O Paradoxo de Bertrand para um Experimento Probabilístico Geométrico

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1 O Paadoxo de etand paa um Expeimento Pobabilístico Geomético maildo de Vicente 1 1 Colegiado do Cuso de Matemática Cento de Ciências Exatas e Tecnológicas da Univesidade Estadual do Oeste do Paaná Caixa Postal Cascavel PR asil Resumo. Este tabalho apesenta uma discussão sobe um poblema poposto po um matemático fancês, Joseph etand, conhecido como paadoxo de etand. O poblema consiste em obte a pobabilidade paa que uma coda geada aleatoiamente em um cículo de aio = 1 tenha um compimento C 3. Paa este poblema, tês possíveis soluções distintas são apesentadas, o que a pincípio paece contaditóio. Todavia, o que se pocua esclaece é que tais soluções sugem po causa das difeentes intepetações feitas sobe o poblema. Palavas chaves. expeimento geomético, paadoxo de etand, pobabilidade. 1. Intodução o se analisa um expeimento paa poduzi entes geométicos de foma andômica, a intepetação da palava andômica pode conduzi a difeentes soluções, quando a assunto é pobabilidade. etand apesentou em 1907 um poblema que compova esta afimação [LRSON, OLDONI, 1981]. O poblema que ele popôs consiste em detemina a pobabilidade de que uma coda andômica de um cículo de aio unitáio tenha um compimento C maio ou igual a 3. Este valo equivale às medidas dos lados de um tiângulo equiláteo inscito no cículo citado, confome pode se visto na Figua 1 a segui. Emboa este poblema paeça a pincípio apenas um queba-cabeça matemático, ele tem divesas aplicações úteis. Em um contexto ubano, a cicunfeência do cículo pode se intepetada como o luga geomético dos pontos po onde um helicópteo pode voa em um deteminado espaço de tempo; o cículo pode se visto como a egião de alta poluição geada po uma indústia; a coda pode epesenta uas, estadas, edes de esgoto, ios, linhas de comunicação, estadas de feo e assim po diante. exigência de que a coda tenha pelo menos 3 unidades de compimento pode se efei ao compimento mínimo de um techo da linha féea que é apopiado como

2 amostagem paa que se faça uma vistoia; pode epesenta a extensão do efeito da poluição geada pela fábica, etc. 3 =1 2. nálise do poblema Figua 1 É possível apesenta tês soluções aceitáveis paa que se atenda aos popósitos do poblema, confome as análises feitas a segui nálise da coda po meio de suas extemidades sobe a cicunfeência Qualque coda pode se unicamente deteminada pela inteseção de seus pontos teminais com a cicunfeência. Suponhamos que, paa gea a coda, seja pimeiamente poduzido um deles, que seá chamado oigem e denotado po, e depois o outo, que seá denominado de extemidade e denotado po. Suponhamos que estes pontos sejam geados de foma aleatóia e unifomemente distibuídos sobe a cicunfeência. Suponhamos que, ao gea uma coda, um dos vétices de um tiângulo equiláteo inscito no cículo esteja no ponto (ve Figua 2). Oigem da 3 Extemidade Figua 2 Paa que esta coda tenha um compimento mínimo de 3 unidades de compimento, o ponto deve cai no aco que liga os outos dois vétices do tiângulo. Este aco equivale à teça pate da cicunfeência. ssim, a pobabilidade de que isso ocoa é 1/3.

3 2.2. nálise da coda po meio do ponto de inteseção com uma eta fixada, passando pela oigem do cículo O compimento de qualque coda depende de sua distância ao cento do cículo e não de sua dieção. Podemos potanto assumi que elas seão geadas pependiculamente a uma eta fixada, passando pelo cento do cículo. É clao então paa gea codas andômicas basta gea seus pontos de inteseção com a eta citada. Vamos assumi que estes pontos sejam geados de maneia unifome em [0, 1]. Paa uma coda te um compimento mínimo de 3 unidades de compimento, a distância do ponto de inteseção desta coda com a eta até o cento do cículo deve se meno ou igual a 1/2, que é a metade do aio. Deste modo, a pobabilidade de que isto ocoa é 1/2. Coda pependicula à eta 3 Reta Figua nálise da coda po meio do ponto de inteseção com uma linha qualque pependicula à cicunfeência, passando pelo cento do cículo Qualque coda é unicamente deteminada pelo seu ponto de inteseção com uma linha pependicula que passa pelo cento do cículo. Suponhamos que estes pontos de inteseção sejam geados de modo unifome em todo o cículo (ve Figua 4). Linha pependicula passando pelo cento 3 Ponto de inteseção Figua 4 ssim, a pobabilidade p de que esta inteseção esteja a uma distância do cento do cículo é dada pelo quociente ente a áea do cículo de aio e a áea do cículo de

