PROVA COMENTADA E RESOLVIDA PELOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO

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1 Vestibula AFA 010 Pova de Matemática COMENTÁRIO GERAL DOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO A pova de Matemática da AFA em 010 apesentou-se excessivamente algébica. Paa o equílibio que se espea nesta seleção, seia sensato que as geometias plana e mética espacial fossem mais exploadas. Outo aspecto que meece destaque é a pesença de questões com duas altenativas coetas e sem esposta. Isso cetamente pejudicou os alunos mais bem pepaados. Espea-se uma atenção maio po pate dos elaboadoes nos póximos concusos. Aceditamos no desempenho destacado dos alunos do Cuso Positivo uma vez que os assuntos exigidos na pova foam estudados exaustivamente em nossas aulas. Equipe de Matemática do Cuso Positivo QUESTÃO 1 a) Não é possível pesa Gabiel e João juntos, pois G + J = 4 < 60. b) Não é possível pesa Maia sozinha, pois M = 55 < 60. c) A difeença ente os pesos de Pedo e Maia é igual a 0 kg, igual ao peso de Gabiel. d) O peso de Maia e João juntos é igual a 77 kg, maio que o peso de Pedo. Resposta: B QUESTÃO Sendo P, M, G e J as massas, em kg, de Pedo, Maia, Gabiel e João, temos: P + M+ G = 150 (I) P + G+ J = 117 (II) M+ G+ J = 97 (III) P+ M+ G+ J = 17 (IV) Substituindo (I), (II) e (III) em (IV), temos: J = 17 J = M = 17 M = P = 17 P = 75 Substituindo em (IV) os valoes de J, M e P encontados, temos: G = 17 G = 0 1 MATEMÁTICA

2 Vestibula AFA 010 Pova de Matemática Paa detemina a quantidade necessáia de poltonas paa a fabicação dos tês modelos de aviões no ano de 009, basta multiplicamos as matizes 0 0 * A= eb= y , e somamos os 10 8 * * elementos da pimeia linha da matiz poduto, ou seja: A.B = = y 5 = y = y = y 180 = y 550 Assim, y = 80 y = 15 e a soma dos algaismos de y é igual a = 6. *0 + 0,5.0 = 0 **10 0,.10 = 8 Resposta: A x+ y z = 0 y+ z = 0 0 = 0 Assim, y = z e x +.( z) z = 0 x = z, ou seja, o sistema é homogêneo, indeteminado com solução geal dada pelo conjunto {(z; z; z}, z IR. x+ y z = 0 x+ y z = 0 * Se m =, S = x+ y z = 0 y z= 0. x + y z = y z = x+ y z = 0 y z= 0 Assim, o sistema é impossível. 0 = É falso que S é deteminado se, e somente se, m 0, pois paa m = o sistema é impossível. É falso que se S é homogêneo, x + y + z é múltiplo de, pois x + y + z = z que não múltiplo de paa todo eal z. Resposta: B e C QUESTÃO 4 QUESTÃO 1 1 Se 1 m = m m 0então, m 0em, ou 1 m seja, o sistema é possível e deteminado. x+ y z = 0 x+ y z = 0 * Se m = 0, S = x z= 0 y z = 0 x+ y = 0 y+ z = 0 Os lados do quadado cuja áea é igual a 150 medem 150 = 5. Sendo R a medida do aio da cicunfeência cicunscita ao quadado, temos: 5. =. R R = 5. Assim, 1 b = 5 b = 1 5, ou seja, b 1 1, 6 4. Obsevação: O enunciado afima que b IN*, o que não é vedade. Resposta: B MATEMÁTICA

3 Vestibula AFA 010 Pova de Matemática QUESTÃO 5 QUESTÃO 6 Sabe-se que P(0) = 0, P() = 0 e P(1) = 1. Além disso, sendo q(x) o quociente da divisão de P(x) po P(x) (x ).(x 1).x (x ).(x 1).x, temos: q(x) P(x) = (x ).(x 1).x.q(x)+R(x) Sendo R(x) = a.x + b.x +c, a, b, c IR, temos: P(0) = c = 0 P() = 4a + b + c = 0 P(1) = a + b + c = 1 4a + b = 0 1 a+ b = a = 1 eb = 1 Assim, R(x) = 1.x + x e as aízes de R(x) são tais que: R(x) = 0 1. x + x = 0 x = 0 ou x = Resposta: D Vamos detemina o ponto de intesecção das etas (s) e (t). x + y = 0 x = 8 x y = 0 7 e y = 7 A equação da eta é dada po: y 7 =m. x 8 7, onde m é o coeficiente angula da eta. m. x y 8 7. m 7 = 0 Qualque ponto da eta t é equidistante das etas e (s). Tomando po exemplo o ponto (; 0), petencente à eta (t), temos:.+ 0 = + 1 = 5 4 = m m 7 m m 7 m m 49.m m + 1 m + 1 = m 0 49.m m + 0.m + 44 = 0.m + 15.m + = 0 m = ou m = 11 m = : x + y = 0 (não convém) m = 11 : 11x + y 1 = 0 MATEMÁTICA

