carga da esfera: Q. figura 1 Consideramos uma superfície Gaussiana interna e outra superfície externa á esfera.

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1 Detemine o módulo do campo elético em todo o espaço geado po uma esfea maciça caegada com uma caga distibuída unifomemente pelo seu volume. Dados do poblema caga da esfea:. Esuema do poblema Vamos assumi ue a esfea está caega com uma caga positiva ( > ) e seu aio é igual a R. Paa detemina o módulo do campo elético em todo o espaço devemos considea os pontos no inteio da esfea ( R ) e pontos no exteio da esfea ( R ), confome figua. figua Consideamos uma supefície Gaussiana intena e outa supefície extena á esfea. Solução Paa R : Como a caga está distibuída pelo seu volume existem cagas no seu inteio (figua 2), pela Lei de Gauss E.d = (I) figua 2 a Lei de Gauss nos diz ue apenas a caga intena à supefície Gaussiana contibuí paa o campo elético, assim podemos e-esceve E.d = ρ d V onde ρ é a densidade volumética de cagas e a integação é feita sobe o volume limitado pela supefície Gaussiana. (II)

2 supefície Gaussiana ue passa pelo ponto onde se deseja calcula o campo elético tem um aio s, a distibuição de cagas intena à supefície Gaussiana tem um aio, como o ponto onde se deseja calcula o campo elético está no inteio da distibuição de cagas esses aios coincidem s = = (figua ). O campo elético se espalha adialmente a pati da distibuição de cagas na dieção e, e em cada elemento de áea d da supefície temos um veto unitáio n pependicula à supefície e oientado paa foa. ssim em cada ponto da supefície o veto campo elético E e o veto unitáio n possuem a mesma dieção e sentido (figua 4). figua figua 4 O veto campo elético só possui componente na dieção e pode se escito como E = E e (III) O veto elemento de áea pode se escito como d = d n (IV) substituindo as expessões (III) e (IV) em (II), temos E e.d n = ρ d V E d e.n = ρ d V Obsevação: como e e n são vetoes unitáios seus módulos são iguais a e como ambos estão na mesma dieção e sentido o ângulo ente eles é nulo ( θ = ), assim e.n = e n cos =.. =. E d = ρ d V (V) Em coodenadas esféicas as coodenadas x, y e z são dados po x = senθ cos, y = senθ sen, z = cosθ (VI) Paa obte o elemento de áea em coodenadas esféicas calculamos o Jacobiano dado pelo deteminante 2

3 = J x cálculo das deivadas paciais das funções x, y e z dadas em (VI) x = senθ cos : = senθcos = senθ cos = senθcos. = senθ cos valoes de θ e ϕ são constantes e o seno e cosseno saem da deivada., na deivada em os sen θcos = = cos senθ = cosθcos, na deivada em θ os valoes de e ϕ são constantes e o temo em e o seno saem da deivada. = senθcos = senθ cos = senθ sen = senθ sen,na deivada em ϕ os valoes de e θ são constantes e o temo em e o seno saem da deivada. y = senθ sen : = senθsen = senθsen = senθsen. = senθsen valoes de θ e ϕ são constantes e os temos em seno saem da deivada., na deivada em os = senθsen = sen senθ = cos θsen, na deivada em θ os valoes de θ e ϕ são constantes e o temo em e o seno saem da deivada. = senθsen = senθ sen = senθcos, na deivada em ϕ os valoes de e θ são constantes e o temo em e o seno saem da deivada. z = cosθ : = cos θ = cos θ = cos θ. = cosθ o temo em cosseno sai da deivada., na deivada em o valo de θ é constante e = cos θ = cosθ = senθ = senθ, na deivada em θ o valo de é θ θ constante e o temo em sai da deivada. = cosθ =,a função z não depende de ϕ, na deivada em ϕ os valoes de e θ são constantes e a deivada de uma constante é zeo.. Obsevação: não há vaiação d s pois a supefície Gaussiana possui aio constante igual a s. d = J d θ d e d V = J d d θ d

