Capítulo 3 ATIVIDADES PARA SALA PÁG. 50 GEOMETRIA. Projeções, ângulos e distâncias. 2 a série Ensino Médio Livro 1 1

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1 esoluções pítulo ojeções, ângulos e distâncis 0 Sendo pojeção otogonl do ponto soe o plno, tem-se o tiângulo, etângulo em, confome figu. t TIIS SL ÁG onte luminos 7 cm 8 cm estcndo o tiângulo, tem-se o seguinte: cm d 8 0 I II. tg + d 7 Þ + d 7 + d 8 d Sendo medid d pojeção otogonl d escd (segmento ) soe o piso infeio (plno β), tem-se o seguinte: + 0 sen Þ 0 90 Þ 9 cm 0 distânci ente dus ets evess e s é distânci ente um ponto qulque d et e o plno plelo que contém s. No cso, pode se distânci de o plno, ou sej, pode se medid. s onsidendo o plno plelo o solo, pssndo pelos pontos e, tem-se que pojeção otogonl d c, soe esse plno, é um losngo cujos ldos são ; e o ponto de enconto ds digonis desse losngo () é pojeção otogonl do ponto médio do segmento. ess fom, tem-se o seguinte: ( ) + cm séie nsino édio Livo

2 I m II. tg q Þ tg q 0 Sendo metos ltu do poste, tem-se o seguinte: I. (ltu do equiláteo) m II. m, m III. No tiângulo : ( ) ( ) + m I. m ( é um etângulo; os ldos opostos são plelos e iguis).. s digonis de um losngo cotm-se mutumente o meio e são pependicules. Logo, 0 8º I º + 8º + 90º 8º II. sen Þ, sen8, o Þ 0, 0,,0 0 Þ Þ 0 Þ m evido à gnde distânci do Sol à Te, os ios soles são considedos plelos, fomndo um mesmo ângulo α com um plno hoizontl (o solo). Logo, tem-se o seguinte:,0 m (som), m æ ö Áe ç è ø m omo o plno é plelo o solo, pojeção soe o solo é igul à pojeção soe o plno. TIIS STS ÁG. (som) m tg m, m Þ, m m m0 m 0 onsidendo os ddos d figu segui, tem-se: m 0 Sendo ' pojeção otogonl do ponto soe o plno α, tem-se o seguinte: m cm q 8 m ' cm m m séie nsino édio Livo

3 distânci do ponto o plno α é '. Logo, tem-se: + ( + ) ( ) 0 0 cm 0 distânci ente dus ets evess e é distânci ente um ponto qulque d et e o plno plelo que contém. No cso, pode se distânci de o plno, ou sej, medid. onsidendo o tiângulo, etângulo em, tem-se o seguinte: 0 cm cm ( ) cm 07 08,89, + h h 0, h 0,8 m I. + s II. + ( ) cm Sendo um ponto do qudo e N S (io d Te, io do qudo), tem-se no tiângulo NS': α 0 onsidendo o segmento N, pependicul o segmento, tem-se o seguinte: I. N figu : m N Q Q' 0 S ' io ligndo o olo Note (N) o olo Sul (S) N ' m m m, m N m N, m e, 7, m II. N figu : S S' S' tg β S' NS N ' Logo, o io d pojeção esteeogáfic é um cicunfeênci de cento S e de io igul S'. ' ', eh ' III. Teoem de itágos: () (') + (') (,7) (,) + h 09 0º 0º séie nsino édio Livo

4 tg 0º Þ +, logo, áe d tmp seá: π ( ) 08πm 0 Sendo ' pojeção otogonl de soe o plno, secção et do diedo, pssndo em, ge o tiângulo ', etângulo em ', confome figu seguinte: 0 d fomig, em dus hos, pecoeá km (ve figu): ' θ km ' 0 ' 0 cm ' I cm II. cos θ km km Logo, cm θ 7km onsidendo um plno pependicul os pisos pssndo pel mp, tem-se seguinte seção et: iso infeio mp ntão, tem-se: sen m m. TIIS SL ÁG. 7 m m iso supeio ssim, 0º (gudo) e 80º 0º 0º (otuso) (' ) ntão, tem-se o seguinte: I. tg θ Þ ' ' II. Teoem de itágos no tiângulo ': ( ) + Logo, 0 olongndo coente e ligndo os pontos de tngênci o cento, tem-se o seguinte: I. α 0º α 0º II. sen 0º cm 0 0 ) Tem-se o seguinte: I. N se, o tiângulo é equiláteo. + 0 Logo, m II. ltu é pependicul o plno d se, então fom 90º com qulque et desse plno. ssim, é pojeção otogonl de soe o 0º q ' séie nsino édio Livo

