Matemática D Extensivo V. 7

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1 Matemática D Extensivo V. 7 Execícios 0) D V V g Potanto, temos que o volume do tonco do cone é dado pelo volume total do cone menos o volume da pate supeio do cone. π.. 6 π.. 8π 6 π... π 8 π Paa calcula o valo do volume submeso (V ), basta subtai o volume total do volume V. Como a água divide as geatizes pela metade, temos que:., potanto: V V t V. π... π.. V 8π π.. 7π.. 0) B Assim, V. π.. V 7 t. π.. Pimeiamente, calcula-se o valo do aio meno () em função do aio maio (): tg α ( ) ( ) ( ) 6. Da mesma foma, temos: tg α Tome como sendo a altua total do cone. Sendo assim, a altua da pate supeio do cone é: 6 g g () + g 0) C Consideando que apenas o cone seá cobeto com telas, temos: π.. g em que g π m g + 0) B Volume do cilindo eto: Vc π.. π.. π m g Sendo o aio do cone fomado pela água no ecipiente maio e o aio do meno, temos que:, potanto:. π.. +. π.. π Po semelança, temos,: 6 6 Substituindo,.,0 8 Matemática D

2 0) A O Po semelança: ) O aio da base é Áea lateal pela planificação: π. g² π. g π 60 Áea lateal: π π.. g 7 8 7π cm e o volume é cm De enunciado temos: V f Vi. π π ) B , Potanto, o amigo de Macos deve bebe: x 0 6 Volume do vasilame: V V π π V V 70π cm Volume do funil: V F π.. 6. π 0π cm Volume da egião do cilindo sem álcool: V S 70π (6 0π) V S 70π 7. π 7π Potanto, π.. 7π ) A Altua do cone: 8 6 Volume do cone: V. π.. V. π.. 6 V 8 7 π 6 6 Sendo o cone equiláteo, temos que: e g A T V π. (g + ).. π 0) C π. ( + ) π.. π. Áea lateal: π. (g). 6 π 60 π. 8. Sabendo que ( ), áea lateal do cone, também é dada po: π.. g, então: π.. g π 7 Matemática D

3 Po Pitágoas: 7 g 6 6 Potanto, o valo do cone é: V. π... π. 7. V 6,8 π 0) ) A Áea lateal: π. g π.. g e 6 Potanto, π.. g π. g. 00 g Dessa foma, g 0. sen θ n 0. g g 0. g π.. g π.... π π cm Áea lateal: π. g. π. π π. 8. 7π A áea lateal do cone também é dada po π.. g, potanto: π.. g 7π Po Pitágoas: ( ) ( ) 7 6 ) E ) B Volume do cone: V. π... π. ². 6 V 8 π O aio do funil é dado po: π. π Potanto, o volume da mistua é: V. π.. V 8. π π. 6 6 Po semelança de tiângulos:. Como o cone é equiláteo, temos que: e g, então substituindo: 6 e 6 g ) A Volume do cone: V CO. π.. V CO. π.. π cm Volume do cilindo cicula: V Ci π.. V Ci π.. V Ci π.. Como V Ci V CO, temos: π. π cm π.. π. π cm. Matemática D

4 ) D 7) C Do enunciado: b a a. b Pela figua vemos que: a.. b b 0 6) B Volume do cone: V. π.. π Potanto,.. Substituindo temos: b. b b. b b b 7 Po Pitágoas: g b + b g 0. b 0. g 0b 0 Came, na figua, o aio do cone de e o aio do cone sem líquido de. Po semelança de tiângulos temos: n Potanto, o volume do líquido é dado po: V L V S. π.. π.. V L. π. π 7π. Dessa foma, na figua temos: x. x x Em que é o aio do cone líquido.. π.. x 7π. x 7 x O volume do sólido é dado pelos volume dos dois cones que fomam a figua. Paa isso é necessáio descobi o valo do. I. 0 + II (0 ) Po I temos que ² + ² Substituindo, temos que: 00. V + V π.. + π.. 8) B 0 0 π. ( + ), como + 0. π. (. 6). 0 07,π O volume do novo cone é dado po: V π ( x). ( + x) 8 6 V π (. x.. + x. +. x x. + x ) V π (. + x 6x + 0x) Como V V, temos: π.. (. + x 6x + 0x) x(x 6x + 0) 0 Potanto, x 0, x' ou x". Matemática D

