Plano de Aulas. Matemática. Módulo 20 Corpos redondos

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1 Plano de Aulas Matemática Módulo 0 Copos edondos

2 Resolução dos execícios popostos Retomada dos conceitos 8 CAPÍTULO 1 1 No cilindo equiláteo, temos: ] 6 ] cm A lateal s ] A lateal s 6 ] ] A lateal.704s A total s( 1 ) ] ] A total s 6 (6 1 ) ] ] A total 4.06s Potanto: A lateal.704s cm e A total 4.06s cm. Eixo x x De acodo com o esquema, temos: b secção x x ] x 8 A secção b secção ] ] ] cm V cilindo s 10 ] V cilindo 00s cm A secção A base ] s ] s cm A lateal s 10 s ] A lateal 100s cm A total 100s 1 (s 10 ) ] ] A total (100s 1 00s) cm V s 10 s ] V 00s cm 4 ] A total A base 1 A lateal ] ] 0s (s ) 1 s ] ] 0s s 1 4 s ] 0s s 10 ] ] cm ] ] cm Assim: A lateal s ] A lateal 1s cm. 4 A s : áea de secção etangula A b : áea da base do cilindo A s A b ] ( 4) s ] s 8 cm Como também é a altua do cilindo, temos: V s s ] V 6s 8 8 cm 6 O volume do medicamento injetado coesponde ao volume de um cilindo em que o diâmeto da base é igual ao diâmeto do êmbolo da seinga, e a altua coesponde ao seu deslocamento. Como 6 ml coespondem a 6 cm ou mm, e o aio da base é igual a 10 mm, tem-se: V s ] s ] 60 s mm 7 a) x y 4 s y x ] 4 y y ] ] 9y 4 ] y 4 9 ] ] y dlll 7 ] y x y ] x ] x 9 Logo: x 9 cm e y cm. b) x y y x ] 40 6 y (y 1 10) ] ] 7 y 1 10y ] y 1 10y 7 0 ] ] y 1 ou y 1 (não convém) Logo: y cm e x 1 cm. 8

3 8 Sejam P e Q os pontos médios das faces do cubo que estão no eixo do cilindo. Temos que PQ dll. Note que as faces que contêm P e Q fomam ângulos de 4w com o eixo. Potanto, etia-se do cubo um sólido cujo volume é igual ao volume de um cilindo cicula eto de aio 1 e altua dll. Logo, o volume do cubo é: 4 s 1 dll ,8,1 Potanto, o inteio mais póximo do volume do cubo é. 9 e O sólido de evolução obtido é deteminado po dois cilindos que seão camados de cilindo exteno de aio igual a 4 e cilindo inteno de aio igual a. Ambos apesentam altua igual a 8. Veja o deseno. y =4 = A B A base cicula do bail B tem compimento igual a a, e, po meio dessa infomação, obtém- -se o valo do aio e posteiomente o volume, visto que a altua do bail B é a. C B s R B ] s R B a ] R B a s V B s (R B ) B ] V B a s # a ] ] V B a s Potanto, V A V B. CAPÍTULO 1 a s ] 10w 180w 10 ] g g ] g.600 ] g 0 cm 10 g 1 ] 0 10 ] ] dllll 800 ] 4 dll ] 0dll cm Logo, a altua do cone é 0dll cm. D C x O volume do sólido é calculado pela difeença ente o volume do cilindo exteno e o volume do cilindo inteno. V sólido V exteno V inteno ] ] V sólido s 4 8 s 8 ] ] V sólido 18s s ] V sólido 96s u.v. 10 a V gelo 9 ] V gelo 4 cm V gelo V água ; potanto: V água s ] 4 s ] 4 9s Tomando s 7,14, temos que 7 4 9,14 ] ] 7 8, cm. 11 a A base cicula do bail A tem compimento igual a a, e, po meio dessa infomação, obtém-se o valo do aio e posteiomente o volume, visto que a altua do bail A é a. C A s R A ] s R A a ] ] R A a s ] R A a s V A s (R A ) A ] V A a s # a ] V A a s V cone 1 s ] V cone 1 s 6 8 ] ] V cone s 1 8 ] V cone 96s cm a) 1 V 1 1 s 1 1 ] V 1 1 s 1 ] ] V 1 40s cm 1 V 1 s ] V 1 s 1 ] ] V 100s cm V 1 40s V 100s 40,4 40% 100 9

