Série 2 versão 26/10/2013. Electromagnetismo. Série de exercícios 2

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1 Séie 2 vesão 26/10/2013 Electomagnetismo Séie de execícios 2 Nota: Os execícios assinalados com seão esolvidos nas aulas. 1. A figua mosta uma vaa de plástico ue possui uma caga distibuída unifomemente Q. A vaa foi dobada num aco cicula de 120 e de aio. O eixo das coodenadas é tal ue o eixo de simetia da vaa é coincidente com ele e a oigem do eixo está no cento de cuvatua P da vaa. Qual é o campo eléctico E devido à vaa no ponto P, em temos de Q e? Solução 1: A expessão paa o campo eléctico pode se escita como: E = K û Paa um elemento difeencial da vaa temos: de = Kd û 12 = 1 = 12 = = x ; y ) sin θ = y ; cos θ = x 12 = 2 = cos θ;sin θ) = cos θ; sin θ) Podemos então esceve: de = Kd û = Kd cos θ; sin θ) E = de = Kd cos θ; sin θ) 2 d = λ dl Como podemos esceve dl = dθ E = θ=60 = Kλ Kλdθ θ= 60 θ=60 θ= 60 cos θdθ; θ=60 θ= 60 sin θdθ θ=60 cos θ; sin θ) = Kλ cos θ; sin θ) dθ θ= 60 ) = Kλ Vamos agoa detemina o valo de λ: λ = E = Kλ 2 sin 60 ; 0) = [sin θ] ; [ cos θ] ) = Kλ 2 sin 60 ; 0) = Q compimento 2π 3 = 3Q 2π. 3Q K 2π ) 2 sin 60 ; 0) = 3QK sin 60 ; 0) = 3Q π 4ε 0 sin 60 ; 0) N C 1. π 2 Solução 2: Como podemos ve pela figua as componentes segundo y acabam po se anula, devido a uestões de simetia. Assim E P = de x. 1 / 10

2 Séie 2 vesão 26/10/2013 de = K d d ds = λ de x = cos θde = E P = de x = cos θde = cos θk d = cos θk λds Temos duas vaiáveis. Antes de integamos temos ue nos liva de uma delas: ds = dθ. E P = cos θk λds = Kλ = θ=+60 λ cos θdθ K θ= 60 [sin 60 sin 60 )] = Kλ = Kλ θ=+60 cos θdθ = Kλ [sin θ] +60 θ= [sin 60 + sin 60 )] = 2 Kλ sin 60 = Kλ. Nota 1: Se tivéssemos posto os limites de integação ao contáio o esultado teia dado um valo negativo. Nesse caso etiávamos o sinal pois este esultado só nos dá a magnitude de E. Nota 2: Ente 0 e 120 não funciona a integação. Vamos agoa detemina o valo de λ: λ = Finalmente: E P = Kλ = K Q = Q compimento 2π 3 ) = 0.83KQ Ou na foma vectoial: E P = 0.83K u x onde Q é positivo. = 3Q 2π = Q. 2. Calcule o campo eléctico no ponto P povocado po um anel de espessua muito fina ao longo do eixo cental do anel a uma distância z do plano do anel ao longo do eixo. O aio do anel é e possui uma densidade de caga linea unifome e positiva λ). Solução: O campo eléctico de tem sempe duas componentes. Uma paalela ao eixo dos z e outa pependicula. As componentes paalelas ao eixo dos z têm todas a mesma diecção, o mesmo sentido e a mesma magnitude. As componentes pependiculaes ao eixo acabam po se anula todas ente si. E P = de z. 2 / 10

