2.5 Aplicações da lei de Gauss para distribuições de carga com simetria

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1 .5 Aplicações da lei de Gauss paa distibuições de caga com simetia Paa distibuições de caga com alto gau de simetia, a lei de Gauss pemite calcula o campo elético com muita facilidade. Pecisamos explica o conceito de simetia. O ue significa simetia? Po exemplo, todo mundo vai concoda ue uma pefeita esfea possui simetia. Mas o ue ueemos dize com isto? Aui na eletostática, usaemos uma noção de simetia ue coesponde a tansfomações do nosso espaço físico do efeencial usado. Com tansfomação do espaço físico ueo dize uma substituição de pontos do espaço po outos pontos do espaço, ou seja, temos um mapeamento 1 ue mapeia o espaço em si. Se usamos o símbolo E paa o conjunto de todos os pontos do espaço, uma tansfomação do espaço é um mapeamento T : E E. Mas, paa fala de simetias, não inteessa ualue tipo de tansfomação. Vamos admiti somente tansfomações ue consevam distâncias de paes de pontos. Isto significa ue paa uaisue pontos A e B do espaço a distância ente A e B deve se igual à distância ente os pontos A T B : imagem T e paa todo A e B E : d A,B = d T A, T B (.5.1). Temos as seguintes tansfomações ue cumpem esta condição: tanslações, gios, imagens especulaes e combinações destas opeações. A figua.5.1 mosta exemplos destas opeações. Tanslação Fig..5.1 Exemplos de tansfomações do espaço ue consevam distâncias. Os pontos oiginais são mostados em azul e os pontos imagem em vemelho. Gio Reflexão Seja T uma destas tansfomações ue consevam distâncias. Agoa imaginem algum objeto físico O mateial no espaço. Podemos constui um novo objeto Õ colocando o mateial do objeto O ue se T A. encontava no ponto A no ponto Fazendo isto com todos os pontos no espaço ue contém alguma matéia do objeto O, obtemos o novo objeto Õ. Se ninguém nota a difeença dos objetos O e Õ, vamos dize ue o objeto O possui T como elemento de simetia. Veemos exemplos; paa começa, um contaexemplo: imagine uma bola pefeitamente esféica. Esta bola possui simetia de tanslação? Se tansladamos esta bola, obtemos uma bola igual, mas todo mundo vai nota ue a nova bola está em outo luga. Então o objeto novo pode se distinguido do objeto oiginal e a bola não possui simetia de tanslação. Mas obviamente ualue gio po volta de ualue eixo ue passa pelo cento da bola é uma opeação de simetia da bola. Também ualue tomada de imagem de espelho com plano especula ue contém o cento da bola é um elemento de simetia da bola. Como pimeio exemplo da aplicação da lei de Gauss paa distibuições de cagas com simetia, investigaemos logo uma distibuição com simetia esféica. Uma distibuição 1 Os matemáticos basileios usaiam o temo aplicação. 93

2 de caga no espaço é também um objeto físico, e a nossa definição de elemento de simetia pode se aplicada. Vamos dize ue uma distibuição de caga tem simetia esféica, se ela tive exatamente os mesmos elementos de simetia de uma bola pefeitamente simética. Se colocamos a oigem de coodenadas no cento da bola e usamos coodenadas esféicas, θ,, ue se elacionam com as catesianas da foma x = sen θ cos, y = sen θsen, z = cos θ (.5.), temos uma distibuição de caga com simetia esféica exatamente uando a densidade de caga é uma função somente da coodenada. Isto ocoe poue as coodenadas θ e sofem alteações uando aplicamos os elementos de simetia: gio e eflexão. Somente não muda nestas opeações. O campo elético geado po uma distibuição com simetia deve te a mesma simetia. Se ele não tivesse esta simetia, pode-se-ia detecta a aplicação da tansfomação T obsevando mudanças do campo elético. Então se a distibuição, po exemplo, possui simetia esféica, o campo geado po esta distibuição também tem ue te simetia esféica. Paa ve uais são as conseuências da simetia esféica paa o campo, vamos esceve o campo elético usando as coodenadas esféicas. Vamos esceve o veto E (, θ, ) na base otonomal ˆ, θˆ, ˆ ue, no ponto com coodenadas, θ,, aponta nas dieções dos eixos de coodenadas. Estes vetoes básicos podem se definidos deivando o veto posição = xˆ x + yˆ y + zˆ z em elação às coodenadas, θ, : ˆ, ˆ = θ = θ, ˆ =, def. def. (.5.3). def. θ O leito deve desenha estes vetoes numa figua ue moste os eixos de coodenadas x, y, z e os ângulos θ e paa um ponto ualue (Execício.5.3). Note ue estes vetoes básicos dependem da posição. Então eles são funções das coodenadas. Olhando com mais cuidado, você descobe ue estes vetoes dependem de θ e, mas não dependem de. Então numa notação mais cuidadosa devemos esceve ˆ,, ˆ,, ˆ, E, θ, nesta base: ( θ ) θ( θ ) ( θ ). Vamos esceve E E E E (, θ, ) = ˆ( θ, ) (, θ, ) + θˆ ( θ, ) (, θ, ) + ˆ ( θ, ) (, θ, ) θ (.5.4). Tanslação Gio Reflexão Fig..5. Compotamento de vetoes nas tanslações, gios e eflexões. Quando aplicamos uma tansfomação T do espaço físico ue conseva as distâncias, devemos obseva ue um veto sofe também deteminadas alteações. Po exemplo, um gio vai coespondentemente gia o veto. Inteessante é o compotamento de um veto na eflexão num espelho. A componente do veto paalela ao plano do espelho não sofe nada com a tansfomação especula, e a componente pependicula ao plano do espelho muda de sinal. 94