5 ) 6π m Po Pitágoas temos que: ) a) ( + ) m b) V tonco ( + ) m x x + (x + ) x + (x ) x + x + x + x x + x + 8x 0 x( x + 8) 0 Potanto, x 8. A p A p x Dessa foma, 8 m, 6 m e g 0 m. A T A b + A π. (g + ) π A T 6 m 0) a) 0π mm b) π mm a) O volume de madeia e gafite etiados equivale à difeença ente o volume de um cilindo de altua mm e aio mm e o volume de um cone de mesma altua e mesmo aio. Potanto, π.. π.. 0π mm b) O cone de altua s e diâmeto d e o cone de altua e diâmeto D são semelantes, assim como os cilindos coespondentes, de mesmas altuas e bases. A azão de ambas as semelanças é d D 0. Dessa maneia, os sólidos que epesentam a gafite etiada e a madeia e gafite etiadas são semelantes, com mesma azão.. 0π π mm. ) B ) D a) Ap Ap Δ 6 Δ. 8 ± ou + Como deve se maio que, temos que: +. b) O volume do tonco é dado po: k ( AB + ABAb + Ab) Da fómula temos que: k. π( +. + ) π ( ) 6 π 08π Do enunciado tiamos as seguintes elações: k,, Dessa foma: V C π... π +. + Vc π.... V... π. 7 6 T Matemática D

6 ) C Do enunciado temos que. K Vs.π ( + + ) Vs Vs... 6 Vs. ) D Do enunciado: A s Sendo, substituindo: cm Logo: 6. 8 cm Po Pitágoas temos: G + G 00 G 0 cm 8 cm 6) B Do enunciado temos que: Po Pitágoas: x x 7) C 00 cm. A B,,,, Potanto, a áea lateal pintada é dada po: 7 (, +, ) 8. (,6) 76,8 cm Como o endimento do galão é de 8 m, temos que seão necessáios 7 galões paa tal opeação. B x Áea lateal do cone (total): V L π.. G π V L 60π cm Sabendo que: G g. g 8 g Novamente po Pitágoas: g Potanto, cm. Áea lateal do cone meno: A π.. g 0. π 0π Áea lateal do tonco: A T 60π 0 π 60π cos 0 6 sen 0 6 V π.. 6. cos sen 0 0 V. π ( ).. π 7π cm A Potanto, A AT l 8 cm. 6 Matemática D

7 8) a) / m b) m a) ) C x Po semelança de tiângulos: x x Volume da piâmide maio: V M.. 6 m Volume da piâmide meno: V M.. m Potanto, o volume do tonco é: V V M V M V 6 6 m b) Volume da piâmide d água: m 7 l.. Como l l, 7. m Como a altua da piâmide é de m, então o nível de água está a metos da base da caixa. Pela figua concluímos que. Sabendo que A Δ cm, temos: A Δ. cm cm Dessa foma: 0) B ) D Volume da piâmide maio: V M. a. V M a Logo, como a piâmide meno tem metade do volume da maio, temos: V m V a M 6 Sabendo a elação: Vm temos: VM a 6. a Potanto,, então k. Sejam V C, V m e os volumes do cone, do cone meno e do tonco, espectivamente. VC e V V C + V m T V C (V C V m ) V VC Sabendo que ( ) V C, então: Vm ( ).. ) C Coeção: o novo cone tem volume do oiginal. 7 Da elação 7 temos: 7 7 Como 6 cm, temos: 6 cm. m V π.. π. 6 π cm Matemática D 7

8 ) A 7) B Da elação V M temos: Vm 67 8 V m 67 V m V m gamas 7 a g ) C ) C Da elação V V m M m M temos: m m m cm 8 0 M Po semelança temos: A b, em que Ab e ab são a as aestas das bases do tonco. 00 ab 0 a b ) E Sejam x e x, e pela elação A, em que a A e a são aestas das bases dos toncos, temos: X x a x a x x.. x..x x x. 8 x + x x x x 8x x + x x ( x ) + 8 x + x x + x + x x 7x x + 0 Potanto x + 6 cm. 7 b x a Po Pitágoas temos que: a g +, potanto: a+ a. g 6a a a +. Da mesma foma, consideando a piâmide temos: G + a p a + a a a +. 8) C Igualando temos: a 6a + a + a a + + a + a a + a 7 a a cm 0 0 Áea da base maio (B): B cm B 6 dm Áea da base meno (b): b x ( ) Sabendo que k B+ B. b+ b, temos: (6 + x + x ) x + x + 6 x + x 0 Dessa foma: x dm 0 cm 8 Matemática D

