SÍNTESE. 1. Geometria analítica no plano. 2. Cálculo vetorial no plano. Inequações cartesianas de semiplanos

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1 j h i TEMA III Geometi Anlíti 1. Geometi nlíti no plno Inequções tesins de semiplnos > < > + + < + + Sejm A( 1, ) e B( 1, ) dois pontos do plno: Distâni ente A e B. ( 1 1 ) + ( ) h Ponto médio do segmento de et [AB]. i, j + Mediti do segmento de et [AB]. ( 1 ) + ( ) = ( 1 ) + ( ) Ciunfeêni de ento A e io. ( 1 ) + ( ) = Equção tesin d elipse de semieio mio e semieio meno : + =1 Distâni fol:, onde =.. Cálulo vetoil no plno B F J Um veto é definido po: um ompimento; um dieção; um sentido. A C D H E L I Vetoes olinees são vetoes que têm mesm dieção. G K 1

2 TEMA III Geometi Anlíti Vetoes simétios são vetoes que têm mesm dieção, o mesmo ompimento e sentidos opostos. A A B A B B ponto Q é som do ponto P om o veto, e eseve-se Q = P +, qundo ddo um ponto P e um veto, eiste um únio ponto Q tl que = P Q. P Q Q = P + P A nom de um veto é medid do ompimento de um segmento oientdo epesentnte de e epesent-se po. Adição de vetoes Reg do tiângulo Reg do plelogmo (só p vetoes não olinees) + + Popiedde omuttiv: + = +, p quisque vetoes e. Popiedde ssoitiv: ( + ) + w = + ( + w), p quisque vetoes, e w. Eistêni de elemento neuto: + 0 = 0 + =, p qulque veto. Eistêni de elemento simétio p d veto: + ( ) = ( ) + = 0, p qulque veto. Multiplição de um veto po um esl poduto de po λ (λ 0) é o veto λ om: dieção de ; sentido de se λ > 0 ou sentido ontáio o de se λ < 0; nom igul λ. Ddo um veto, não nulo, um veto é oline se e somente se eisti um númeo el λ tl que = λ e, nesse so, λ é únio. Sendo e dois vetoes e λ e μ númeos eis: Distiutividde em elção à dição de númeos eis. Distiutividde em elção à dição de vetoes. Assoitividde mist. (λ + μ) = λ + μ λ( + )= λ + λ λ(μ ) = (λμ)

3 Síntese Fido um plno munido de um efeenil otonomdo de oigem e ddo um ponto A, hm-se veto posição do ponto A o veto A. Sejm (u 1, u ) e (v 1, v ) dois vetoes do plno e λ um númeo el: = u 1 = v 1 u = v + = (u 1 + v 1, u + v ) = (u 1 v 1, u v ) λ = (λu 1, λu ) = ( u 1, u ) Sejm (u 1, u ) e (v 1, v ) dois vetoes do plno, não nulos. e são olinees se e somente se u 1, u 1 u u, v 1, v 0 e = ou s pimeis oodends de mos foem nuls ou s segunds oodends v 1 v de mos foem nuls. Ddos os pontos A( 1, ) e B( 1, ) e um veto (v 1, v ), tem-se: A B = B A = ( 1 1, ) A + = ( 1 + v 1, + v ) = v 1 + v Um veto, não nulo, tem dieção d et se s ets supote dos epesentntes de têm dieção de. Design-se po veto dieto de um dd et qulque veto não nulo om mesm dieção de. Conside et que pss no ponto A( 1, ) e tem dieção do veto (v 1, v ). Então: Equção vetoil d et (, ) = ( 1, ) + k(v 1, v ), k R Sistem de equções pmétis d et = 1 + kv 1 =, k R + kv Equções tesins 1 = se v 1, v 0 v 1 v v = ( 1 ) se v 1 0 v 1 v = m + " Equção eduid d et, onde m =, se v 1 0, e é odend do ponto de 13 inteseção d et om o eio. v 1 3

4 TEMA III Geometi Anlíti 3. Geometi nlíti no espço Refeenil tesino Eio ds ots Eio Eio ds odends Eio 3.º otnte 7.º otnte 4.º otnte 8.º otnte 1.º otnte 5.º otnte.º otnte 6.º otnte Eio ds isss Eio igem do efeenil s eios otogonis dividem o espço em oito egiões: os otntes. Ddo um efeenil otonomdo do espço, todo o ponto P está ssoido um e um só teno odendo de númeos (,, ) que hmmos oodends, sendo iss, odend e ot. Plno Plno Plno Equções de plnos plelos os plnos oodendos =, R =, R =, R = = = Plno plelo. Pss pelo ponto A(, 0, 0). Pependiul o eio. Cso ptiul: = 0 define o plno. Plno plelo. Pss pelo ponto B(0,, 0). Pependiul o eio. Cso ptiul: = 0 define o plno. Plno plelo. Pss pelo ponto C(0, 0, ). Pependiul o eio. Cso ptiul: = 0 define o plno. 4

5 j h i Síntese Equções de ets plels os eios oodendos = =,, R = Ret plel e pependiul o plno. Inteset o plno no ponto (,, 0). Cso ptiul: = 0 = 0 define o eio. = = = = =,, R = = Ret plel e pependiul o plno. Inteset o plno no ponto (0,, ). Cso ptiul: = 0 = 0 define o eio. = = = =,, R Ret plel e pependiul o plno. Inteset o plno no ponto (, 0, ). Cso ptiul: = 0 = 0 define o eio. = = = = Sejm A( 1,, 3 ) e B( 1,, 3 ) dois pontos do espço: Distâni ente A e B. ( 1 1 ) + ( ) + ( 3 3 ) h Ponto médio do segmento de et [AB]. i, +, j Plno medido do segmento de et [AB]. ( 1 ) + ( ) + ( 3 ) = ( 1 ) + ( ) +( 3 ) Supefíie esféi de ento A e io. ( 1 ) + ( ) + ( 3 ) = 4. Cálulo vetoil no espço Dois segmentos oientdos do espço diem-se equipolentes qundo são omplnes e equipolentes num plno que os ontenh. No espço, segmentos oientdos equipolentes deteminm o mesmo veto. Depois de definimos um veto no espço, estendem-se do plno o espço s definições de nom de um veto (fid um unidde de ompimento), de dição de um ponto om um veto, de tnslção de um ddo veto e s opeções de sutção de dois pontos, de dição e sutção de vetoes, de multiplição de um veto po um esl e s espetivs popieddes geométis e lgéis. Consideemos et que pss no ponto A( 1,, 3 ) e tem dieção do veto (v 1, v, v 3 ). Então: Equção vetoil d et (,, ) = ( 1,, 3 ) + k(v 1, v, v 3 ), k R Sistem de equções pmétis d et = 1 + kv 1 = + kv, k R = 3 + kv