PME 3200 MECÂNICA II Primeira Prova 31 de março de 2016 Duração da Prova: 120 minutos (não é permitido uso de calculadoras)

Transcrição

1 PME 3 MECÂNICA II Piei Pov 31 de ço de 16 Dução d Pov: 1 inutos (não é peitido uso de clculdos) A B g 1ª Questão (3, pontos). Dois discos A e B, de sss, ios R e espessus despeíveis, estão fidos o eio de ss despeível vinculdo u nel e A e u ticulção e B. Dus bs de sss e copiento estão ligds o conjunto que gi co velocidde ngul k constnte, coo indicdo n figu. Considendo o siste A solidáio o conjunto, detein loclição e os vloes de dus sss 1 e, fids n pte eten dos discos A e B, suficientes p blnce o siste. Posição inicil do cento de ss: Podutos de inéci iniciis: J A J A + Citéio de blnceento: J J A A blnceento pode se elido, dicionndo-se ou eovendo-se sss e posições dos discos póis su peifei. U ds 4 possíveis soluções consiste e se cescent sss 1 e, espectivente, ns posições ( R,,) e ( R,, 3). E tl cso, obtê-se s seguintes equções de blnceento: ( R) + ( R) 8 3 1R R ( + ) ( R) + ( R) 3 J A 1

2 Resolvendo-se o siste de equções nteio, obtê-se: 7 6R e (,,) e e ( R,, 3) 1 R 3R bs: coo, de codo co figu R, substituições desss viáveis ns fóuls nteioes dão oige soluções igulente coets.

3 ª Questão (3,5 pontos) U plc Z qudd de espessu despeível, ldo e ss, está pes à estutu de supote tvés de u ncl de eio plelo. A plc te distibuição Ω hoogêne de ss e gi e tono de co velocidde ngul, constnte. A estutu de supote, supost ígid e de ss despeível, gi co velocidde ngul Ω, tbé constnte, e tono do eio veticl Z. é o cento de ss d plc e é u eio sepe veticl. A b te copiento. São ddos os oentos de inéci d plc efeentes os eios, ostdos n figu: J ', J ', J '. Nesss condições, pede-se: () ost que o oento de inéci e tono de qulque eio contido no plno d plc qudd, e que sej pssnte pelo cento, é igul 1 ; ou sej, que é invinte co espeito à otção ψ ; ou ind, que qulque eio contido no plno d plc e pssnte po é u eio centl de inéci; (b) no siste, solidáio à estutu de supote e oientdo pelos vesoes ( i, j, k ), esceve os vetoes de otção bsolut,, e de oento d quntidde de oviento, (c) o oento (d) o oento H, d plc; M, plicdo pel estutu à plc, coptível co o oviento descito; M, eltivente o polo, tnsitido pti d plc à b veticl; (e) o copiento d b p que o oento g M sej nulo. ψ, () P qulque eio u pssnte po e contido no plno, te-se: cosψ sinψ cosψ 1 sin ψ 1 J u [ cosψ sinψ ] [ cosψ sinψ ] (b) Epessões de e de j + Ω k H descits e 1

4 H Ω j + 1 (c) Moento plicdo pel estutu à plc, e M Ω {[ J ] [ ] } Ωk j + Ω k Ω i (bináio gioscópico tivo) (d) Moento tnsitido pel plc à estutu, e Ω k Coo estutu te peso despeível, o oento e é ddo po: M Ω i gi g Ω i 6 6 (e) Copiento equeido p que o oento e sej nulo: Ipondo-se Ω 6 g M, esult:

5 3ª Questão (3, pontos). U istudo de tint é coposto po u b esbelt cuv, pes u ndil. A b te densidde line ρ, e su linh centl, de copiento 7, está contid no plno, confoe ost figu. Atvés de u siste de cionento contoldo, o istudo gi u velocidde ngul k, constnte, e tono do eio. Desconsidendo diensão do diâeto d seção tnsvesl d b fce o seu copiento, deteine s foçs de eção e o oento etivo, eltivo o polo, plicdos o ndil pel b. Apesente os esultdos no efeencil óvel, solidáio b. ) Deteinção d posição do cento de ss 5 ; ; 14 (b) Deteinção dos oentos e podutos de inéci (sete ptes): J J J ρ ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + + ( 3) 3 ρ (c) Aplicção do TQMA no pólo, fio H J J J J { i j k} J J k J i & i i k i j & k k k k d 3 H J j ρ dt j M

6 Potnto o oento no ponto d b, despendo-se eventul toque viscoso do fluido, é: M 3 ρ (d) Aplicção do Teoe d Resultnte Aplicndo-se o TR n b p, pois o cento de ss coincide co o eio, te-se: F R 7g k ; ; 7g k

7 4ª Questão (1, ponto). () Está coet ssetiv: o blnceento copleto de u oto se esue fe do eio de otção u eio centl de inéci? Justifique su espost conceitulente. (b) Pode-se ost (ve Pesce, CP, Dinâic dos Copos Rígidos, cp. 6.5.) que o oviento de u pião idel, ou sej, n usênci de quisque foçs de ntue dissiptiv, é egido po u únic equção difeencil odinái de segund ode, não-line, no ângulo de nutção θ(t): Z φ & θ ψ& ( α β cos θ)( β α cosθ ) I & θ + g senθ 3 I sen θ onde α I & φ sen θ + J cosθ( ψ& + & φ cosθ ) β J & ( ψ& + φ cosθ ) X g φ θ Y são dois invintes do oviento. Pegunt-se: o que, fisicente, estes dois invintes epesent? () SIM, ssetiv está coet, pois, p que hj blnceento copleto, é necessáio que: i. o cento de ss do siste sej deslocdo p o eio de otção; ii. o eio de otção sej u eio pincipl de inéci; ou sej, que os podutos de inéci que envolve este eio sej nulos. A ssetiv e tel eúne os dois conceitos de u só ve. (b) s invintes (α,β) epesent, espectivente, s intensiddes ds pojeções do veto oento d quntidde de oviento, e elção o polo fio, ns dieções: (i) do eio de pecessão, neste cso o eio veticl, Z; (ii) do eio de otção pópi,. E Mecânic Anlític, coodends genelids coo φ e ψ, ssocids coespondentes quntiddes de oviento genelidos invintes, são clssificds coo cíclics ou ignoáveis.