4 10 b) Paa o tiângulo etângulo de catetos que medem x e y, temos: V 1 1 sx y e V 1 sy x Potanto, V 1 1 sx y V 1 ] V 1 x. V sy x y 4 Como 1w s ad, temos: 4 g s 10 s ] g # 10 ] ] 9 ] 10 dlll V 1 s dlll ] V ds cm 9 a s ] 10w 180w ] g 9 ] 10w 9 180w ] ] cm g 1 ] 9 ] 7 ] ] dlll 7 ] 6dll cm A total s( 1 g) ] A total s ( 1 9) ] ] A total 6s cm V cone 1 s ] V cone 1 s 6dll ] ] V cone 18dll s cm 6 d O cilindo e o cone apesentam a mesma base e a mesma altua; potanto, o volume do cone é a teça pate do volume do cilindo. O tempo gasto paa ence o cone também seá a teça pate do tempo necessáio paa ence o cilindo. Duas oas e meia coespondem a 10 minutos, e a teça pate coesponde a 0 minutos. 7 c V cone 1 s V piâmide 1 b 8 b Como V cone V piâmide, temos que: 1 s 1 b ] s b ] b s ] b # s ] b dll s Supondo que o líquido no segundo ecipiente epesente um sólido convexo cuja supefície live seja um cículo de mesmo diâmeto que a boca, temos V 1, V, V, como visto na figua. 9 c O fomato da piscina pode se consideado uma das pates de um cilindo de aio 6 m e altua 1, m ao se dividido po uma de suas secções tansvesais. Dessa foma: V piscina s 6 1, ] V piscina,s m O volume de tea coesponde ao volume da piscina acescido de 0%; logo: V tea 1,,s, ou seja, V tea 7s m. A geatiz do cone eto foma 60w com a vetical, ou seja, com a altua; potanto: tg 60w ] ] dll, em que é o aio da base do cone e sua altua. Como o volume do cone equivale ao volume de tea, temos: V 1 s ] 7s 1 dll # ] ] 7 ] m 10 a) Volume da água no cilindo V 1 Como R, temos: V água # 16 ] ] V água ] ] V água 108 cm Volume da substância química no cone V V substância química s 7 ] ] V substância química 7 cm V

5 b) Ao seem mistuadas, a água e a substância química passam a ocupa um volume de 1 cm. A concentação da substância química é dada po 7 1; potanto, 0%. O novo volume ocupado no cilindo é de 1 cm e com ele podemos calcula a altua ocupada no cilindo: s R 1 # 1 ] ] = ] 0 A altua ocupada pela mistua no cilindo é de 0 cm. CAPÍTULO 16 cm g t (g t 8) 1 16 ] 8 cm ] g t g t 16g t ] ] g t 0 16 ] g t 0 cm g t g t g 8 4 Ilustando as condições do enunciado, temos: V t 1 Paa calcula a altua da peça ( t ), temos: 7 9 t t t 1 O B t 1 ] t 169 ] ] t dllll 144 ] t 1 cm O cm A t Então: V tonco do cone s t (R 1 R 1 ) ] ] V tonco do cone s 1 ( ) ] ] V tonco do cone 4s 77 ] ] V tonco do cone 1.108s cm V cilindo s ] V cilindo s 7 1 ] ] V cilindo 88s cm Logo: V peça V tonco do cone V cilindo ] ] V peça 1.108s 88s ] V peça 0s cm V tonco de cone s t (R 1 R 1 ) ] ] 0s t s ( 1 1 ) ] ] t 0 19 ] t m Como os tiângulos VOA e VOeB são semelantes, temos: 9 t 9 ] t 9 (I) V tonco de cone V cone maio V cone meno 1 V cone maio 1 s (9 t ) 1 1 s 9 ] ] t 9 7 (II) Resolvendo o sistema fomado pelas equações (I) e (II), temos: dll 9 cm e t 9 dll 9 cm Assim, a altua do cone meno, ou seja, a distância do vétice ao plano paalelo à base, é 9 t, que é igual a 9 dll 9 #, ou seja, dll 9 cm. 11

6 Raio 6 cm Raio R 6 d Sendo o aio da base do cone maio e x o aio da base do cone meno, temos: 18 cm A D B E 1 cm H Raio x C Figua 1 a) Na figua 1, o SABC é semelante ao SDEC; potanto, eles apesentam lados omólogos popocionais. Dessa foma: AB BC DE EC ] 6 18 R 1 ] R cm O volume na figua 1 é: V s 1 ] V 1s cm b) Sendo 7 9, temos: Figua V tonco de cone s t (R t 1 R t 1 ) ] ] 1s s # # ] Como os tiângulos acima são semelantes, temos que: Assim: x ] x ] x V cone maio s V cone meno 1 sx ] V cone meno 1 # ] ] V cone meno s ] Dessa foma: V s cone maio s V cone meno s s 1 7 c Considee R a medida do aio da base do cone maio e a medida do aio do cone meno. A elação ente eles é obtida po meio de semelança de tiângulos: ] 1s s # ] R 4 cm ] 1s s t 4 ] 1s 111s t ] 4 0 cm ] t ] t 7 4, 1 Potanto, o valo de H é de, apoximadamente, 18 4, 1, cm. R ] 16 R 0 ] 4 R

