Total. UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma C /1 Prova da área I

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1 UFRG - INTITUTO DE MATEMÁTIA Depatamento de Matemática Pua e Aplicada MAT Tuma - 19/1 Pova da áea I Total Nome: Ponto exta: Wikipédia Apesentação Nenhum Tópico: atão: Regas Geais: Não é pemitido o uso de calculadoas, telefones ou qualque outo ecuso computacional ou de comunicação. Tabalhe individualmente e sem uso de mateial de consulta além do fonecido. Devolva o cadeno de questões peenchido ao final da pova. Regas paa as questões abetas eja sucinto, completo e clao. Justifique todo pocedimento usado. Indique identidades matemáticas usadas, em especial, itens da tabela. Use notação matemática consistente. Tabela do opeado : f = fx,y,z e g = gx,y,z são funções escalaes; F = Fx,y,z e G = Gx,y,z são funções vetoiais. 1. f +g = f + g. F + G = F + G 3. F + G = F + G 4. fg = f g +g f 5. f F = f F +f F 6. ff = f F +f F 7. f = f = f x + f y + f z, onde = x + y + é o opeado laplaciano z 8. f = 9. F = 1. F = F F 11. F G = G F F G F G = G F G F F G+ F G F G = G F + F G+ + F G + G F uvatua, toção e aceleação: Nome Definição d uvatua κ = T = dt = t t t 3 Toção Módulo da Toção Aceleação nomal Aceleação tangencial Equações de Fenet-eet: d T d N d B = κ N τ = d B N = t t t t t τ = d B a N = a v v = κ T +τ B = τ N a T = a v v = d B = v ρ = κv = dv 14. ϕ = ϕ

2 Questão 1 1. ponto eja o campo vetoial consevativo Fx,y,z = ye z i + xe z + xye z, o campo escala ψx,y,z = y 4 + xz e G = F + ψ. Assinale na pimeia coluna um potencial ϕ paa F e na segunda altenativa o valo de W := F d. Onde é cuva paametizada po: t = t i+t j +t k, t 1. O potencial ϕ: W : ϕx,y,z = ye z + 1+e ϕx,y,z = xe z + 4 ϕx,y,z = zye x + +e ϕx,y,z = xze y + x ϕx,y,z = xye z + e Item 1b anulado. R: e+3. A solução do item b podeia se obtida apidamente po se consevativo: G = ϕ+ψ = xye z +y 4 +xz. Assim W = xye z +y 4 +xz,1,1 1,,. Questão 1. ponto onsidee o campo adial Fx,y,z = esboçado na figua ao lado e os caminhos 1, a eta que liga o ponto 3, 3, ao ponto 3,3,, a cicunfeência e a elípse 3 oientadas no sentido anti-hoáio. Defina: W 1 = F d, 1 W = F d, W 3 = F d, 3 Assinale as altenativas coetas em cada uma das duas colunas: F = 3 = W = W 3 < W 1 y ampo de velocidades 1 3 x F = F = F = +4 F = + Item a: = W < W 3 < W 1 x = W = W 3 = W 1 < W 1 < W < W 3 W 1 < = W < W x F = = 1 + = = 1 3 Onde se usaam os itens 5 e 14 da tabela. Item b: omo o campo é adial, é consevativo, pelo que W = W 3 =. Já W 1 = pela simetia impa ao longo do segmento de eta.