3 Séie 2 vesão 26/10/2013 de = K d d ds = λ de z = cos θde Mas cos θ = z = = E P = de z = cos θde = cos θk d z. 2 +z 2 E P = Kλ cos θ ds = Kλ z 2 +z 2 ds = Kλz 2 +z 2 2 +z 2 ) 3 2 Vamos agoa detemina o valo de λ: λ = Finalmente: E P = 2πK 2π z 2 +z 2 ) 3 2 = Kz. 2 +z 2 ) 2 3 Q compimento = Nota: Paa distâncias gandes temos z = E P caga pontual ue estivesse a poduzi o campo. = cos θk λds s=2π s=0 ds = Kλz 2 +z 2 ) 3 2 2π. K z 2 = Kλ cos θ ds 2π) = 2πKλz 2 +z 2 ) 3 2 N C 1, ou seja é como se fosse uma 3. A figua mosta um disco de plástico de aio ue possui uma caga de supefície positiva de densidade unifome σ na pate de cima da supefície. a) Qual é o campo eléctico no ponto P, à distância z do disco ao longo do eixo cental? b) / Deduza a pati da expessão encontada na alínea anteio a expessão paa distâncias z muito gandes. Solução: a) Usando o execício anteio sabemos ue o campo no ponto P devido a um anel de espessua muito fina é dado po: Kzd +z 2 ) 3 2, onde se substitui o po e po d. Se somamos a contibuição povocado po todos os aneis teemos o campo total: E P = Kzd +z 2 ) 3 2 d elaciona-se com a densidade de caga supeficial da seguinte foma: σ = d. da pode se da escito como: da = 2πd imaginamos o nosso anel esticado de maneia a foma um ectângulo de lados 2π e d). Assim podemos esceve: σ = E P = Kzd = Kzσ2πd +z 2 ) 2 3 +z 2 ) 2 3 d 2πd = πσzk = =0 2d +z 2 ) / 10.

4 Séie 2 vesão 26/10/2013 Paa esolve este integal vale a pena ecoda a seguinte fómula: y m dy = ym+1 ; seja y = m z 2, m = 3, dy = 2 dy = 2d 2 d Assim temos: + z 2 ) 3 2 2d = y m dy = ym+1 = 2 +z 2 ) = 2 m [ ] +1 = [ ] E P = πσzk 2 = πσzk 2 2 +z 2 = z 2 z = 2πσK [ 1 z 2 +z 2 ] N C 1. +z 2 Outa esposta possível: E P = 2πσ 1 [ 1 z 2 +z 2 ] = σ 2ε 0 [ 1 z 2 +z 2 ] N C 1. b) Se substituimos 2 + z 2 po z 2 uando z ) obtemos E 0. Emboa seja coecto, estamos inteessados na dependência, e isto não nos diz nada aceca da dependência. Podemos enconta a dependência petendida usando a expansão binomial 1 + ε) n 1+nε, uando ε 0. z Assim ficamos com: 1 = 2 +z 2 z ) 2 ) 1 = 1 + ) ) ) 2. 2 z 2 z +1 Agoa se usamos apenas o pimeio temo desta expansão obtemos o esultado já discutido E = 0), mas se usamos os dois pimeios temos obtemos [ ] E P = σ 2ε 0 1 z σ 2 +z 2 2ε 0 [1 1 1 ) )] 2 = σ 1 ) 2 2 z 2ε 0 2 z Como σ = Q ficamos com: E π 2 P = σ 1 ) 2 2ε 0 2 z = Q 1 ) 2 2ε 0 π 2 2 z = Q = K Q N C 1. z 2 z [ ] [ 2 Ou usando a outa expessão: E P = 2πσK 1 z 2πσK ) )] 2 2 +z 2 2 z como σ = Q ficamos com: E π 2 P = Kπ Q ) 2 π 2 z = K Q N C 1. z 2 = Kπσ z ) 2, 4. Um campo eléctico é dado po E = x 2 + 2y) a x +2xa y V m 1 ). Enconte o tabalho efectuado em movimenta uma caga pontual Q = 20 µc a) da oigem paa 4, 0, 0) m. b) de 4, 0, 0) m paa 4, 2, 0) m. 5. Paa o campo eléctico do execício anteio, enconte o tabalho feito paa move a mesma caga de 4, 2, 0) m até à oigem ao longo de uma linha ecta. 6. Um campo eléctico é dado po E = ya x + xa y + 2a z. Detemine o tabalho efectuado no tanspote de uma caga de 2 C de B 1, 0, 1) paa A 0.8, 0.6, 1) ao longo do aco mais cuto do cículo x 2 + y 2 = 1; z = Detemine novamente o tabalho paa desloca C de B paa A no mesmo campo eléctico do execício anteio, mas desta vez atavés de uma linha ecta ente B e A. 8. Os electões são continuamente ejectados das moléculas do a na atmosfea pelas patículas dos aios cósmicos povenientes do espaço. Depois de libetado, cada electão está sujeito a uma foça electostática F devido ao campo eléctico E ue é poduzido na atmosfea po patículas caegadas já existentes na Tea. Peto da supefície teeste o campo eléctico tem magnitude E = 150 N C 1 e é diigido paa baixo. Qual é a vaiação da enegia potencial eléctica U de um 4 / 10

