O Paradoxo de Bertrand para um Experimento Probabilístico Geométrico

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1 O Paadoxo de etand paa um Expeimento Pobabilístico Geomético maildo de Vicente 1 1 Colegiado do Cuso de Matemática Cento de Ciências Exatas e Tecnológicas da Univesidade Estadual do Oeste do Paaná Caixa Postal Cascavel PR asil amaildo@unioeste.b Resumo. Este tabalho apesenta uma discussão sobe um poblema poposto po um matemático fancês, Joseph etand, conhecido como paadoxo de etand. O poblema consiste em obte a pobabilidade paa que uma coda geada aleatoiamente em um cículo de aio = 1 tenha um compimento C 3. Paa este poblema, tês possíveis soluções distintas são apesentadas, o que a pincípio paece contaditóio. Todavia, o que se pocua esclaece é que tais soluções sugem po causa das difeentes intepetações feitas sobe o poblema. Palavas chaves. expeimento geomético, paadoxo de etand, pobabilidade. 1. Intodução o se analisa um expeimento paa poduzi entes geométicos de foma andômica, a intepetação da palava andômica pode conduzi a difeentes soluções, quando a assunto é pobabilidade. etand apesentou em 1907 um poblema que compova esta afimação [LRSON, OLDONI, 1981]. O poblema que ele popôs consiste em detemina a pobabilidade de que uma coda andômica de um cículo de aio unitáio tenha um compimento C maio ou igual a 3. Este valo equivale às medidas dos lados de um tiângulo equiláteo inscito no cículo citado, confome pode se visto na Figua 1 a segui. Emboa este poblema paeça a pincípio apenas um queba-cabeça matemático, ele tem divesas aplicações úteis. Em um contexto ubano, a cicunfeência do cículo pode se intepetada como o luga geomético dos pontos po onde um helicópteo pode voa em um deteminado espaço de tempo; o cículo pode se visto como a egião de alta poluição geada po uma indústia; a coda pode epesenta uas, estadas, edes de esgoto, ios, linhas de comunicação, estadas de feo e assim po diante. exigência de que a coda tenha pelo menos 3 unidades de compimento pode se efei ao compimento mínimo de um techo da linha féea que é apopiado como

2 amostagem paa que se faça uma vistoia; pode epesenta a extensão do efeito da poluição geada pela fábica, etc. 3 =1 2. nálise do poblema Figua 1 É possível apesenta tês soluções aceitáveis paa que se atenda aos popósitos do poblema, confome as análises feitas a segui nálise da coda po meio de suas extemidades sobe a cicunfeência Qualque coda pode se unicamente deteminada pela inteseção de seus pontos teminais com a cicunfeência. Suponhamos que, paa gea a coda, seja pimeiamente poduzido um deles, que seá chamado oigem e denotado po, e depois o outo, que seá denominado de extemidade e denotado po. Suponhamos que estes pontos sejam geados de foma aleatóia e unifomemente distibuídos sobe a cicunfeência. Suponhamos que, ao gea uma coda, um dos vétices de um tiângulo equiláteo inscito no cículo esteja no ponto (ve Figua 2). Oigem da 3 Extemidade Figua 2 Paa que esta coda tenha um compimento mínimo de 3 unidades de compimento, o ponto deve cai no aco que liga os outos dois vétices do tiângulo. Este aco equivale à teça pate da cicunfeência. ssim, a pobabilidade de que isso ocoa é 1/3.

3 2.2. nálise da coda po meio do ponto de inteseção com uma eta fixada, passando pela oigem do cículo O compimento de qualque coda depende de sua distância ao cento do cículo e não de sua dieção. Podemos potanto assumi que elas seão geadas pependiculamente a uma eta fixada, passando pelo cento do cículo. É clao então paa gea codas andômicas basta gea seus pontos de inteseção com a eta citada. Vamos assumi que estes pontos sejam geados de maneia unifome em [0, 1]. Paa uma coda te um compimento mínimo de 3 unidades de compimento, a distância do ponto de inteseção desta coda com a eta até o cento do cículo deve se meno ou igual a 1/2, que é a metade do aio. Deste modo, a pobabilidade de que isto ocoa é 1/2. Coda pependicula à eta 3 Reta Figua nálise da coda po meio do ponto de inteseção com uma linha qualque pependicula à cicunfeência, passando pelo cento do cículo Qualque coda é unicamente deteminada pelo seu ponto de inteseção com uma linha pependicula que passa pelo cento do cículo. Suponhamos que estes pontos de inteseção sejam geados de modo unifome em todo o cículo (ve Figua 4). Linha pependicula passando pelo cento 3 Ponto de inteseção Figua 4 ssim, a pobabilidade p de que esta inteseção esteja a uma distância do cento do cículo é dada pelo quociente ente a áea do cículo de aio e a áea do cículo de