3 Questão 3 1. ponto onsidee a cuva paametizada po: t = cost i +sent j +cost k. Assinale as altenativas que indicam coetamente a cuvatua em t = e toção em t = : uvatua em t = Toção em t = x 17 Pimeio deivamos: Paa t =, temos: Assim: x 11 t = cost i +sent j +cost k t = sent i +cost j sent k t = cost i sent j 4cost k t = sent i cost j +8sent k = j = i 4 k = j = j i 4 k = k 4 i = k 4 i j = Potanto: k = = = 17 1 τ = = Questão 4 1. ponto A posição de uma patícula é dada pela função vetoial t = 1+t 3/ i+1 t 3/ j, que desceve uma cuva chamada astóide. Assinale na pimeia coluna o domínio de definição de t e, na segunda, a distância pecoida compimento de aco ao longo de todo o domínio. Domínio: Distância pecoida: 1,1] [ 1,1 x [ 1,1] 1,1 Nenhuma das anteioes A distância é dada po: onde se usou: 3 3 x D = = t 1 = 3 1 = t = 1+t 3/ i+1 t 3/ j 5 t = 3 1 +t1/ i 3 1 t1/ j 6 t = t+1 t =. 7

4 Questão 5 1. ponto O cicloide é uma cuva definida po um ponto sobe uma cicunfeência que ola sem desliza sobe uma eta. onsidee a tajetóia deste ponto paametizada po t = xt i +yt j, t >, onde é uma constante e xt = Rt sent yt = R1 cost π 4π 6π 8π 1π 1π upondo R =, assinale na pimeia coluna o valo do paâmeto t paa o qual t = π,. Na segunda coluna assinale o veto velocidade neste instante: O paâmeto t: Velocidade: x π π 3π π 4 i+ j x i+ j 4 i+4 j i j 5π 4 i item a: Pecisamos enconta o meno valo de t positivo tal que: Vide exemplo 1 página 3/6 t sent = π 1 1 cost = 1. omo cost =, temos que t = π +kπ, onde k =,1,,3,... Inspeção dieta nos mosta que t = π é solução. item b: Assim, em t = π, vale: x t = R1 cost y t = Rsent. x t = y t =. Questão 6 1. ponto eja a supefície no plano xy limitada pelos eixos x e y e pelo aco de cicunfeência de aio 4 centado na oigem estito ao pimeio quadante. A supefície é oientada no sentido positivo do eixo z e o caminho é a cuva que limita oientada pela ega da mão dieita. eja F = x 3 i+x 3 j e G = F. Assinale as altenativas que indicam, espectivamente, os valoes de W 1 := F d e W := G d. W 1 : W : 1π π 1π 4π x 48π 6 3 x 3 6 Vide questão 4 da lista. Item a: Pimeio calculamos o otacional do campo dado po: e aplicamos o teoema de tokes: F = 3x k

5 Paametizando em polaes, temos: W = F nd = 3x k kd = 3 x d W = 3 x d π/ 4 = 3 π/ 4 = 3 4 π/ = 3 ρ 3 dρ ρ cos θρdρdθ ρ 3 cos θdρdθ 3 π/ 1+cosx = 34 = 96 θ + senx π/ = 48π item b: A integal em caminho fechado de qualque campo gadiente é zeo. cos θdθ dθ

6 Questão 7. ponto Dada uma função escala f onde = = x +y +z. a Use a ega da cadeia paa obte a fómula do gadiente de f dada po f = f. b Use, nesta odem, a definição de laplaciano de uma função escala, depois o esultado do item anteio e, finalmente, a tabela de fómulas do opeado paa obte a seguinte fómula: Ve itens 9 e 11 da lista 3. f = f +f.

7 Questão 8. pontos onsidee a supefície fechada oientada paa foa composta supeiomente pela supefície de otação descita como z = fx,y = 1 x +y, z > e infeiomente po: z =, x +y 1. eja o campo vetoial dado po F = x 3 i+x j + k. alcule o valo do fluxo F nd Pimeio calculamos o divegente de F dado po: F = 3x E aplicamos o teoema da divegência paemetizando a egião em coodenadas cilíndicas: Φ = FdV V π 1 1 ρ = 3 ρ cos θρdzdρdθ π 1 1 ρ = 3 cos θdθ ρ 3 dzdρ = 3 π 1 1+cosθdθ ρ 3 1 ρ dρ = 3 1 π = π 4