5 Séie 2 vesão 26/10/2013 electão lagado uando a foça electostática faz com ue ele se mova veticalmente paa cima uma distância d = 520 m? Considee ue a caga do electão é C. 9. A figua a) mosta dois pontos i e f num campo eléctico unifome E. Os pontos encontam-se na mesma linha de campo eléctico não mostada) e encontam-se sepaados po uma distância d. a) Enconte a difeença de potencial ϕ f ϕ i movendo uma caga de teste positiva 0 de i paa f ao longo da tajectóia ilustada na figua a), ue é paalela à diecção do campo. b) Enconte a difeença de potencial ϕ f ϕ i movendo uma caga de teste positiva de i paa f ao longo do tajecto icf epesentado na figua b). 10. Uma bateia tem os seus teminais ligados a duas placas paalelas, como se mosta na figua. A difeença de potencial da bateia é de 12 V. A sepaação ente as placas é d = 0, 30 cm, e assume-se ue o campo eléctico ente as placas é unifome. Esta suposição é azoável se a sepaação ente as placas é peuena elativamente às dimensões das placas e se não consideamos posições peto das bodas das placas.) Enconte a magnitude do campo eléctico ente as placas. 11. Um potão é lagado a pati do epouso num campo eléctico unifome ue tem uma magnitude de 8, V m 1 ve figua). O potão sofe um deslocamento de 0, 50 m na diecção de E. 5 / 10

6 Séie 2 vesão 26/10/2013 Considee ue a caga do potão é C e ue a sua massa é kg. Detemine: a) a difeença de potencial ente os pontos A e B V b V a ). b) a vaiação de enegia potencial do sistema potão-campo paa este deslocamento. c) a velocidade do potão após completa o deslocamento de 0, 50 m no campo eléctico. 12. Qual é o potencial eléctico no ponto P, localizado no cento do uadado de cagas pontuais ilustado na figua? A distância d é 1, 3 m e as cagas são 1 = +12 nc 3 = +31 nc 2 = 24 nc 4 = +17 nc 13. Na figua, 12 electões de caga e) estão igualmente espaçados e fixos à volta de um cículo de aio. elativamente a um potencial no infinito nulo, uais são o potencial eléctico e o campo eléctico no cento do cículo devido a estes electões? 6 / 10

7 Séie 2 vesão 26/10/ Considee o dipolo eléctico da figua. a) Detemine o potencial ϕ num ponto P abitáio b) / Detemine também uma expessão apoximada paa o caso paticula d. 15. Na figua uma vaa fina não condutoa de compimento L possui uma caga positiva e unifome de densidade linea λ. Detemine o potencial do campo eléctico induzido pela vaa, no ponto P ue se situa a uma distância d pependicula à extemidade esueda da vaa. Infomação de efeência: dz z 2 +a 2 ) 1 2 [ ] = ln z + z 2 + a 2 ) A figua mosta um disco de plástico de aio a ue possui uma caga de supefície positiva de densidade unifome σ na pate de cima da supefície. Obtenha uma expessão paa ϕ x), o potencial eléctico em ualue ponto do eixo cental. 7 / 10

