Lista 3 de CF368 - Eletromagnetismo I

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Tânia Azambuja Almeida
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1 Lista de CF68 - Eetomagnetismo I Fabio Iaeke <fi7@fisica.ufp.b> de dezembo de 2. Um ane de feo ecozido, de compimento médio de 5 cm, é enoado com uma bobina tooida de espias. Detemine a intensidade magnética H H H, a indução magnética B B B e a magnetização M M M no ane quando a coente no enoamento fo (a, A, (b, 2 A. Soução: Pea ei de Ampèe, paa uma espia, H H H d = I ta que, paa N espias e como H é unifome C H = NI assim Das eações ineaes H = NI B B B = µ H H H e M M M = χm H H H ta que µ µ = K m = + χ m µ = µ K m e χ m = µ µ ( B B B = µ K mh e M µ = H H H µ (a, A Da cuva de histeese temos que H =,, 5 = 67 A/m H = 67 A/m µ µ = K m = e B =, =, 25 T M = ( 67 = 29 A/m

2 (b, 2 A Da cuva de histeese temos que H =,, 5 = A/m H = A/m µ µ = K m = 5 e B =, =, 89 T M = ( = A/m 2. Um imã pemanente tem a foma de um ciindo cicua eto de compimento L e áea da seção eta A. Se a magnetização M M M fo unifome e tive a dieção do eixo do ciindo, (a Ache as densidades de coente de magnetização (voumética e supeficia; (b Detemine o momento magnético do imã; (c Enconte as densidades de poo magnético (voumética e supeficia. Soução: Consideando que o eixo do ciindo está ainhado com o eixo z. (a Densidade de coente de magnetização: M M M = Mˆkˆkˆk voumética J M = M M M = îîî y ĵĵĵ M x J M = supeficia j M = M ˆnˆṋn = Mˆkˆkˆk ˆρˆρˆρ (b O momento magnético tota é dado po m m m = m m m = L 2π R (c Densidade de poo magnético: j M = M ˆθˆθˆθ M M M d Mˆkˆkˆk ρ dρ dθ dz = Mˆkˆkˆk m m m = MAL ˆkˆkˆk A {}}{ 2π R ρ dρ dθ L dz 2

3 voumética ρ M ( = M M( M = ( îîî x + ĵĵĵ y + ˆkˆkˆk Mˆkˆkˆk z ρ M ( = supeficia na atea σ M ( = M M( ˆnˆṋn = Mˆkˆkˆk ˆρˆρˆρ σ M ( = supeficia na tampa supeio σ M ( = M M( ˆnˆṋn = Mˆkˆkˆk ˆkˆkˆk σ M ( = M supeficia na tampa infeio σ M ( = M M( ˆnˆṋn = Mˆkˆkˆk ( ˆkˆkˆk σ M ( = M. Um soenóide muito ongo de N espias e compimento é pecoido po uma coente I. Uma baa de feo de pemeabiidade constante µ e áea da seção eta A é intoduzida ao ongo do eixo do soenóide. Se a baa fo paciamente etiada do inteio do soenóide po uma distância x, detemine a foça sobe a baa. Esta foça tende a afasta a baa do soenóide ou apoximá-a? Justifique sua esposta. Soução: po onde, a enegia é Consideando que a coente I é mantida constante a foça sobe a baa é dada U = F x = ( U x I u d = 2 µh2 d ta que, temos duas egiões com a mesma áea A da seção tansvesa no inteio do soenóide: uma com baa, compimento x, e a outa sem, compimento x. Dessa foma, U = 2 µh2 d µ H 2 d 2 = 2 µh2 d + 2 µ H 2 d 2 2 = 2 µh2 (xa + 2 µ H 2 [( xa] = 2 H2 A [µx + µ ( x] = 2 H2 A [(µ µ x + µ ] sendo que, pea ei de Ampèe, assim ( NI H = NI ogo, U = 2 2 A [(µ µ x + µ ] ( 2 NI A(µ µ F x = 2

4 4. Considee um soenóide muito compido, de N/ espias po unidade de compimento e aio R, ta que o campo magnético em seu inteio seja apoximadamente unifome e o campo em seu exteio seja nuo. (a Enconte, a pati da enegia magnética, a foça adia sobe uma espia do enoamento, po unidade de compimento da cicunfeência, quando a coente I se mantenha constante po meio de uma bateia. (b Repita o item (a supondo que o fuxo magnético pemaneça constante e que o sistema esteja isoado. Soução: A enegia é dada po U = u d onde, paa um meio magnético inea unifome e no vácuo, B B B = µ H H H, assim, sendo que, pea ei de Ampèe, U = µ 2 = µ πn 2 I u = H 2 B = 2 µ H 2 = B 2 2 µ U = µ 2 ( 2 NI d = µ N 2 I 2 H 2 d = B 2 d 2µ 2 2 H = NI (a Quando I é constante a foça adia é ( U F ( = = µ πn 2 I 2 ρ dρ Sendo que no compimento (2πR e paa N espias: I 2π F (R 2πRN = µ NI 2 2 dθ dz = µ N 2 I F (R = µ πn 2 I 2 R 2 2π (b Quando Φ é constante a foça adia é ( U F ( = = µ πn 2 I 2 Sendo que no compimento (2πR e paa N espias: Φ F (R = µ πn 2 I 2 R F (R 2πRN = µ NI São dados dois cicuitos: um fio eto muito compido e um etânguo de dimensões h e d. O etânguo está num pano que passa peo fio, sendo que os ados de compimento h paaeos ao fio e estando a distâncias e + d deste. Cacue a indutância mútua ente os dois cicuitos. 4

