Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Introdução às Equações de Lagrange

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1 Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Intodução às Equações de Lagange PTC 347 Páticas de Pojeto de Sistemas de Contole º semeste de 7 Buno Angélico Laboatóio de Automação e Contole Depatamento de Engenhaia de Telecomunicações e Contole Escola Politécnica da Univesidade de São Paulo

2 Intodução A modelagem de sistemas mecânicos pode se obtida pelas equações de Lagange ao invés das equações de Newton. Os mesmos esultados são obtidos. Ao invés de se tabalha com foças e deslocamentos (Newton), as expessões envolvem a enegia (cinética e potencial).

3 Método de Lagange Publicadas inicialmente em 788 na Fança, no livo Méchanique Analytique (Mecânica Analítica). Deve-se defini, inicialmente, um conjunto de vaiáveis genealizadas, q,... q n, que epesentam os n gaus de libedade do sistema. Os gaus de libedade são tipicamente coodenadas de posição (distâncias ou ângulos) 3

4 Método de Lagange Em temos das coodenadas genealizadas, definem-se a Enegia Cinética T e a Enegia Potencial V. Em geal, T é uma. função definida positiva em função de q n e q n. Po outo lado, V é tipicamente definida em função de q n. Em sistemas multicopos, pode-se defini T e V paa cada copo sepaadamente e, depois, combiná-las. 4

5 Método de Lagange O impotante é que T e V sejam efeidas a um efeencial inecial. Com T e V, define-se então a Lagangiana: L T V ; L ( q, q,, q, q, q,, q, t ) n As equações de Eule-Lagange são dada po: d L L dt q q k, k,, n k k são as foças genealizadas (foça ou toque) na dieção de q k. k n 5

6 Método de Lagange EXEMPLO : pêndulo com supote live. V gav = M x x Coodenadas genealizadas: distância x e ângulo gaus de libedade Enegia Cinética: y T Mx m m X (X,Y) Y 6

7 Método de Lagange Pecisa se expessa nas coodenadas genealizadas (x e ): Assim: T Enegia Potencial: X x sin( ) X x cos( ) Y Mx cos( ) Y sin( ) m x M m x m mx cos( ) V mgy V mg x cos( ) cos ( ) sin ( ) cos( ) 7

8 Método de Lagange Lagangiana: M m x m L T V m x cos( ) mg cos( ) Equações de Lagange: d L L dt x x d L L dt d L L d M m x m cos( ) dt x x dt M m x m cos( ) m sin( ) 8

9 Método de Lagange d L L d m m x cos( ) m x sin( ) mg sin( ) dt dt m m x cos( ) m x sin( ) m x sin( ) mg sin( ) m m x cos( ) mg sin( ) Assim, a dinâmica do sistema é egida pelo seguinte conjunto de equações difeenciais não lineaes: M m x m cos( ) m sin( ) m m x cos( ) mg sin( ) 9

10 Equações de Lagange OBSERVAÇÕES:. O método de Lagange só vale paa efeenciais ineciais.. Po exemplo, a enegia cinética do pêndulo em m elação ao supote seia T, o que difee do deduzido anteiomente e, potanto, não deve se utilizado na fomulação de Lagange. 3. Não se deve usa a enegia potencial de um copo em elação a outo copo.

11 Método de Lagange EXEMPLO : sistema pêndulo invetido com oda de eação. b m b = massa do baço m = massa do oto (oda + moto) m = m b + m J b = momento de inécia do baço em tono do seu cento de massa J = momento de inécia da oda em tono do seu cento de massa b = distância do eixo e otação do pêndulo até o cento de massa do baço = distância do eixo de otação do pêndulo até o cento de massa da oda = distância do eixo de otação do pêndulo ao cento de massa do pêndulo (baço + oda)

12 Método de Lagange Coodenadas genealizadas: ângulos e gaus de libedade. Seja J o momento de inécia do pêndulo (baço + oda) em tono do eixo de otação do pêndulo: J m b b b m J J m m b b b : momento de inécia do baço em elação ao eixo de otação do pêndulo (teoema dos eixos paalelos) : pacela devido à oda

13 Método de Lagange A enegia cinética total é dada po: T J J Enegia potencial: V mg cos Lagangiana: L T V J J mg cos 3

14 Método de Lagange Equações de Lagange: d L L dt d L L dt d L L d J dt dt J d L L d J mg dt dt J mg sin sin 4

15 Método de Lagange Assim, a dinâmica do sistema é egida pelo seguinte conjunto de equações difeenciais não lineaes: J J sin Lineaizando paa pequenos ângulos: mg J J mg 5

16 Método de Lagange Definindo o seguinte veto de estados: T Tem-se que: x / J mg / J / J 6

17 Equações de Lagange OBSERVAÇÕES:. Não foi consideado o efeito do atito. Como considea?. A entada do modelo está em toque. Como eesceve o modelo paa entada tensão no moto? 7

18 Equações de Lagange O atito no eixo do pêndulo pode se consideado despezível. Ao considea o atito viscoso no eixo da oda, tem-se: mg J sin J b Com isso, o modelo linea em espaço de estados fica: b b / J / J mg / J b / J / J 8

19 Equações de Lagange Assume-se que o atuado seja um moto DC, com os seguintes paâmetos: R = esistência da amadua K t = constante de toque [Nm/A] K e = constante da f.c.e.m [V/(ad/s)] n = elação de engenagens da caixa de edução Equação do moto: RI K n V I V K n e R e Relação ente toque e tensão (assumiu-se aqui que K t elaciona a coente no moto com o toque na saída da caixa de edução e que K e também já considea a edução): RI K V I V K e R e 9

20 Equações de Lagange Assim: K t mg V K b e J J R J Kt V K e b J R J Potanto, o modelo linea em espaço de estados fica: KK b e t J R J KK b e t mg / J JR J K t K / t / J R JR V

21 Equações de Lagange Se o moto fo de V esse fo desejável esceve o modelo em temos do duty cycle do PWM (PWM), basta faze a seguinte substituição: V PWM

22 Método de Lagange EXEMPLO 3: sistema ball and wheel. m b = massa da bola I b = momento de inécia da bola em tono do seu cento de massa I w = momento de inécia da oda em tono do seu cento de massa b = aio da bola w = aio da oda Enegia cinética da oda: T w I w

23 Método de Lagange Enegia cinética da bola: As coodenadas genealizadas são e. A seguinte elação é valida: Logo: T m I b b w b b b w b w b w w b T m I b b w b b w w b A enegia potencial da oda é nula. A da bola é dada po: V m g b w b b cos( ) 3

24 Método de Lagange Lagangiana: L T V m I I m g w w b b w b b w b w b b Equações de Lagange: d L L dt d L L dt O execício seá esolvido no Matlab com auxílio do pacote simbólico. m cos( ) 4

25 Método de Lagange O Pêndulo de Fuuta da disciplina 5

26 Método de Lagange Enegia potencial: Momento de inécia do baço (baa) Baa com compimento com otação em tono do seu cento de massa Enegia cinética do baço: Teoema dos eixos paalelos: coeção paa gia em um ponto com distância d do cento de massa 6

27 Método de Lagange Momento de inécia do pendulo (baa), com otação em tono do cento de massa Enegia cinética do pêndulo (EXPLICAR!!!) 7

28 Método de Lagange Lagangiana: Taefa paa semana que vem: ) Explica como e enegia cinética do pêndulo é calculada; ) Insei a dinâmica do atuado; 3) Insei o efeito do atito viscoso nas juntas. 4) Obte o modelo não linea (MATLAB); 5) Obte o modelo linea (MATLAB); 8