8 Séie 2 vesão 26/10/ O potencial eléctico em ualue ponto do eixo cental de um disco unifomemente caegado é efia-se à figua do poblema anteio). ϕ = σ ) x2 + a 2ε 2 x 0 Usando esta expessão obtenha uma expessão paa o campo eléctico em ualue ponto no eixo do disco. 18. A figua mosta tês cagas pontuais mantidas em posições fixas po foças ue não são mostadas. Qual é a enegia potencial eléctica U deste sistema de cagas? Assuma ue d = 12 cm e ue em ue = 150 nc. 1 = + 2 = 4 3 = +2 2 d d d A figua mosta uma supefície Gaussiana na foma de um cilindo de aio imeso num campo eléctico unifome E, com o eixo do cilindo paalelo ao campo. Qual é o fluxo Φ do campo eléctico atavés desta supefície fechada? 20. Qual é o fluxo eléctico atavés de uma esfea ue tem um aio = 1, 00 m e possui uma caga +1, 00 µc no seu cento? 21. Um campo eléctico não unifome dado po E = 3, 0xî + 4, 0ˆ tespassa o cubo Gaussiano ilustado na figua. E está em newtons po coulomb e x em metos.) Qual é o fluxo elético 8 / 10

9 Séie 2 vesão 26/10/2013 atavés da face da dieita, da face da esueda e da face do topo? 22. Considee um campo eléctico unifome E oientado segundo x. Enconte o fluxo eléctico total atavés da supefície de um cubo de lado l, oientado como se mosta na figua. 23. A figua mosta cinco pedaços de plásico caegados e uma moeda electicamente neuta. Uma supefície Gaussiana é indicada S). Qual é o fluxo eléctico total atavés da supefície se 1 = 4 = +3, 1 nc, 2 = 5 = 5, 9 nc, e 3 = 3, 1 nc? 24. Patindo da lei de Gauss, calcule o campo eléctico devido a uma caga pontual isolada. 25. Uma esfea sólida isolada de aio a possui uma densidade volúmica unifome ρ e tanspota uma caga total positiva Q.Calcule a magnitude do campo eléctico paa um ponto a) exteio à esfea. b) inteio à esfea. 9 / 10

10 Séie 2 vesão 26/10/ Uma supefície esféica fina de aio a possui uma caga total Q distibuída unifomemente sobe a sua supefície. Enconte o campo eléctico em pontos a) foa da supefície b) no inteio da supefície. 27. Enconte o campo eléctico povocado po uma linha infinitamente longa de caga positiva e com densidade de caga po unidade de compimento constante e igual a λ a uma distância pependicula à linha. 28. Enconte o campo eléctico devido a um plano infinito de caga positiva com densidade de caga supeficial unifome σ. Soluções: 1) E P = 3QK π sin 60 ; 0) = 3Q 4ε 0 π 2 sin 60 ; 0) = Q u x N C 1 ) ; 2) E P = 1 2ε 0 4ε 0 σ 2 2πλz 2 +z 2 ) 3 2 N C 1 ) ; ) 3a) E P = σ 1 ) z 2 +z N C 1 ; 3b) E 2 P = 1 ; 4a) 80 µj; 4b) 320 µj; 5) 400 µj; 6) z 2 0, 96 J;7) 0, 96 J; 8) U = 1, J; 9a) ϕ f ϕ i = Ed; 9b) ϕ f ϕ i = Ed; 10) E = 4, V m 1 ; 11a) ϕ = 4, V; 11b) U = 6, J; 11c) v = 2, m s[ 1 ; 12) ϕ 350 ] V; 13) ϕ = 12 e, E = 0; 14a) ϕ = ) +) ) +) ; 14b) ϕ = d cos θ ; 15) ϕ = λ ln L+L 2 +d 2 ) 1 2 ϕ x) = σ x2 2ε 0 + a 2 x ) ; 17) E x = σ 1 x x ); 18) U = a ); 19) Φ = 0 N m 2 C 1 ; 20) Φ = 1, N m 2 C 1 ; 21) Φ d = 36 N m 2 C 1, Φ e = 12 N m 2 C 1, Φ t = 16 N m 2 C 1 ; 2ε 0 22) Φ t = 0 N m 2 C 1 ; 23) Φ = 670 N m 2 C 1 ; 24) E = k e ; 25a) E = k e ; 25b) E = k e ; 26a) a 3 λ E = k e ; 26b) E = 0; 27) E = 2k e ; 28) E = σ ε 0 d ; 16) 10 / 10