5 piso e o ângulo de medid α que fom com é o ângulo que vet fom com o piso. Logo, cos m 0 m m 0 m m 0 0 m α º 0 I. segmento G é pojeção otogonl de G, então G ˆ é o ângulo que G fom com o plno GH. II. (digonl do quddo) III. tg, tg α 070, e codo com tel, α. Ligndo os pontos de tngênci o cento d esfe e sendo distânci ente o cento d esfe e est do diedo, tem-se o seguinte: ) Sendo o ponto médio do ldo, s ltus dos tiângulos e seão, espectivmente, e. ssim, o ângulo de medid que e fomm ente si é o ângulo fomdo pelos plnos d fce ltel () e do piso (plno ). Note que et é inteseção desses plnos. 0 m I. α α II. sen º 0, 0, 0 9 cm, m 0 m 0 onsidendo secção et do diedo que pss em, ', ", tem-se o seguinte: 0 Tem-se o seguinte: I. (ltu do tiângulo equiláteo de ldo m). II. Teoem de itágos no : () () + () 0 + () 7 (ltu d c) III. tg TIIS STS ÁG. 8 Sendo medid d est do cuo, tem-se o seguinte: H α G 0 ' º onsidendo digonl do cuo concoente com est G, clcul-se o seno de G ˆ, n figu seguinte. H I. (digonl do quddo) II. () + () ( ) + () " sen + 90º + 90º + º 0º º G séie nsino édio Livo

6 0 0 ) () ojetndo otogonlmente os etemos do segmento, otém-se um figu limitd (começo e fim); semiet é ilimitd em um ds dieções. ) () Se et é pependicul o plno, pojeção otogonl é um ponto. c) () tindo do vétice, páol é infinit nos dois sentidos; dependendo d posição d páol, pojeção otogonl podeá se um semiet, n qul oigem é pojeção do vétice, ms um segmento de et (com começo e fim) pojeção otogonl não pode se. d) () pojeção otogonl de cd ldo (segmento) é um segmento de et ou um ponto; no máimo, pojeção otogonl do tiângulo teá tês ldos. e) () Se o plno que contém cicunfeênci fo pependicul o plno α, pojeção d cicunfeênci coincidiá com pojeção do diâmeto plelo α. s tês plnos, pependicules ente si dois dois, deteminm 8 egiões ( pense em um cnto de pede e polongue s dus pedes e o piso ; peceão oito sls, sendo quto no piso supeio e quto no piso infeio). se: I. (digonl do quddo de ldo ) m II. m (o tiângulo é equiláteo) III. (ltu) é pependicul o plno do piso; então, é pependicul qulque et do piso. ssim, o tiângulo é etângulo em. Logo, () () + () ( ) + () () ) ângulo fomdo pel vet e o plno do piso é o ângulo α que fom com su pojeção otogonl soe o piso. Logo, tem-se o seguinte: p m cd egião, é possível coloc pens um esfe tngencindo os tês plnos. sen Þ º p São, potnto, 8 esfes. 07 ) sevndo s figus, tem-se o seguinte: c) et é pependicul o plno, então, se et é pependicul tod et do plno, et é pependicul à et. ssim, o ângulo β ente e é o ângulo diedo fomdo pelos plnos d fce ltel e do piso, confome most figu. tg cos 08 onsidendo o tpézio contido no plno β, confome s figus seguintes, tem-se o seguinte: séie nsino édio Livo

7 0 onsidendo um diâmeto, tem-se o seguinte: 0º 0º 0º 0º I. No tiângulo : tg 0º Þ II. Teoem de itágos: ( ) + ( ) + ( ) + III. segmento é pependicul o plno β, então fom 90º com tod et de β. ssim, é pependicul o segmento, e o tiângulo é etângulo em. Logo, 0º ' 0º I. Sendo o disco plelo o piso, um mesmo io sol fom ângulos iguis com o disco e com o piso. ssim, o diâmeto do disco é plelo o diâmeto '' d som. II. evido à enome distânci do Sol à Te, os ios soles podem se considedos plelos. ssim, '' é um plelogmo e, potnto, '' cm (ldos opostos iguis). Logo, áe d som é mesm do disco, ou sej: Áe p p cm ' k (io) k ( ) + k 09 mpen () m I. tg 0% 8 m 0,, II. 8 (metde d digonl do quddo de ldo 8) III. Teoem de itágos no : () () + () ( ) +, ( ) +,, sevndo que, 0, e, tem-se, < e <,0. séie nsino édio Livo 7