ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Transcrição

1 ecânica PE 00 Pova de Recupeação /07/014 Duação da Pova: 100 minutos (Não é pemitido o uso de calculadoas, celulaes, tablets e/ou outos equipamentos similaes) 1ª uestão (4,0 pontos) No sistema indicado na fiua ao lado, o disco de massa m e aio R ia, em elação ao afo, em tono de um eixo paalelo a y e passante po. disco de massa m e aio R ia, em elação ao afo, em tono de um eixo paalelo a y e passante po. Estas velocidades anulaes dos discos são constantes e valem ω ω j e ω ω j, espectivamente. Neste mesmo instante, a baa, de compimento e massa despezível, ia com velocidade anula Ω Ωk, constante. s afos e têm compimento e massa despezível. Pede-se, paa a base i jk, solidáia aos afos e : (a) momento da quantidade de movimento do disco de cento em elação ao polo (b) momento que o disco de cento aplica sobe o afo. (c) elação ente ω e ω paa que as eações em e na dieção y sejam nulas m,r x ω Ο z Ω m,r y ω ª uestão (,0 pontos) No sistema indicado na fiua ao lado, a baa, de massa m e compimento, enconta-se em um plano hoizontal sem atito e move-se inicialmente com velocidade anula ω ω k, constante. Em um dado instante a baa choca-se com a baa, de massa m e compimento, inicialmente em epouso. Sabendo que o coeficiente de estituição vale e, com e > 0, detemine o veto de otação da baa, ω ', no instante imediatamente após o choque. ωοα j i ª uestão (,0 pontos) onsidee o poblema idealizado, ilustado ao lado. cilindo de massa m e aio R pode ia em tono de um eixo fixo, cujo taço no plano do desenho é indicado po. cilindo é excêntico, ou seja, seu cento de massa G está foa do cento. excenticidade, e ( G ), é conhecida. momento de inécia do cilindo em tono do eixo fixo é J. o edo do cilindo está enolada uma coeia ideal que é pesa a dois conjuntos lineaes idênticos, compostos po mola e amotecedo, de constantes e. onsidee que não haja escoeamento ente a coeia e o cilindo e que a coeia esteja sempe tacionada. ânulo de io,, é nulo quando o cento de massa G está na vetical de. Usando como coodenada enealizada, pede-se: G (a) Esceva a função de eneia cinética do sistema. (b) Esceva a função de eneia potencial do sistema. (c) Esceva a função aaniana do sistema. (d) Esceva a função de dissipação de Rayleih do sistema. (e) Deduza a equação de movimento do sistema a pati da Equação de aane.

2 1ª uestão (4,0 pontos) No sistema indicado na fiua ao lado, o disco de massa m e aio R ia, em elação ao afo, em tono de um eixo paalelo a y e passante po. disco de massa m e aio R ia, em elação ao afo, em tono de um eixo paalelo a y e passante po. Estas velocidades anulaes dos discos são constantes e valem ω ω j e ω ω j, espectivamente. Neste mesmo instante, a baa, de compimento e massa despezível, ia com velocidade anula Ω Ωk, constante. s afos e têm compimento e massa despezível. Pede-se, paa a base i jk, solidáia aos afos e : (a) momento da quantidade de movimento do disco de cento em elação ao polo (b) momento que o disco de cento aplica sobe o afo. (c) elação ente ω e ω paa que as eações em e na dieção y sejam nulas m,r x ω Ο z Ω m,r ω y (a) Paa o disco de cento m G ( ) V + [ I ]{ ω } abs, em que G ω Ω 4 ω j + 4 Ωk Fómula da mudança de polo: + ( ) mv, em que V V + Ω ( ) Ωj R j + + mωk ω 4 (1,0) (b) Teoema da quantidade de movimento anula paa o disco de cento x X z Z Y m & mvg V + & & & & ω j + Ωk, em que 0 k e & j Ω k j Ω i 4 ωωi ssim, o momento que o disco de cento aplica sobe o afo é xi ωωi (1,0)