4 aio 1, ou seja, p = ² = ². Paa que a coda tenha compimento mínimo 1² 3, seu ponto de inteseção com a eta deve esta em um cicunfeência de aio = 1/2 e a pobabilidade de que isso ocoa é ² = 1/4. 3. Uma visão mais fomal do poblema É impotante fisa que as tês soluções estão coetas, mas os expeimentos analisados em caso são distintos. Um expeimento é caateizado pelo espaço amostal poduzido e pela distibuição de pobabilidade associada a este expeimento. No caso em estudo, ve seção 1, cada segmento (coda) tem oigem em, o pimeio ponto escolhido ou geado, e extemidade em, o segundo ponto geado. Seja um sistema otogonal xoy fixado e θ, 0 θ 2π, a medida do ângulo ente o eixo x positivo e uma coda geada, sendo a oigem do sistema posicionado no ponto (Figua 5). Coda geada y O θ x Figua 5 Sendo a distância da coda geada até o cento do cículo, 0 1, então qualque uma delas fica unicamente deteminada quanto conhecemos e θ. ssim, o espaço amostal E paa os tês casos analisados é o conjunto de todos pontos do etângulo E = [0, 1]x[0, 2π], ve Figua /2 Evento que coespondente ao compimento da coda maio ou igual a 3 2 π θ Figua 6 Uma vez que tal espaço amostal é único, o que difee são as funções de distibuição de pobabilidade (fdp) paa cada expeimento. Paa eanalisa cada caso, sejam R e Θ duas vaiáveis aleatóias que assumem valoes e θ, espectivamente. Seja f R, Θ (, θ) a

5 fdp conjunta de R e Θ sobe o espaçao amostal E. Devido à simetia da cicunfeência, pode-se conclui sem maioes dificuldades que Θ é unifomemente distibuída ente em [0, 2π]. lém disso, conhece o valo de Θ não ajuda em nada a descobi o valo de R, o que pemite conclui que R e Θ são vaiáveis aleatóias independentes, [USS, MORETTIN, 2001]. Deste modo, a fdp conjunta f R, Θ (, θ) pode se expessa como um poduto das funções de densidade de pobabilidades individuais maginais de R e Θ, isto é, f R,, = f R f = 1 2 f R. O último membo da igualdade se deve ao fato de Θ se unifomemente distibuída em [0, 2π]. póxima taefa consiste em enconta a fdp maginal paa R. Ela é difeente paa cada um dos tês expeimentos Pimeio caso (nálise da coda po meio de suas extemidades sobe a cicunfeência) Notemos que paa o compimento de uma coda se andômico, basta que apenas uma das extemidades seja geada de foma aleatóia. Deste modo, vamos fixa uma das extemidades,, sobe um deteminado ponto da cicunfeência, e poduzi a outa,, de foma aleatóia, e unifomemente distibuída sobe a cicunfeência, ve Figua 6. Coda geada Figua 7 Sejam e os pontos de inteseção da coda com a cicunfeência e φ, 0 φ π, a medida do ângulo Ô, onde O é o cento do cículo. Sejam ainda, a distância da coda até o cento do cículo, e Φ uma vaiável aleatóia que assume valoes φ. Note-se que 0 φ π 0 φ/2 π/2. lém disso, Φ é uma vaiável aleatóia cujos valoes são unifomemente distibuídos em [0, π]. Paa encontamos a fdp de R, analisemos o seguinte: = cos (φ /2) φ /2 = cos -1. Daí, f R () P(R ) = P(cos (φ /2) ) = P(φ /2 cos -1 ). invesão do sinal da última desigualdade se deve ao fato de que cos -1 é decescente. Da última igualdade temos:

6 f R () 1 P(φ /2 cos -1 ) = P(φ 2 cos -1 ) = 1 - F Φ ( 2 cos -1 ), onde F Φ () é a função de pobabilidade acumulada (fda) de Φ. Como Φ é unifomemente distibuída em [0, π], então sua fda é dada po F ={ 1 se 0 0 em caso contáio ssim, sendo F R () a fda de R, então F R () = 1-0 2cos 1 d =1 2 cos 1. goa, deivando em elação a obtemos a fdp de R, isto é, 2 f R = Logo, a fdp conjunta paa R e Φ sobe o espaço amostal citado é f R,, = = , 0. pobabilidade p de que uma coda andômica exceda 3 unidades de compimento é igual à integal de f R,Φ (, θ) no espaço amostal E coespondendo ao evento R 1/2. ssim, 2 1/2 1 p = P coda 3 = 0 0 d d =1/3, confome já havia sido apesentado na seção 1. Nota: Este esultado pode se obtido de modo mais simples dietamente da fda de R, isto é, p = F R 1 2 =1 2 cos Segundo caso (nálise da coda po meio do ponto de inteseção com uma eta fixada, passando pela oigem do cículo) Neste caso R é unifomemente distibuída em [0, 1]. ssim, Daí, f R = { 1 se em caso contáio f R,, = 1 2 Deste modo, 0 1, /2 1 p = P coda 3 = 0 0 d d =1/ 2. 2

7 Este esultado coincide com aquele apesentado na seção 2 e pode se obtido dietamente da fda de R, isto é, p = F R (1/2) Teceio caso (nálise da coda po meio do ponto de inteseção com uma linha qualque pependicula à cicunfeência, passando pelo cento do cículo). Neste caso, os pontos de inteseção das codas geadas com uma eta pependicula passando pelo cento do cículo são unifomemente distibuídos sobe o cículo. ssim, F R = P R = Logo, F R = d d F R = 2. Áea do cículode aio Áea do cículode aio1 = 2. Daí, a fdp conjunta de R e Θ sobe o espaço amostal E é f R,, = 2 2 =,0 1,0 2. Potanto, P coda 3 = P R 1 2 = / 2 dd = Conclusão unicidade da solução de um poblema é um fato impotante quando o assunto é matemática. Po este motivo, quando se fala em um expeimento pobabilístico envolvendo elementos geométicos, é peciso te cuidado com a análise dos esultados obtidos neste expeimento pois eles podem depende de sua intepetação. 5. Refeências ibliogáficas USS, W. O.; MORETTIN, P.. Estatística ásica, 5a. Edição, Editoa tual, p. LRSON, R. C.; OLDONI,. R. Ubans Opeations Reseach. Pentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jesey, p.