5 Soução: Sejam o cicuito o fio eto e o cicuito 2 o etânguo. A indutância mútua ente dois cicuitos é M 2 = dφ 2 di onde o fuxo Φ 2 é Φ 2 = B B ˆn 2 ds 2 ta que, ˆn 2 = ˆθˆθˆθ e o campo B B, pea ei de Ampèe, é S 2 assim ogo Φ 2 = h +d µ I 2π B = µ I 2π ˆθˆθˆθ {}}{ ˆθˆθˆθ ˆθˆθˆθ d dz = µ I 2π M 2 = dφ 2 di h +d d dz = µ ( I + d 2π h n = µ ( h + d 2π n 6. Um atenado se compõe de uma bobina quadada de N espias de áea A, que gia num campo magnético B B B unifome, segundo um diâmeto pependicua ao campo, com uma feqüência de otação f. (a Enconte a foça eetomotiz induzida na bobina como função do tempo. (b Se o fio da bobina é feito de uma mateia com condutividade g e diâmeto d, obtenha a coente induzida na bobina como função do tempo. Soução: (a Temos que a fem induzida é dada po onde Φ, paa N espias, é dado po Φ = N ta que, B B B = B ûûû, Φ = N S E = dφ dt S B B B ˆnˆṋn ds A cos θ {{}}{ }}{ B ûûû ˆnˆṋn ds = NB ds cos θ = NBA cos θ Seja ω = 2πf a veocidade angua de otação eativa à fequência f. Paametizando θ em função de t, θ = ωt, ogo Φ = NBA cos(ωt E = d NBA cos(ωt = NBA ω sin(ωt dt E = NBA2πf sin(2πft S 5

6 (b Pea ei de Ohm temos que I = ϕ R, R = ga onde, neste caso, ϕ = E, = A, A = π d2 4. Assim I = E N A gπ d2 4 = E gπd2 4N NBA2πf sin(2πftgπd2 = A 4N A I = gfπ2 d 2 B A 2 sin(2πf t 7. Um imã pemanente consiste de uma esfea de aio a que está unifomemente magnetizada, com magnetização M M. Não há outos campos magnéticos pesentes. Resovendo a equação de Lapace em coodenadas esféicas obtemos, paa o potencia escaa magnético, as seguintes expessões ( a ϕ (, θ = M 2 cos θ, ( a M cos θ, ( a A pati deas, obtenha os vetoes H e B dento e foa da esfea. Soução: Temos que ta que, paa um meio magnético inea H H H = ϕ B B B = µ H H H Seja em esféicas dado po = ˆˆˆ + ˆθˆθˆθ θ + ˆφˆφˆφ sin θ φ dento da esfea ( a ( H H H = ˆˆˆ + ˆθˆθˆθ H H H = 2M B B B = 2µM θ + ˆφˆφˆφ sin θ [ φ M ( a cos θ ˆˆˆ + M ( a 2 ( a cos θ ˆˆˆ + µm ( a 2 ( a 2 ] cos θ sin θ ˆθˆθˆθ sin θ ˆθˆθˆθ foa da esfea ( a H H H = ( ˆˆˆ + ˆθˆθˆθ θ + H H H = M B B B = µ M ˆφˆφˆφ sin θ cos θ ˆˆˆ + M cos θ ˆˆˆ + µ M ( M cos θ φ sin θ ˆθˆθˆθ sin θ ˆθˆθˆθ 6

7 8. Uma espia etangua de compimento e agua w afasta-se, com veocidade constante v v v (na dieção da sua agua de um fio etiíneo infinito situado no mesmo pano da espia e conduzindo uma coente I constante, como mosta a figua. Se a esistência tota da espia é R, detemine a coente na espia no instante em que a espia está a uma distância do fio. Qua o sentido deste coente? Justifique sua esposta. v R w I Figua : Espia etangua Soução: Consideando o fio ainhado com o eixo z, ta que, o sentido da coente coincide com o sentido positivo deste eixo. Assim, o campo geado peo fio é B B B( = µ I 2π ˆθˆθˆθ Aém disso, o compimento ainhado ao eixo z e a agua w ainhada à dieção axia com eação ao fio, temos que v v v = v ˆρˆρˆρ = d dt ˆρˆρˆρ 9. No pobema anteio suponha, agoa, que a espia esteja em epouso na posição em que apaece na figua, ou seja, sepaada do fio infinito po uma distância fixa. (a Cacue a indutância mútua ente a espia e o fio infinito; (b Supondo que a coente no fio infinito vaie com o tempo de acodo com a expessão I(t = I sin(ωt, ache a coente induzida na espia como função do tempo. Soução: Sejam o cicuito o fio eto ainhado ao eixo z e o cicuito 2 o etânguo. (a A indutância mútua ente dois cicuitos é M 2 = dφ 2 di onde o fuxo Φ 2 é Φ 2 = S 2 B B ˆn 2 ds 2 7

8 ta que, ˆn 2 = ˆθˆθˆθ e o campo B B, pea ei de Ampèe, é assim ogo Φ 2 = w µ I 2π B = µ I 2π ˆθˆθˆθ {}}{ ˆθˆθˆθ ˆθˆθˆθ d dz = µ I 2π M 2 = dφ 2 di = µ ( w 2π n w d dz = µ ( I w 2π n (b Pea ei de Ohm temos que ta que, a fem induzida é dada po assim, com I = I sin(ωt, I = E R E = dφ dt I 2 = d R dt Φ 2 = d R dt [ µ ( w ] 2π n I sin(ωt ogo I 2 = ωµ I 2πR n ( w cos(ωt 8

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