4 = senθ cos cosθcos senθsen J senθ sen cos θsen senθcos cosθ sen θ desenvolvendo o deteminante pela Rega de Saus, temos J = senθcos. cosθsen. cosθcos. senθcos. cos θ + + senθ sen. sen θsen. senθ senθ sen. cos θsen. cosθ - - senθcos. senθcos. senθ cos θcos. senθsen. J = 2 cos 2 θsenθcos 2 2 sen θsen 2 2 cos 2 θsenθsen 2 2 sen θcos 2 J = 2 [ cos 2 θsenθcos 2 sen θsen 2 cos 2 θ senθ sen 2 sen θcos 2 ] J = 2 [ cos 2 θsenθ cos 2 sen 2 sen θ cos 2 sen 2 ] J = 2 [ cos 2 θsenθsen 2 θsenθ ] J = 2 [ cos 2 θsen 2 θ senθ ] J = 2 senθ Paa o elemento de áea da supefície Gaussiana temos = s d = s 2 senθ d θ d (VII) Paa o elemento de volume da distibuição de cagas temos = d V = 2 senθ d d θ d (VIII) Substituindo as expessões (VII) e (VIII) em (V), temos E 2 s senθ d θ d = ρ 2 senθ d d θ d Do lado esuedo da igualdade a integal não depende do aio da supefície Gaussiana, assim E e s podem sai da integal e como não existem temos cuzados em θ e as integais podem se sepaadas. Do lado dieito da igualdade a integal não depende da densidade volumética de cagas, assim ρ pode sai da integal e como não existem temos cuzados em, θ e as integais podem se sepaadas. E s 2 sen θ d θ d = ρ 2 d senθ d θ d (VIII) Do lado esuedo da igualdade os limites de integação seão de a em d θ e de e 2 em d (uma volta completa na base do hemisféio), confome figua 5-, e temos s =, lembando da figua acima. Do lado dieito os limites de integação seão de a em d θ, de e 2 em d (uma volta completa na base do hemisféio) e de a em d, confome figua 5-B 2 E 2 sen θ d θ d = ρ 2 2 d senθ d θ d 4

5 figua 5 integação de sen θ d θ sen θ d θ cos θ cos cos 2 2 integação de 2 d 2 d = 2 = 2 = 2 integação de 2 d 2 d = 2 2 = = = E = ρ E 2 = 4 ρ E = ρ (IX) densidade volumética de cagas é dada po ρ = V, a caga total esta distibuída po uma esfea de volume igual a V = 4 R, então a densidade de cagas em função da caga total e do aio da distibuição pode se escita como 5

6 substituindo a expessão (X) em (IX), temos Paa R : ρ = 4 R ρ = Nesta situação a supefície Gaussiana passando pelo ponto onde se deseja calcula o campo elético tem um aio s = exteno à distibuição de cagas e o aio da distibuição de cagas seá o pópio aio da esfea = R (figua 7) Paa o cálculo do campo elético é válida a mesma expessão obtida em (VIII) E s 2 sen θ d θ d = ρ 2 d senθ d θ d 4 R (X) E = 4 R E = 4 R (XI) Do lado esuedo da igualdade os limites de integação seão os mesmos usados no caso anteio, apenas lembando ue agoa o ponto é exteno à distibuição de cagas, de a em d θ e de e 2 em d, e temos s =, lembando da figua figua 6 acima. Do lado dieito os limites de integação seão de a em d θ, de e 2 em d e de a R em d. 2 E 2 sen θ d θ R d = ρ 2 2 d senθ d θ d integação de R 2 d R 2 d = 2 R 2 = R = R = R E = ρ R E 2 = 4 ρ R E = ρ R 2 (XII) substituindo a expessão (X) em (XII), temos 6

7 E = R 2 4 R E = 4 2 (XIII) ssim o campo elético em todo o espaço seá dado pelas expessões (XI) e (XIII) { 4 E = R, R, R 4 2 Obsevação: o campo elético em todo o espaço é dado po uma função definida po pates. Paa R vaia lineamente com a distância como uma Euação do. o Gau y = a xb, onde E = y 4 R, como,, x b e R são constantes epesentam o coeficiente a e a como b= na oigem o campo elético é nulo paa =, temos, E = 4 R. E =, o campo elético vai aumentando lineamente até ue na supefície se compota como se toda a caga estivesse concentada na oigem e o campo fosse calculado a uma distância R paa = R, temos, E = 4 R.R E = 2 4 R. Paa R o campo elético decai popocionalmente a 2 como numa caga pontual. 7