3 A tanslação não altea vetoes. A figua.5. mosta os compotamentos de vetoes sob tanslações, gios e eflexões. Agoa vamos olha paa um ponto P com coodenadas, θ, e considea a eflexão num espelho ue contém todo o eixo de coodenadas z e o ponto P. Este plano contém também a oigem, ou seja, o cento da esfea; com isto sabemos ue a eflexão neste espelho é um elemento de simetia. Como P fica dento do plano de espelho, o ponto imagem de P coincide com o pópio P. Conseuentemente o veto E (, θ, ) tem ue coincidi com o veto espelhado. ˆ e ˆθ ficam dento do plano de espelho e ˆ está pependicula ao espelho. Conseuentemente o veto campo espelhado neste ponto é ˆ ˆ veto espelhado = ˆ θ, E, θ, + θ θ, E, θ, θ, E, θ, (.5.5). Se o veto espelhado coincide com o veto oiginal, segue imediatamente ue E (, θ, ) =. Agoa consideamos um plano especula ue contém a oigem, o ponto P e ue fiue pependicula ao veto ˆθ. Com o mesmo tipo de agumento ue acabamos de usa, segue Eθ (, θ, ) =. Então soba apenas E, θ, = ˆ θ, E, θ, (.5.6) Se aplicamos um gio, o veto básico ˆ ( θ, ) é giado de tal foma ue ele coincide exatamente com o veto oiginal no novo ponto. Então o veto ˆ ( θ, ) já toma conta de toda a mudança ue E (, θ, ) deve sofe. Conseuentemente E (, θ, ) não deve sofe nenhuma mudança num gio. Mas, como θ e são afetadas po gios, concluímos ue a função E (,, ) θ θ não pode depende destas coodenadas. Então estes agumentos de simetia estingem o campo elético bastante. Este deve te a foma E (, θ, ) = ˆ ( θ, ) E (.5.7) Somente uma única função E esolvida com a ajuda da lei de Gauss. Paa detemina o valo incógnito E pecisa se deteminada. Esta última taefa pode se, escolhemos uma supefície Gaussiana em foma esféica com cento na oigem e com aio. A lei de Gauss infoma ue 1 E ds = ρdv ε (.5.8) Nesta fómula indicamos a supefície e o volume da esfea de aio com os desenhos e espectivamente. O inteessante é ue a integal de supefície pode se calculada apesa do fato de não conhecemos a função E completamente. Já vimos na seção.3 como se calcula uma integal de supefície sobe uma esfea. Usando as coodenadas esféicas, obtemos 95

4 π π E ds = E (, θ, ) ˆ ( θ, ) sen θ d dθ (.5.9) θ= = Substituindo a expessão (.5.7) do campo, obtemos = θ θ θ θ (.5.1). E ds π π E ˆ (, ) ˆ (, ) sen d d θ= = Mas ˆ ( θ, ) ˆ ( θ, ) = 1 e E tiado das integais. Então soba não depende das vaiáveis de integação e pode se E ds = π π E sen θ d dθ = 4π E (.5.11) θ= = Substituindo isto na lei de Gauss, obtemos 1 4π = ρ E dv ε Este esultado pemite detemina a função incógnita E ( ) : 1 E = ρdv 4πε e temos o campo pefeitamente deteminado: ( θ ) ˆ, E (, θ, ) = ρ dv 4πε (.5.1). (.5.13) (.5.14) Veemos um exemplo com uma distibuição esféica bem simples: imagine uma esfea de aio R homogeneamente peenchida com caga elética. Neste caso a integal de volume do lado dieito esulta simplesmente na caga total da esfea, se R e numa fação da caga total no caso < R sendo esta fação deteminada pela azão dos volumes das esfeas com aio e R. Então Qtotal paa R ρ dv = 3 Qtotal paa < R 3 R Então o campo elético deste tipo de bola caegada é Qtotal paa R ˆ ( θ, ) E (, θ, ) = 3 4πε Qtotal paa < R 3 R (.5.15) (.5.16) Pecebemos ue o campo foa da bola coincide com o campo de uma caga pontual no cento da bola com o valo de caga igual da caga total da bola. Este esultado já tinha sido visto na Física II paa o caso do campo gavitacional. Paa distibuições de caga ρ mais geais podemos calcula a integal do lado dieito da fómula (.5.14) usando as coodenadas esféicas. Depois de te visto como se tansfoma uma integal de supefícies sobe uma supefície esféica numa integal 96