4 Vestibula AFA 010 Pova de Matemática a) O ponto de intesecção das etas e (t) também é o ponto 8 ; e, potanto < y < 0. 1 y b) Se x > 0, então x = > 0. Assim, existe 11 P(x; y) tal que x > 0 e y < 10. c) Se x > 8 1 y 8, então x = > y < y d) Se x < 0, então x = <0 y > 6. Assim, existe 11 P(x; y) tal que x < 0 e y > 0. Resposta: C e D QUESTÃO 7 a) Como 47, 1,44, o pecentual de aumento do ano, de 1995 paa o ano 000 foi supeio a 4%. b) Como 05, 0,11, a queda de cescimento do ano de 45, 005 paa o pecentual estimado no ano de 009 é apoximadamente igual a 88,9%, potanto, infeio a 90%. c) Como 47, 9,, a taxa de cescimento do ano de 7, 19,, 000 em elação ao ano de 1985 é difeente da taxa de cescimento do ano de 1990 em elação ao ano de d) O aumento absoluto do índice de cescimento de 1985 em elação ao de 1980 foi de,7 1,9 = 1,8 pontos pecentuais. Em temos elativos e consideando-se o índice em 1980, tal aumento coesponde a 18, 0,947 0,95 = 95%. 19, Obsevação: A afimação da altenativa (d) deveia te utilizado denominações apopiadas paa distingui aumentos absolutos e elativos. Resposta: C QUESTÃO 8 4 MATEMÁTICA

5 Vestibula AFA 010 Pova de Matemática V V A esfea 500 π. 1, = = = =5 + 9 π Assim, o espaço vago dento desse objeto é igual a 5π 5. 9 π = π cm. Se não consideamos as esfeas fundidas e sim ígidas, independentemente da disposição das esfeas no inteio do objeto A, é possível mosta que o volume não ocupado pelas esfeas é supeio a π. A geatiz de cada um dos cones que fomam o objeto A mede 15 cm. Sendo R a medida do aio comum às bases dos cones, temos: π π.π.15.π.r R = 5 cm Sendo H a medida da altua do cone, temos: 15 = 5 + H H = 10 cm. O volume do objeto A é igual a. 1. π = = 500 π cm. Sendo a medida do aio de cada esfea, temos: 4π. = 9π = cm. Consideando esfeas fundidas, o númeo máximo de esfeas é igual a 5, pois Considee uma esfea alocada na posição mais intena possível em elação a um dos cones que compõem o objeto A. Sendo h e x, espectivamente, as medidas da altua e do aio do cone cuja base tangencia essa esfea e, como = cm, po meio de duas semelhanças de tiângulos, temos: 5 h = + h = cm e x h = x = cm Assim, o volume dos dois cones que ficaão vazios é igual a:. 1.π.. = 9 π =,5π cm. 4 Sem Resposta 5 MATEMÁTICA

6 Vestibula AFA 010 Pova de Matemática QUESTÃO 9 QUESTÃO f =.g(b). + 1 =. b+1 4 =. b+1 = b. b = a) h(0) = g(0) + = + = 4 h(h(0)) = h(4) = g(4) + = + = 0 Assim, h o hohoho...oh (0) = 4, senéímpa 0, senéímpa nvezes p = log b p = b Assim, p = 1 < p < 0 p não está definido. Resposta: C QUESTÃO 1 b) y = h hh 1 = h(h(a)), onde < A < y = h(b), onde 1 < B < y = C, onde < C < c) (h o h o h) () = (h o h) (1) = h() = 1 (hohohoh)()=(hohoh)()=(hoh)()=h() = d) x = h hh = h(h(a)), onde < A < x = h(b), onde 1 < B < x = C, onde < C < Resposta: B f(x) = cos(4x) sen π 6x f(x) = cos(4x) cos(6x) f(x) =.sen(5x).sen(x) As aízes da função f são tais que: sen(5x) = 0 ou sen(x) = 0 Assim, 5x = k.π x = k. 5π, k Z ou x = k.π,k Z 6 MATEMÁTICA