9 ) A ) A Do deseno temos que: g 8 g Ainda po Pitágoas temos que: g x x. Basta descobi x, que vale a altua da base maio menos a altua meno dividido po. x 8 ( ) 0) a) cm; b) 8π cm. A bm π 6π e A bm π π Potanto, a soma das áeas das bases é: S A bm + A bm 6π + π π cm. a) Sendo a áea lateal igual a S, temos: π. g( + ) π g cm g ( ) cm b) V π.k ( +. + ) V 8π cm ) B ) B Sabendo que: ilindo one, temos: π.. π.. π.. π... elação ente o ipocloito de sódio e o volume total: 07, V V Como após adiciona água a elação passa a se 8%, temos que: 07, V 8 V 00 7V 8V + 8x x 8 V Potanto, o volume final é: V f V + 8 V 7 V 8 Da elação V V f temos: V 8 7V 7 8 Potanto, O volume V, em cm, do campane é igual a: V.. π. 8π O volume V é dado po: V π.. π.. 8π 6. Matemática D

10 ) D ) A Sabendo que: π.. V πc V k π.. Vk π Vc π Vc. V k Vk π Como 0 V k, temos que: 0 Vk 0 V k 8) D one π.. V piâmide.. π.. Vc π V p.. ) 0. Coeta. cilindo cone Do enunciado tiamos a seguinte elação: VM. V 7 V V m 7 V M VM 6 6 m 6) 0 V π.k. ( +. + ) V 0 π ( ) V 0 π 7) 6 vezes Capacidade total do aquáio: V cm V pacial V 8. 0 cm. Capacidade do cone: π.. π. 00. c 00 π Volume despejado po vez: V d 00. π π Q 6 600π π. m 0) C Áea do cilindo: A cilindo π.. π., pois. Áea do cone: A cone π.. g π., pois g. 0. Coeta. A T + A b Como π. 6π, temos que. A T. π π A T. 6. π π 0 0. Eada. Do deseno acima temos que: e ( ) 08. Coeta. ilindo Vcone π.. π.. cilindo cone 6. Eada. one V ilindo cilindo Vcone g 6 Sejam P M e P m as piâmides de aesta cm e cm, espectivamente. A azão ente as aestas de P po P vale: P PM Potanto, a azão ente seus volumes V M e V m vale: V VM m m 6 0 Matemática D

11 Do enunciado temos que: V M V m V M 6. V V 0 M M V A. b 0, então: 0 cm ) E ) A A Os aios dos acos de cicunfeência que devem se demacados são AB eac. DB AB EC AC AB 0 e AC A áea lateal total é dada pela áea lateal do cilindo mais a áea lateal do cone mais a áea da base do cilindo. π + πg + π em que g + π + π + π π( + π) ) 0. Vedadeia. Po semelança, sabendo que é a altua do cone meno que foma o cone eto seccionado, temos: ( ) 6 0. Vedadeia. Como G é a geatiz do cone seccionado temos, po Pitágoas: G G 0 m g B 0 C ) E ) C 08. Falso. V π cone Vcilindo Vcone ( ) V. cilindo + +. ( +. + ) π Vedadeia. O volume do funil é dado po: V f π ( + + ) + π. V f 7π + π π O volume é a soma do volume dos cones, cuja geatiz é igual ao lado do quadado. V ( π. ) em que, e + + Potanto, V. π.. 8π. Do enunciado temos que: e g Potanto, V π.. V π. v. v. 6) dias Volume do cilindo: V C π V C 60 cm Volume do tonco: π. ( ) cm Volume do esevatóio: V V C + V 00 cm V,0 L O volume de 6 esevatóios é: V 6 6.,0 8, L 8, N N dias 6, 0. Falso. π. g( + ) π. 0. ( + ) π. 0 Matemática D

12 7) A 8) D ) D O volume do tonco é: π. k( +. + ), em que: π. ( + + ) V π T Po semelança de tiângulos, é possível enconta a altua do cone meno etiado pela boca. 6 cm Potanto, a altua do cilindo vale cm e k 8 6 cm. Volume da peça final: V f π.k ( +. + ) π. k V f 6 ( π ) π V f π 6π 6π cm Pincipalmente, calcula-se o volume do tonco de piâmide e do conduto. ( ) em que 7 6 ( ) 7 e Assim, temos que: ,6 60) A Da figua podemos afima que a altua do tiângulo é igual ao aio do cone fomado, e que a base do tiângulo é igual a altua do cone. Então, pimeiamente vamos calcula o valo do aio: A Δ b. S l. S S l Agoa calculando o volume do cone, temos: V π.. S π.. l l V S π.. l V l V πs. l V πs l 6) S E π² A Tc π² + π; A Tc π( + ) aio da esfea aio do cilindo. 0. Falsa. π² π( + ) + 0. Vedadeio. S E π ( π ) ALc π π 0. Vedadeio. 6 V π². ( ) V π³ V π. 6³ 6π cm > 600 cm 08. Vedadeia. V π π Ve c π. π > 6. Falsa. Pois D ( ) D. Matemática D