5 dupla com coodenadas esféicas, é fácil descobi como é uma integal de volume em coodenadas esféicas. Imagine ue estejamos no ponto com coodenadas, θ, coletando as contibuições paa a integal de volume neste ponto. Quando vaiamos o ângulo θ po um valo infinitesimal δθ, avançamos uma distância δθ. Se vaiamos o ângulo po um valo infinitesimal δ, avançamos uma distância sen θ δ, e este avanço ocoe numa dieção pependicula ao avanço associado à vaiação da coodenada θ. Se vaiamos a coodenada po um valo infinitesimal δ, avançamos simplesmente um δ numa dieção pependicula aos avanços anteioes. O leito deve faze um desenho desta situação, um desenho paecido com a figua..9! Os tês avanços abangem um volume δθ sen θ δ δ. Coespondentemente podemos esceve a integal da (.5.14) na seguinte foma: π = θ = = = ρ dv = ρ sen θ d dθ d = π = 4π ρ d (.5.17). Agoa consideamos um caso ue pemite o cálculo do campo apenas de foma apoximada. Imagine ue tenhamos um cilindo muito compido com uma densidade de caga elética ue depende apenas do aio, isto é, da distância do eixo do cilindo. Se estamos inteessados em pontos cuja distância do cento do cilindo fo muito meno ue o compimento do cilindo, podemos apoximadamente substitui o cilindo finito po um infinitamente compido. Com esta manoba obtemos um objeto altamente simético. Os elementos de simetia são: tanslações na dieção do eixo do cilindo, gios po volta do eixo do cilindo, gios de 18 o po volta de eixos ue cuzam o eixo do cilindo pependiculamente, eflexões com planos especulaes ue contêm o eixo do cilindo e eflexões com plano especula pependicula ao eixo do cilindo. Neste caso o uso de coodenadas cilíndicas é mais indicado. Estas se elacionam com as coodenadas catesianas (com o eixo do cilindo como eixo z) da seguinte foma: (.5.18) x = cos, y = sen, z = z e a base otonomal associada é ˆ ( ) =, ˆ ( ) =, zˆ = z z (.5.19). Deixamos a elaboação da foma geal do campo baseado em agumentos de simetia como execício paa o leito (Execício.5.7). O tipo de agumentação é completamente análoga àuela do caso esféico. O esultado é E (, ) = E ˆ( ) (.5.) Veja a seção., a discussão ue leva à fómula

6 Somente a função E é desconhecida. Ela pode se deteminada com a lei de Gauss. Paa este fim escolhemos uma supefície gaussiana em foma de cilindo de altua h e aio e eixo coincidente com o eixo do cilindo da distibuição de caga. Pecisamos da integal de fluxo do campo da foma (.5.) integado sobe a supefície deste cilindo. As duas tampas deste cilindo não contibuem com nada paa a integal de fluxo poue o campo é pependicula aos vetoes supefície das tampas. Paa a pate lateal do cilindo obsevamos ue uma vaiação infinitesimal δ da coodenada angula esulta num deslocamento de δ. Uma vaiação δ z apaece dietamente como deslocamento pependicula ao anteio, e o veto unitáio pependicula ao pedaço infinitesimal de supefície é o veto ˆ ( ). Conseuentemente obtemos z + h π E ds = E ( ) ( ) d dz = h π E cilindo z= z = ˆ ˆ (.5.1) Inseindo isto na lei de Gauss, obtemos uma euação ue pemite detemina a função incógnita E. Então a função incógnita é 1 ( ) ( ) h π E = ρ d d dz = ε πh = ρ ε E = z + h π z = = ( ) d 1 = ρ( ) d ε = Este esultado pode se substituído na foma geal do campo: E, ˆ = ρ ε = ( ) d (.5.) (.5.3) (.5.4) Como no caso da esfea, veemos um exemplo simples. Imagine um cilindo infinitamente compido de aio R unifomemente caegado. Neste caso não tem sentido fala da caga total do cilindo, pois esta seia infinita. Mas podemos fala de R uma densidade linea total da caga ue seia λ = π ρ( ) d. Quando R, a integal no lado dieito da (.5.3) engloba toda a densidade linea do cilindo e uando < R, temos uma fação, ue pode se calculada com uma ega de tês das áeas envolvidas: então o campo é E (, ) = λ paa R ˆ( ) = πε λ paa < R R (.5.5) Paa >> R obtemos o esultado da linha infinitamente compida ue tínhamos calculado na seção 1.6 (fómula 1.6.1). Nauela ocasião falamos ue não ea 98