7 Vestibula AFA 010 Pova de Matemática A epesentação geomética das aízes da função f é: b) Obsevando o gáfico da função f, temos que a imagem da função é o conjunto [ 1; ]. c) Se f(x) = 0, então 1+.sen(x) =0 sen(x) = ± 1. Assim, no intevalo [0; π] temos 4 soluções paa a equação sen(x) = 1 e 4 soluções paa a equação sen(x) = 1, totalizando 8 soluções. d) O peíodo da função f é π. Obseve agoa o gáfico da função g(x) =.f(x) = +..sen(x) Resposta: D QUESTÃO O peíodo da função g também é igual a π. Resposta: A f(x) = 1 +.sen(x) Obseve o gáfico da função f: QUESTÃO a) A função f é decescente paa todo x π π 4 ; e cescente paa todo x π π ; 4. Assim, é falso afima que f é decescente paa todo x π π ; MATEMÁTICA

8 Vestibula AFA 010 Pova de Matemática Na locadoa α o valo pago é dado po y = 50, independentemente do númeo de quilômetos odados po dia. Na locadoa β o valo pago é dado po y = 0 + 0,5.x, onde x é o númeo de quilômetos odados po dia. Na locadoa γ o valo pago é dado po y = 0 + 0,4.x, onde x é o númeo de quilômetos odados po dia. Paa que a locadoa α seja a mais vantajosa, devemos te: 0 + 0,5.x > 50 x > 60 e 0 + 0,4.x > 50 x > 50 Assim, o meno valo possível paa m é 60. Resposta: C QUESTÃO 4 Resposta: A QUESTÃO 5 Obsevando o gáfico, temos que h(x) > g(x) paa todo x eal. Assim, basta detemina os valoes de x em que g(x) > f(x). O gáfico da função g, definida po g(x) = a.x + b passa pelos pontos (1; 0) e (0; 1). Se consideamos D o maio subconjunto eal possível paa que a função esteja bem definida, ou seja, D = IR*. a) Vedadeia. A função f é pa, pois f( x) = 1 + log [( x) ] = 1 + log (x ) = f(x). b) Vedadeia. A função f é sobejetoa x D, pois se y IR e y = 1 + log (x ), então y 1 = log (x ) x = y 1 x=± y 1. Assim, paa todo y eal, existem dois valoes de x paa os quais f(x) = y. c) Falsa. A função f não é injetoa x D, pois como f( x) = f(x) x D, existem dois valoes distintos de x com a mesma imagem. d) Vedadeia.Se1 x 1 <x, então 1 x 1 <x e assim log (x 1 ) < log (x ) 1 + log (x 1 ) <1+log (x ) 8 MATEMÁTICA

9 Vestibula AFA 010 Pova de Matemática f(x 1 ) < f(x ). Potanto, a função f é cescente se x [1, + [. No entanto, se o conjunto D não fo IR*, podemos te váias possibilidades com elação à veacidade ou não das altenativas. Como uma função é composta pelo domínio, contadomínio e a lei que a define, entendemos que a falta da deteminação do domínio impede que possamos esponde à questão. Resposta: C QUESTÃO 7 QUESTÃO 6 Paa detemina os pontos de intesecção dessa cicunfeência com os eixos coodenados, basta substitui x e y po zeo. Sendo 1650 a média salaial após todos os saláios teem aumentado 10%, temos: Assim, os pontos A, B e A são, espectivamente, 0 0; e ( 1; 0). ( ; ),( ) Assim, o novo saláio do geente é igual a ,10 = 5500 eais. Resposta: D A áea do tiângulo A AB é igual a 1. = unidades de áea. Resposta: B 9 MATEMÁTICA

10 Vestibula AFA 010 Pova de Matemática QUESTÃO 8 Sendo F 1,F ef as alunas (sexo feminino), M 1,M em os alunos (sexo masculino), temos PC =( 1)!=!= maneias distintas de posiciona os alunos do sexo feminino. Paa cada um desses posicionamentos, temos P =! = 6 maneias distintas de posiciona os alunos do sexo masculino. Assim, o númeo total de maneias distintas de faze as escolhas e as disposições é igual a = 400. Resposta: C QUESTÃO 40 Resposta: A QUESTÃO 9 Se apenas A, B e C paticipam da competição, sendo p(a), p(b)ep(c), espectivamente, as pobabilidades de A, B e c venceem a pova, temos que: O númeo de maneias de escolhe alunos e alunas é igual a C 5.C6 = 10.0 = 00. Em seguida, dispomos os alunos em um cículo sem que alunos do mesmo sexo se posicionem lado a lado. a) Vedadeia. A pobabilidade de A ou B vence é igual a 0,4 + 0,4 = 0,8. b) Vedadeia. c) Vedadeia. A pobabilidade de B ou C vence é igual a 0,4 + 0, = 0,6. d) Falsa. A pobabilidade de C vence é igual a 0,. Resposta: D 10 MATEMÁTICA