7 O volume (V c ) do copo é dado po: V c s R 0 ] V c 0 s R O volume (V e ) do tonco de cone (espuma) é dado po: V e s 4 (R 1 R 1 ) ] ] V e s R 1 R 4 R 4 R A azão ente os dois volumes é dada po: V 44 s R e 7 44 s R V c 0 s R 7 0 s R 44 0,488 48,8% c Sendo o aio da base do cone meno, temos: R x ] 8 x ] x 8 V cone meno V cone maio V cone maio sr ] V cone maio s 8 ] R ] V cone maio 4s cm x # # ] ] V e s R 1 4 R 1 16 R # ] ] V e s R 1 0 R 1 16 R # ] ] V e s 61 R # ] V e 44 s R 7 V cone meno 1 s x ] ] 1s 1 x 8 # x ] 1 x 64 ] ] x 6 ] x 4 dll 4 cm 9 Como o enunciado afima que os dois tanques têm a mesma capacidade, eles podem amazena a mesma quantidade de líquido, apesa de teem fomatos difeentes. Então, o volume do tanque cúbico, que é b, é igual ao volume do tanque em foma de cone, que é s b. Potanto, b s b ] b s (I). Os dois tanques estão ligados, o que significa que, na situação, age o pincípio dos vasos comunicantes. Dessa foma, a altua do nível de água nos dois tanques é a mesma. No instante em que a água atinge a altua nesse tanque, seu volume seá: V 1 () b. b b Paa detemina o volume do tanque cônico, no instante em que a água atinge a altua, é peciso descobi o volume de um tonco de cone. Ou seja: B A D x b- C E b b B D Cote do cone A x b- SABC 8 SADE, pois ABC e ABDE são etos e o ângulo  é comum. Assim: AB BC AD DE ] b b x ] x b b (II) V () seá igual à difeença ente o volume do cone eto de base e altua b e o volume do cone de aio da base x e altua b. Ou seja: V () s b sx (b ) C E 1

8 14 Substituindo (II) em V (): V () s b s(b ) (b ) b Substituindo (I) em V (), temos: V () b (b ), ou seja, V () b b 1 Assim, descobetas as expessões V 1 () e V (), basta estabelece a igualdade V () V 1 () paa detemina o valo de b : V () V 1 () ] b b 1 b ] ] ( b) 0 Como % 0, segue que b. CAPÍTULO 4 1 A altua e o compimento do paalelepípedo são 4, e a lagua é, sendo o aio de cada esfea. Potanto: V paalelepípedo 4 4 ] V paalelepípedo Como o volume de cada esfea é 4 s cm, temos: 4 s 4 s ] 1 ] 1 Logo: V paalelepípedo 1 ] V paalelepípedo cm. 1 1 ] ] 1 dll 8 ] ] 1 dll cm secção 1 8 ] secção dllll 161 A secção s ] A secção dllll 161 # ] ] A secção 161s cm 4 V cone = 1 s ] 6s 1 s 1 ] 9 ] ] Potanto, A semiesfea 1 4s ] ] A semiesfea s ] A semiesfea 18s cm. Paa o aio medindo, temos: A 4s V 4 s a) Paa o aio medindo, temos: A 1 4s() ] A 1 4 4s ] ] A 1 4 A V 1 4 s() ] V s ] ] V 1 8 V Potanto, a áea quaduplica e o volume octuplica. b) Paa o aio medindo 1,, temos: A 4s(1,) ] A, 4s ] ] A, A V 4 s(1,) ] V,7 4 s ] ] V,7 V Potanto, a áea aumenta 1% e o volume, 7,%. 6 a O volume da esfea é dado po: V 4 s R ] V ] ] V cm Cabem 8,808 litos. 7 a O volume das oito esfeas é igual ao volume da esfea oiginal: 8 4 s 4 s R ] R 8 ] R 8 c V líquido V cilindo V esfea ] 9 e ] V líquido s (4) 4 s ] ] V líquido 4s 8 s ] V líquido 4 s 1 cm O C 1 cm P a