7 necessáio decoa o esultado, poue mais tade apendeíamos um método simples de obtê-lo em poucos segundos. Este método simples é esse ue acabamos de explica. O aluno ue enfenta a lei da Gauss pela pimeia vez cetamente acha ue tocamos apenas um método complicado po outo ainda mais complicado. Mas, com um pouco de contemplação calma, pecebe-se ue o método da lei de Gauss é ealmente uma uestão de poucos segundos: sem gandes agumentos de simetia, a foma geal do campo (.5.) é algo completamente óbvio. Depois a integal de fluxo é também óbvia: um poduto de E vezes a cicunfeência do cilindo Gaussiano, vezes a sua altua. Do outo lado da lei de Gauss temos caga ( λ vezes altua) dividida po ε. A altua cancela dos dois lados e temos E λ = ε π (.5.6) Ponto, o aluno ue medita e incopoa estes passos seá capaz de epoduzi este esultado em segundos. Como não existem cilindos infinitamente compidos no mundo eal, o esultado da simetia cilíndica (.5.4) seve paa poblemas páticos apenas como uma apoximação. Há ainda mais uma simetia ue pemite um cálculo simples do campo elético com a ajuda da lei de Gauss. É o caso da simetia plana. Mas não é bom tia dos jovens a possibilidade de descobi as coisas sozinhos. Então vamos deixa este caso como execício (Execício.5.9). Execícios: E.5.1: Além de tanslações, gios e eflexões num plano especula, existe mais uma tansfomação do espaço físico ue conseva distâncias. É a tansfomação ue substitui o veto posição pelo veto posição. Moste ue esta tansfomação pode se obtida combinando uma eflexão num plano especula com um gio. E.5.: Calcule os vetoes básicos da base otonomal expessando estes vetoes na base xˆ, yˆ, z ˆ. ˆ, θˆ, ˆ explicitamente E.5.3 Consideamos um sistema de coodenadas esféicas. Faça um desenho dos eixos de coodenadas x, y e z, desenhe os ângulos θ, paa um ponto com coodenadas, θ, e desenhe o volume geado po vaiações peuenas destas coodenadas. E.5.4: Faça um gáfico da função E homogeneamente caegada de aio R com caga total Q. paa o campo elético geado po uma esfea E.5.5: Calcule o campo elético geado pela distibuição de caga dada po 1 ρ = A exp / a, onde é a coodenada adial num sistema de coodenadas esféicas. E.5.6: Faça o análogo do execício.5.3 paa um sistema de coodenadas cilíndicas. E.5.7: Elaboe os detalhes ue levam à foma geal do campo (.5.). 99

8 E.5.8: Calcule o campo elético geado pela distibuição de caga dada po ρ = B 1 exp / R onde é a coodenada adial num sistema de coodenadas [ ] cilíndicas. E.5.9: Sejam x, y e z as coodenadas de um sistema catesiano de coodenadas. Considee uma distibuição de caga dada po uma função ue depende apenas de z e ρ z = ρ z. (a) Detemine os elementos de suponha ue esta função é pa, isto é simetia desta distibuição. (b) Detemine a foma geal do campo geado po esta distibuição. (c) Use a lei de Gauss paa detemina o campo em temos de integais da função ρ. (d) Considee o caso paticula ue ρ ( z) = const. paa z D / e ( z) ρ = paa z > D /. Compae o valo do campo encontado na egião z > D / com o esultado obtido na seção 1.6, isto é, com a fómula (1.6.38). E.5.1: Na seção 1.4 constava o execício: Moste ue a má definição da expessão ( ) 3 paa = não cia poblemas paa a integal (1.4.14). Dica: Paa a integação, use coodenadas esféicas com o ponto como oigem. Povavelmente muitos alunos não conseguiam esolve este execício na época. Agoa temos muito mais pática com integais de volume calculadas em coodenadas esféicas. Tente esolve esta uestão agoa! E.5.11: Esceva os pontos de destaue desta seção. 1