foça de atito ente a esfea e a ampa afim de poduzi um toque esultante em elação ao cento de massa. Mesmo com a pesença de atito a enegia mecânica do sistema s e conseva pois não há peda de enegia mecânica poque o ponto de contato está em epouso em elação à supefície em qualque instante. Na ealidade, o atito de olamento causa a tanfomação da enegia mecância em enegia intena. O atito de olamento é causado pela defomação na supefície de contato do copo em olagem. Em nossos estudos, ao menos que seja mencionado, despezamos o atito de olamento. Em um movimento de olamento puo, v = R w, a enegia cinética é escita como Mv Iw Mv I æ v ö K = + = + ç è R ø 1 æ I ö K = ç M + v è R ø

12 Define-se a configuação zeo da enegia potencial gavitacional como sendo quando a esfea está na base da ampa. Dessa foma consevação da enegia mecânica esulta em K f + U f = Ki + Ui 1 æ I ö ç M + v = + Mgh è R ø A velocidade e aceleação do cento de massa da esfea são encontadas v æ ö ç g = ç h I ç 1+ è MR ø a g = I 1+ MR Discussões: (a) A aceleação (velocidade) do cento de massa não depende nem da massa nem do tamanho do copo ígido. Po exemplo, as esfeas de massas e aios difeentes têm a mesma aceleação linea. (b) A aceleação (velocidade) do cento de massa depende somente da foma geomética do copo ígido. Teste 03: Uma bola ola paa baixo na ampa A, sem escoega, a pati do epouso. Ao mesmo tempo, uma caixa sai do epouso e desliza pela ampa B, que é idêntica à A, mas não tem atito. Elas patem da mesma altua. Qual delas, a bola ou a caixa, chega pimeio à base da ampa ou ambas chegam ao mesmo tempo? Teste 04: Duas esfeas A e B difeentes olam sem escoega ampa abaixo, a pati do epouso, ao mesmo tempo e da mesma altua. Qual delas chega à base da ampa pimeio - aquela que tem maio massa ou maio aio ou ambas chegam ao mesmo tempo? Teste 05: Uma esfea e um cilindo de mesma massa e aio olam paa baixo numa ampa, sem escoega, a pati do epouso, ao mesmo tempo e da mesma altua. Qual delas chega à base da ampa pimeio ou ambas chegam ao mesmo tempo? 1.10 A descição vetoial do movimento de olamento Poduto vetoial de vetoes e o veto velocidade angula

13 Consulta o texto A deste capítulo Momentum angula Consulta o texto C deste capítulo.

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