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2 Matemática aula F eteminando a natueza do tiângulo F: 1 = < (é um tiângulo acutângulo) = omo o tiângulo ÊF é acutângulo, o ângulo ÊF é agudo. eecícios 1. (nem-m) Na figua abaio, que epesenta o pojeto de uma escada com degaus de mesma altua, o compimento total do coimão é igual a: 0 cm 90 cm cm cm cm 90 cm oimão 0 cm cm cm 10 cm = = 10 cm = 1, m compimento total do coimão seá: 0, m + 1, m + 0, m =,1 m cm cm cm cm cm 90 cm a) 1,8 m b) 1,9 m c),0 m d),1 m e), m. (Fuvest-S) Um lenhado empilhou toncos de madeia num caminhão de lagua, m, confome a figua abaio. ada tonco é um cilindo eto, cujo aio da base mede 0, m. Logo, a altua h, em metos, é: Sejam, e os centos das bases dos toncos cilíndicos altua h seá: h = 0, + + 0, = 1 + h 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, h 1 = + 0, 1= + = = h = 1+, m, m 1- a) 1+ b) 1+ c) 1+ d) 1+ e) 1+ 6 polisabe

3 aula Matemática. (Unicamp-S) figua abaio eibe tês cículos no plano, tangentes dois a dois, com centos em, e, e aios de compimentos a, b e c, espectivamente. a) etemine os valoes de a, b e c, sabendo que a distância ente e é de cm, a distância ente e é de 6 cm e a distância ente e é de 9 cm. a b a b c c a+ b= (i) a+ c= 6(ii) b+ c= 9(iii) Fazendo (II) (III): a b = Somando com (I): a+ b= a = a = 1 a b= otanto, b = e c =. b) aa a = cm e b = cm, detemine o valo de c > b, de modo que o tiângulo de vétices em, e seja etângulo. Se c > b a hipotenusa do tiângulo-etângulo seá, assim: ( b+ c) =( a+ c) +( a+ b) (+ c) =( + c) +( + ) 9+ 6c+ c =+ c+ c + c= 0 c= 10. (efet-mg) Na figua, é o cento da cicunfeência, é o diâmeto e GF é a altua do tiângulo G. Sendo G = cm e G = cm, o segmento F mede, em centímetos: F G omo visto anteiomente, todo tiângulo que tem os tês vétices inscitos numa cicunfeência sendo dois deles etemidades do diâmeto é etângulo. ntão, o tiângulo G é etângulo em G, assim: F h G a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, e) 0,9 = + = Se é diâmeto e é o cento da cicunfeência, o aio () mede, cm. GF é a altua do tiângulo G em elação à base, assim, usando a elação mética: h = h =, cm Fazendo F = :, = +, = 6,,6 = 0,9 = 0, 1- polisabe

4 Matemática aula eecícios 1. (IF) No tiângulo da figua a segui, as medianas que patem de e de são pependiculaes. G G é o baicento do tiângulo. = ( ) + ( ) = + = ( + ) = + ( ) = + ( ) 16 = + 9 = + = = 0 = = + + = Se = 8 e = 6, então é igual a: a) 6 b) c) 1 d) e). (Mackenzie-S) Se, na figua, T é o incento do tiângulo MN, a medida do ângulo é: Se T é o incento do tiângulo MN e NT e T são bissetizes intenas: M M + + = 180 = 180 ( + ) 0 = + = 180 (0 ) = 80 T 0 o T 0 o N N a) b) 0 c) 60 d) 0 e) 80. (nem-m) m um sistema de dutos, tês canos iguais, de aio eteno 0 cm, são soldados ente si e colocados dento de um cano de aio maio, de medida R. aa posteiomente te fácil manutenção, é necessáio have uma distância de 10 cm ente os canos soldados e o cano de aio maio. ssa distância é gaantida po um espaçado de metal, confome a figua: R 10 m 0 cm 0 cm 60 cm R 10 m 0 cm R omo as cicunfeências dos canos menoes são conguentes, e estes estão se tangenciando a, ao ligamos os seus centos obtemos um tiângulo equiláteo. ponto é o aicento do tiângulo fomado. ssim, a medida equivale a da altua do tiângulo cujo lado seá 60 cm. 60 R= R= + 0 R= + 0 R = 0 1, + 0 R = 1- Utilize 1, como apoimação paa. valo de R, em centímetos, é igual a: a) 6,0 b) 6, c),0 d) 81,0 e) 91,0 1 polisabe