4 aio 1, ou seja, p = ² = ². Paa que a coda tenha compimento mínimo 1² 3, seu ponto de inteseção com a eta deve esta em um cicunfeência de aio = 1/2 e a pobabilidade de que isso ocoa é ² = 1/4. 3. Uma visão mais fomal do poblema É impotante fisa que as tês soluções estão coetas, mas os expeimentos analisados em caso são distintos. Um expeimento é caateizado pelo espaço amostal poduzido e pela distibuição de pobabilidade associada a este expeimento. No caso em estudo, ve seção 1, cada segmento (coda) tem oigem em, o pimeio ponto escolhido ou geado, e extemidade em, o segundo ponto geado. Seja um sistema otogonal xoy fixado e θ, 0 θ 2π, a medida do ângulo ente o eixo x positivo e uma coda geada, sendo a oigem do sistema posicionado no ponto (Figua 5). Coda geada y O θ x Figua 5 Sendo a distância da coda geada até o cento do cículo, 0 1, então qualque uma delas fica unicamente deteminada quanto conhecemos e θ. ssim, o espaço amostal E paa os tês casos analisados é o conjunto de todos pontos do etângulo E = [0, 1]x[0, 2π], ve Figua /2 Evento que coespondente ao compimento da coda maio ou igual a 3 2 π θ Figua 6 Uma vez que tal espaço amostal é único, o que difee são as funções de distibuição de pobabilidade (fdp) paa cada expeimento. Paa eanalisa cada caso, sejam R e Θ duas vaiáveis aleatóias que assumem valoes e θ, espectivamente. Seja f R, Θ (, θ) a

5 fdp conjunta de R e Θ sobe o espaçao amostal E. Devido à simetia da cicunfeência, pode-se conclui sem maioes dificuldades que Θ é unifomemente distibuída ente em [0, 2π]. lém disso, conhece o valo de Θ não ajuda em nada a descobi o valo de R, o que pemite conclui que R e Θ são vaiáveis aleatóias independentes, [USS, MORETTIN, 2001]. Deste modo, a fdp conjunta f R, Θ (, θ) pode se expessa como um poduto das funções de densidade de pobabilidades individuais maginais de R e Θ, isto é, f R,, = f R f = 1 2 f R. O último membo da igualdade se deve ao fato de Θ se unifomemente distibuída em [0, 2π]. póxima taefa consiste em enconta a fdp maginal paa R. Ela é difeente paa cada um dos tês expeimentos Pimeio caso (nálise da coda po meio de suas extemidades sobe a cicunfeência) Notemos que paa o compimento de uma coda se andômico, basta que apenas uma das extemidades seja geada de foma aleatóia. Deste modo, vamos fixa uma das extemidades,, sobe um deteminado ponto da cicunfeência, e poduzi a outa,, de foma aleatóia, e unifomemente distibuída sobe a cicunfeência, ve Figua 6. Coda geada Figua 7 Sejam e os pontos de inteseção da coda com a cicunfeência e φ, 0 φ π, a medida do ângulo Ô, onde O é o cento do cículo. Sejam ainda, a distância da coda até o cento do cículo, e Φ uma vaiável aleatóia que assume valoes φ. Note-se que 0 φ π 0 φ/2 π/2. lém disso, Φ é uma vaiável aleatóia cujos valoes são unifomemente distibuídos em [0, π]. Paa encontamos a fdp de R, analisemos o seguinte: = cos (φ /2) φ /2 = cos -1. Daí, f R () P(R ) = P(cos (φ /2) ) = P(φ /2 cos -1 ). invesão do sinal da última desigualdade se deve ao fato de que cos -1 é decescente. Da última igualdade temos:

6 f R () 1 P(φ /2 cos -1 ) = P(φ 2 cos -1 ) = 1 - F Φ ( 2 cos -1 ), onde F Φ () é a função de pobabilidade acumulada (fda) de Φ. Como Φ é unifomemente distibuída em [0, π], então sua fda é dada po F ={ 1 se 0 0 em caso contáio ssim, sendo F R () a fda de R, então F R () = 1-0 2cos 1 d =1 2 cos 1. goa, deivando em elação a obtemos a fdp de R, isto é, 2 f R = Logo, a fdp conjunta paa R e Φ sobe o espaço amostal citado é f R,, = = , 0. pobabilidade p de que uma coda andômica exceda 3 unidades de compimento é igual à integal de f R,Φ (, θ) no espaço amostal E coespondendo ao evento R 1/2. ssim, 2 1/2 1 p = P coda 3 = 0 0 d d =1/3, confome já havia sido apesentado na seção 1. Nota: Este esultado pode se obtido de modo mais simples dietamente da fda de R, isto é, p = F R 1 2 =1 2 cos Segundo caso (nálise da coda po meio do ponto de inteseção com uma eta fixada, passando pela oigem do cículo) Neste caso R é unifomemente distibuída em [0, 1]. ssim, Daí, f R = { 1 se em caso contáio f R,, = 1 2 Deste modo, 0 1, /2 1 p = P coda 3 = 0 0 d d =1/ 2. 2

7 Este esultado coincide com aquele apesentado na seção 2 e pode se obtido dietamente da fda de R, isto é, p = F R (1/2) Teceio caso (nálise da coda po meio do ponto de inteseção com uma linha qualque pependicula à cicunfeência, passando pelo cento do cículo). Neste caso, os pontos de inteseção das codas geadas com uma eta pependicula passando pelo cento do cículo são unifomemente distibuídos sobe o cículo. ssim, F R = P R = Logo, F R = d d F R = 2. Áea do cículode aio Áea do cículode aio1 = 2. Daí, a fdp conjunta de R e Θ sobe o espaço amostal E é f R,, = 2 2 =,0 1,0 2. Potanto, P coda 3 = P R 1 2 = / 2 dd = Conclusão unicidade da solução de um poblema é um fato impotante quando o assunto é matemática. Po este motivo, quando se fala em um expeimento pobabilístico envolvendo elementos geométicos, é peciso te cuidado com a análise dos esultados obtidos neste expeimento pois eles podem depende de sua intepetação. 5. Refeências ibliogáficas USS, W. O.; MORETTIN, P.. Estatística ásica, 5a. Edição, Editoa tual, p. LRSON, R. C.; OLDONI,. R. Ubans Opeations Reseach. Pentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jesey, p.

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