3 (c) celeação do baicento do disco de cento [ ) ] a Ω i a a + Ω ( ) + Ω Ω ( ) & Teoema do movimento do baicento paa o disco de cento mω Y 0 Z m De maneia simila, paa o disco de cento : 4 ω j + Ωk, o momento que o disco de cento aplica sobe o afo é Ω i e a mω Y 0 Z m Diaama de copo live paa a estutua i 4 ω Ωi, x X Y Z X x Z X x Y X Z estutua tem massa despezível, de foma que: + X X Y + Y 0 Z m X 0 e 0 Y + ωω + 4 ωω 0 m m + X + mω mω Potanto, paa que Y e Y sejam iuais a zeo: ω Ω + 4 ω Ω 0 ω 8ω (,0)

4 ª uestão (,0 pontos) No sistema indicado na fiua ao lado, a baa, de massa m e compimento, enconta-se em um plano hoizontal sem atito e move-se inicialmente com velocidade anula ω ωk, constante. Em um dado instante a baa choca-se com a baa, de massa m e compimento, inicialmente em epouso. Sabendo que o coeficiente de estituição no choque vale e, detemine o veto de otação da baa, ω ', no instante imediatamente após o choque. ωοα j i Relações cinemáticas: aa : V V + ω ( ) ω j '. De maneia simila, V ' ω' j aa : V V + ( ) j ' ω' Diaamas de copo live dos impulsos ω' aa : Y X I, baa : I X Y Teoema do momento dos impulsos paa a baa, polo : I J z ', em que V ' V 0 I m( G ) V + [ I ]{ ω ' } m( G ) V + [ I ]{ ω} ( ω ω' ) m I ( ω ω' ) (1) Teoema do momento dos impulsos paa a baa, polo : I m G m I ω' () 1 ( ) V ' + [ I ]{ ω ' } m( G ) V + [ I ]{ ω } oeficiente de estituição: V ' V ' e( V V ) ω' + ω' eω () Resolvendo o sistema, tem-se que, em que V ' V 0 ω ' ω ( e + ) ω ' ω ( e + ) k

5 ª uestão (,0 pontos) onsidee o poblema idealizado, ilustado ao lado. cilindo de massa m e aio R pode ia em tono de um eixo fixo, cujo taço no plano do desenho é indicado po. cilindo é excêntico, ou seja, seu cento de massa G está foa do cento. excenticidade, e ( G ), é conhecida. momento de inécia do cilindo em tono do eixo fixo é J. o edo do cilindo está enolada uma coeia ideal que é pesa a dois conjuntos lineaes idênticos, compostos po mola e amotecedo, de constantes e. onsidee que não haja escoeamento ente a coeia e o cilindo e que a coeia esteja sempe tacionada. ânulo de io,, é nulo quando o cento de massa G está na vetical de. Usando como coodenada enealizada, pede-se: G (a) Esceva a função de eneia cinética do sistema. (b) Esceva a função de eneia potencial do sistema. (c) Esceva a função aaniana do sistema. (d) Esceva a função de dissipação de Rayleih do sistema. (e) Deduza a equação de movimento do sistema a pati da Equação de aane. (a) omo o cilindo ia em tono de um eixo fixo, a eneia cinética do sistema é simplesmente dada po: 1 T (& ) J & (1) (0,5) (b) função de eneia potencial do sistema é composta po uma pacela de natueza elástica e outa de natueza avitacional: 1 V ( ) ( R ) + me(1 cos ) R + me(1 cos ). () (0,5) (c) ssim, a função aaniana fica: 1 (, & ) J & ( R + me(1 cos )). () (0,5) (d) Po sua vez, a função de dissipação de Rayleih é escita: 1 (& ) ( & R R ) R & (4) (0,5) (e) Po fim a equação de movimento pode se deduzida da equação de aane apesentada na seuinte foma: decoendo, d dt J R + 0, (5) (0,5) & & & + R & + R + mesen 0. (6) (0,5) Note que paa pequenos deslocamentos, a equação fica apoximada, com eo de teceia odem em, po, J ( R + me) 0 & + R & +. (7)