5 aula Matemática. (UFG-G) Gead Stenle Hawkins, matemático e físico, nos anos 1980, envolveu-se com o estudo dos misteiosos cículos que apaeceam em plantações na Inglatea. le veificou que cetos cículos seguiam o padão indicado na figua a segui, isto é, tês cículos conguentes, com centos nos vétices de um tiângulo equiláteo, tinham uma eta tangente comum. ponto é o aicento do tiângulo equiláteo, potanto R (aio da cicunfeência maio) vale da altua. omo as R cicunfeências tangenciam a mesma eta, obseva-se que a altua (h) do tiângulo equiláteo é, assim: R= h R= R = R = = Nestas condições, e consideando-se uma cicunfeência maio que passe pelos centos dos tês cículos conguentes, calcule a azão ente o aio da cicunfeência maio e o aio dos cículos menoes. studo oientado eecícios 1. Julgue as afimações a segui. a) s quato pontos notáveis de um tiângulo podem esta alinhados. b) s quato pontos notáveis de um tiângulo podem se coincidentes. c) Nem todos os pontos notáveis são obigatoiamente intenos ao tiângulo. d) Nenhum ponto notável pode esta no vétice do tiângulo. e) cicuncento equidista dos vétices do tiângulo.. (. Naval-RJ) nalise as afimativas a segui. I. Sejam a, b e c os lados de um tiângulo, com c. b > a. ode-se afima que c = a + b se, e somente se, o tiângulo fo etângulo. II. Se um tiângulo é etângulo, então as bissetizes intenas dos ângulos agudos fomam ente si um ângulo de ou 1. III. cento de um cículo cicunscito a um tiângulo-etângulo está sobe um dos catetos. IV. baicento de um tiângulo-etângulo é equidistante dos lados do tiângulo. ssinale a opção coeta. a) Somente I e II são vedadeias. b) Somente II e III são vedadeias. c) Somente I e IV são vedadeias. d) Somente I, II e IV são vedadeias. e) s afimativas I, II, III e IV são vedadeias. 1- polisabe 1

6 Matemática aula 6 eecícios 1. (Vunesp) m um plano hoizontal encontam-se epesentadas uma cicunfeência e as codas e. Nas condições apesentadas na figua, detemine o valo de. ( + ) = ( 1) + 6= 1 = valo de é (FGV-S) s codas e de uma cicunfeência de cento são, espectivamente, lados de polígonos egulaes de 6 e 10 lados inscitos nessa cicunfeência. Na mesma cicunfeência, as codas e se intesectam no ponto, confome indica a figua a segui: Se é lado de um polígono egula de 6 lados, o aco seá de 60 (60 : 6) e sendo lado de um polígono de 10 lados, teá um aco de 6 (60 : 10). 60º β 6º medida do ângulo ˆ, indicado na figua po, é igual a: a) 10 b) 1 c) 18 d) 10 e) 1 ângulo β é ecêntico inteio, então: b= a + β = 180 a + 8 = 180 a = b = (IT-S) Seja um ponto eteno a uma cicunfeência. s segmentos e inteceptam essa cicunfeência nos pontos e, e, e, espectivamente. coda F da cicunfeência intecepta o segmento no ponto G. Se =, =, =, G = e G = 6, então GF vale: a) 1 ponto G é o ponto de intesecção das codas F e, então: b) 6= = 6 c) o ponto, pate uma secante po e, e outa po e, assim: d) ( + ) = ( + + ) 60 = 8 + = 8 G e) 8 = = F polisabe