9 Destacando o tiângulo etângulo COP: Aplicando o teoema de Pitágoas, temos: ] 10 A cubo 6a A esfea 4s k Po ipótese temos uma elação ente os volumes, a 4 s, e dela vamos extai a azão k. a 4 s ] (a 4 # s ] 4s # Execícios de integação V 4 s 1 ] V 4.00s 1 cm Assim, 9% de 4.00s s 4.7s. 100 Logo, o volume de água é 4.7s cm. O C 1 cm 1 g 10 cm e g s ] 10 ] cm s 10 ] dlll 7 ] dll cm Cone equiláteo: g A total s( 1 g) ] 4s s ( 1 ) ] ] 4 ] 4 ] dlll 18 ] ] dll cm g ] 7 18 ] ] 4 ] dll 6 cm V pião V esfea 1 V cone ] ] V pião 1 4 s 1 1 s 4 ] ] V pião s cm 4 Pimeia embalagem: V 1 s 6 10 ] V 1 60s cm Logo, paga-se R$ 1,00 po 4s cm de suco. Segunda embalagem: V s 0 ] V 180s cm Logo, paga-se R$ 1,00 po 40s cm de suco. Potanto, compa a pimeia embalagem é mais vantajoso. P 6 a Substituindo 4s # em A cubo A esfea 6a 4s k, temos: A cubo A esfea 6 4s d 16s 9 4s # V tonco de cone s 6 ( ) ] ] V tonco de cone 168 cm 7 V lata s ] V lata s 4 19 ] ] V lata 7 94,6 cm ] V lata 7 94,6 ml, pois 1 cm 1 ml. V a 7 94,6 900 ] V a 7 4,6 ml O volume de a contido na lata é de apoximadamente 4,6 ml. 8 A total s( 1 ) ] A total s 1 (1 1 0,) ] ] A total s cm A áea total da supefície do compimido é s cm. 9 d Sendo R o aio da base do cone que epesenta a taça, o volume de vino na taça ceia ea de: V antes 1 sr 8 ] V antes 8sR cm Se foi tomado metade do vino, estaam 4sR cm. Consideando o cone de aio e altua que epesenta o vino que estou na taça, temos: R 8 ] R 8 Assim, V depois 1 s ] V depois 1 R 8 # ] ] V depois R 19 s. 4s 6 4s # d Potanto, k d 6 s 16 16s 64s 9 d 6 s 1

10 Potanto: R s 4sR 19 ] 6 ] ] 4 dll 4 ] 7 6, cm 1 a V 10 Faemos um esquema do cote meidional de acodo com os dados do enunciado: 4 cm 11 c Como a esfea está inscita no cilindo, então a altua do cilindo é igual à medida do diâmeto da esfea, ou seja,. Pelo teoema de Pitágoas, temos: () dll # ] ] 1 ] ] 1 Volume da esfea: V esfea 4 s (1) ] ] V esfea 4s Potanto, o volume da esfea é 4s cm. V esfea 4 s ] V esfea 4 s 6 ] ] V esfea 88s cm V cone 1 s cone ] ] V cone 1 s 6 cone ] V cone 1s cone V cilindo s cilindo ] ] V cilindo s 6 cilindo ] ] V cilindo 6s cilindo Dessa foma: 1s cone 88s ] cone 4 cm 6s cilindo 88s ] cilindo 8 cm A C x 10 ] x dll A SABC dll V tetaedo 1 A SABC ] 1 b A vela do tipo I possui altua 10 cm e compimento da base 0 cm; já a vela do tipo II possui altua 0 cm e compimento da base 10 cm. Vela tipo I: C I s I ] 0 s I ] I 10 s Vela tipo II: C II s II ] 10 s II ] II s Potanto, I II. Dessa foma, seus volumes são expessos po: Vela tipo I: V I s I I ] V I s( II ) 10 ] ] V I 40s II Vela tipo II: V II s II II ] V II s II 0 ] ] V II 0s II Logo, V I V II. Como o custo da vela é dietamente popocional ao volume da paafina utilizada, o custo da vela do tipo I é o dobo do custo da vela do tipo II. x 10 ] V tetaedo 1 dll 4 ] ] V tetaedo 00dll B 16

11 Gabaito Retomada dos conceitos CAPÍTULO 1 1 A lateal.704s cm e A total 4.06s cm 00s cm A lateal 100s cm, A total (100s 1 00s) cm e V 00s cm 4 1s cm 6s 8 cm 6 60 s mm 7 a) x 9 cm e y cm b) x 1 cm e y cm 8 9 e 10 a 11 a 10 a) V água 108 cm e V substância química = 7 cm b) A concentação da substância química é 0% e a altua é de 0 cm. CAPÍTULO 1 0s cm m 0 cm 4 dll 9 cm a) R cm e V 1s cm b) Apoximadamente 1, cm 6 d 7 c 8 c 9 b CAPÍTULO 1 0dll cm 96s cm a) 40% b) x y CAPÍTULO 4 1 cm 1 dll cm 161s cm 4 18s cm d s 9 cm a) A áea quaduplica e o volume octuplica. b) A áea aumenta 1% e o volume, 7,%. A total 6s cm e V cone 18 dll s cm 6 d 7 c 8 b 9 c 6 a 7 a 8 c 9 e 10 k d 6 s 17

12 Execícios de integação 1 cm e dll cm dll 6 cm s cm 4 Compa a pimeia embalagem é mais vantajoso. O volume de água é 4.7s cm. 6 a 7 Apoximadamente 4,6 ml 8 s cm 9 d 10 4s cm 11 c 1 a 1 b 18