13 6) D 6) C O volume da esfea é dado po V π³ ou V π. D Se o diâmeto aumenta em %: V' π. 0, D V',000. π D Ou seja, o aumento é de,00%. Volume lata: V L 00 m 00 cm³, pois m cm³ Volume 60 bolas: V B 60. π³ 60.. (,). ()³ V B, cm³ Volume água: V A V L V B 00, 8,8 cm³ 6) D C 60 cm π π 0 π. V G π. 0 π π. π π 6) D nm m 0 m D 0,7 nm 0, nm 0,. 0 m A π²; π A. (). (0,. 0 )² A, m 66) Apoximadamente 0,76 cm. V 67) C π. 0, ,76 cm π E : V π e A π E : V π e A π π V 6 V π 6 Assim: A π A π ² 6 68) D 6 ilindo π². π V água 70%. ilindo 0,7. π,π V gelo. π. ³,7π V água estante 0,. V gelo 0,.,7π 8,π V final V água + V água estante V final,π + 8,π 7,8π Altua água copo: /π. ². 7,8/π 7, 8 0,8 cm 6 Distância até supefície: D 0,8, cm cm : vaiação do nível da água V o : volume do ovo V: volume do cilindo de altua 6) E a³ V e π³ π³ a³ π a 0 cm V o 60 cm³ V π². π. Como a densidade do ovo de 0, g/cm³ é meno que a densidade da água de g/cm³, o ovo fica pacialmente submeso. Assim: V 0,V o S e π² S e π. π.. a². π 6π π. ( π) π π π a π.. a² ( π ). a² 6π. a² Matemática D

14 70) A 7) a) π /6. b) π ( + ). one + V semiesfea ilindo V semiesfea π.. +. π. ³ π. ². π. ³ π. ². +. π. ³. π. ².. π. ³ π.. ( + ) π.. ( ) + B / O A 7) B V e π³ π. ³ π 7) E 7) A 7) E π. ². π. ². 0 60π Vc 60 π V π. 60 π e π V deamado. V, pois apenas metade da esfea fica esfea submesa. V D. V E. π³. π. ³ 6 6 π. 0² π V e π. ³ π Vc 600 π V π 0 e V e πa³ a³ πa VE V a C πa³. a π π 8π Como, temos. No tiângulo ABO, etângulo em B, temos: ² + ² ² ² π. a) alota π. ( ). ( ) π ilindo π. ². π. π Assim: V Anel V Esfea. V Calota V Cilindo V Anel π³. π π π 6 b) A calota π.. π.. π² ateal cilindo π.. π.. π² Sendo A a áea sobe a qual seá aplicado veniz, temos: A A esfea A calota + A lateal cilindo A π² π² + π² π ( + ) Matemática D

15 76) 0,66 m 77) C A 0, O P O,, A 8 B Piscina AP 0, m BP, m B Aplicando o teoema de Pitágoas no tiângulo etângulo APB, temos: AB AP + BP AB 0, +, AB 0, +, AB,6 AB, 78) A 7) C 80) C Aplicando o teoema de Pitágoas no tiângulo etângulo OAB, temos: 8² ² + ² ² 8. A Fuso πα 0 π π m² V Cuna πα 70 π.. 6,6π m³ 70 Aplicando novamente o teoema de Pitágoas, agoa nos tiângulos etângulos AOP e POB, temos: 0, + 0, () I, + (, ) () II Substituindo (I) em (II), temos:,,,6 0, Logo, ² 0, (0,)² 0,6. A 60 Assim: A C π. ² (,). (0,6)² A C 0,66 m² B 60 C De A paa B (0 a 60 de latitude) C AB. π.. α. π km De B paa C ( a 0 de longitude) Cálculo : cos π. 00. C BC 00 km 60 Distância pecoida pelo navio: km Matemática D

16 8) C π a π 8 S n V e n? π 6 π³ π³ a n a + (n ). a n π π + (n ). 8 S n ( a a ) + n. n π π π + + ( n ). π³ 8 8. n. π n +. π. n n +. n. Multiplicando ambos os membos da equação po, temos: ( + n ). n 60 (n + ). n 60 n 6 n 0 (não seve!) Logo, n 6. 6 Matemática D