7 aula 6 Matemática. (Unifesp) Na figua, o segmento é pependicula à eta. Sabe-se que o ângulo Ô, com sendo um ponto da eta, seá máimo quando fo o ponto onde tangencia uma cicunfeência que passa po e. o se desenha a cicunfeência que passa po e e tangencia a eta = em, obsevamos que é o segmento tangente e a eta secante, assim: = 6, ( 6, + 6, ) = 6 = 8 m,6 X 6, Se epesenta uma estátua de,6 m sobe um pedestal de 6, m, a distância, paa que o ângulo Ô de visão da estátua seja máimo, é: a) 10 m b) 8, m c) 8 m d),8 m e),6 m studo oientado eecícios 1. (efet-mg) figua a segui mosta uma cicunfeência, em que os acos e são conguentes e medem 160 cada um. medida em gaus do ângulo é: a) 10 b) 0 c) 0 d) 0 1- polisabe

8 Matemática aula Seja o ponto onde as estadas e se cuzam. ponto epesenta a posição do posto. distância ente o posto e a odovia é epesentada po. km º sen = = = km eecícios 1. (nem-m) s toes ueta de uopa são duas toes inclinadas uma conta a outa, constuídas numa avenida de Madi, na spanha. inclinação das toes é de 1 com a vetical e elas têm, cada uma, uma altua de 11 m (a altua é indicada na figua como o segmento ). stas toes são um bom eemplo de um pisma oblíquo de base quadada e uma delas pode se obsevada na imagem. 1º 11 m tg 1 = = 11 0,6 = 9,6 m 11 omo a base é um quadado de lado, sua áea seá: = = (9,6) 88, m isponível em: < cesso em: ma Utilizando 0,6 como valo apoimado paa a tangente de 1 e duas casas decimais nas opeações, descobe-se que a áea da base desse pédio ocupa na avenida um espaço: a) meno que 100 m² b) ente 100 m² e 00 m² c) ente 00 m² e 00 m² d) ente 00 m² e 00 m² e) maio que 00 m² polisabe

9 aula Matemática. (Fuvest-S) Na figua, tem-se paalelo a, paalelo a, =, =, b =. Nessas condições, a distância do ponto ao segmento é igual a: β. (Unifesp) o azões técnicas, um amáio de altua, metos e lagua 1, meto está sendo deslocado po um coedo, de altua h metos, na posição mostada pela figua. 1, m, m a) alcule h paa o caso em que = 0. h Teto hão a) b) c) d) e) 60º º X º º sen60 = = = 0º, 1 sen 0 = = =,, cos 0 = = = 1, 1, = + = + = + h h h m 1, 0º. (Vunesp-) figua epesenta a vista supeio do tampo plano e hoizontal de uma mesa de bilha etangula, com caçapas em,, e. ponto, localizado em, epesenta a posição de uma bola de bilha, sendo = 1, m e = 1, m. pós uma tacada na bola, ela se desloca em linha eta colidindo com no ponto T, sendo a medida do ângulo T ˆ igual a 60. pós essa colisão, a bola segue, em tajetóia eta, dietamente até a caçapa. b) alcule h paa o caso em que = 1, meto. Se = 1, m 1, 1, T 60º Lagua do tampo da mesa 1, cos = cos = 1, Se cos = sen = (tiângulo-etângulo ) 1, m 1, m, Nas condições descitas e adotando = 1,, a lagua do tampo da mesa, em metos, é póima de: a), b),08 c),8 d),00 e),6 60º, m T 60º 1, m 1, m lagua do tampo da mesa está epesentada na figua ao lado po +. Supondo o choque da bola com o lado, pefeitamente elástico, os ângulos T ˆ e T ˆ são conguentes. 1, 1, tg 60 = = = 0, m,, tg 60 = = = 0,9 m sen a=, = =1, m, ntão: h= + h= 1, + 1, h =, m 1- lagua= + L = 0, + 0,9 L= 1, 1, L=, m polisabe