ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS PME2200 MECÂNICA B DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO MARÇO DE Resp.

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1 ES PITÉNI UNIVESIE E SÃ PU ª IST E EXEÍIS PME00 MEÂNI INÂMI P ÍI MÇ E 00 ) fiur o do ostr u eio de ss 3 e copriento 3 o qu estão press dus brrs onitudinis idêntics, de copriento e ss. Pede-se: ) s coordends do centro de ss do siste e b) tri de inérci do conjunto e reção o siste de eios. do:, J esp.: / / 3 J ; J 37 ) disco de ss M ir co veocidde nur constnte e reção o eio de ss, que por su ve ir co veocidde nur constnte e torno do eio. Pedese:deterinr o oento nur do disco e reção o póo. M esp.: H M + j + 3) U esfer sóid e hooêne, de ss M e rio, está riidente copd u hste, de ss, que pss por seu centro de ss. hste ir e torno do eio co ϖ ϖi e e torno do eio vertic co j. Pede-se deterinr o oento nur d esfer, e reção o póo. M J 5 esp.: H M 5 M i + 5 M + j / / - -

2 ) brr esbet unifore de ss e copriento é fid o eio por cores confore fiur e todo o conjunto ríido ir e torno do eio co veocidde nur. eterine o oento nur H de e reção. o esp: r r senθ 6 sen θ i r + H sen 3 θ 5) brr hooêne d fiur o do te diâetro despreíve, copriento tot 3 e peso específico ρ por unidde de copriento. Sendo u ne e u rticução, pede-se: ) ccur veocidde nur constnte pr que s forçs horiontis n rticução sej nus; b) deterinr s reções nos víncuos pr situção do ite ). esp.: ) 3 9 b) X X X 0 ; Z 3ρ ; Y ρ 6) brr hooêne de ss 3 e copriento 3 ir co veocidde nur constnte. o pernece sepre horiont. siste de coordends (,,, ) é soidário à brr. Pede-se, e função de α, utiindo bse indicd: ) forç n o ; b) s forçs n rticução. esp.: ) 3 F ( o senα tnα ) b) 3 H ( 3 senα + tnα ) V 3 (bs.: reções horiontis e verticis respectivente) α - -

3 7) dispositivo d fiur é fordo por brrs de ss ρ por unidde de copriento e ir co veocidde nur constnte. Pede-se deterinr s reções dinâics nos ncis. esp.: ρ X 8) U disco de ss e rio está ido riidente u brr de copriento / tn α e ss despreíve. brr está rticud e u eio vertic e o disco se poi nesse eio e. siste de coordends (,,, ) é soidário o pno E. Sbendo-se que qundo se põe o eio irr o eso ponto do disco pernece e contto co e, pede-se: ) o oento nur do disco e reção o póo ; b) veocidde nur pr que se obtenh reção nu e. α / tα E esp.: b) senα tn α 9) eio de ss despreíve e copriento ir co veocidde nur constnte, poido nos ncis e. brr te ss despreíve e é fi o eio no ponto ; ns sus etreiddes e estão concentrds s sss e respectivente. Junto os ncis, estão fidos o eio os discos e de ss e rio. siste de coordends (,,,) é soidário às brrs, que estão no pno. Pede-se, pr posição indicd n fiur (pno n vertic): ) s reções nos ncis e ; b) bncer o siste, dicionndo s sss concentrds e n periferi dos discos e ; deterinr os vores de. esp.: ) Z ; Z 5 b) e que deve ser dicionds no pno que conté s brrs - 3 -

4 0) us brrs e, de copriento e sss, são ids u eio que ir co veocidde nur constnte. s vontes e, de sss M são presos o eio, junto os ncis de poio do eso. Nests condições, pede-se: ) deterinr s reções nos ncis e ; b) bncer o siste trvés d coocção de pesos corretivos nos vontes e, e pontos à distânci 3 do eio de rotção. eterinr os pesos necessários e sus ocições nos vontes. M Β M Α ) us brrs de ss e copriento estão ids u eio que ir co veocidde nur constnte, coo indicdo n fiur. s vontes e, de ss M, rio e espessur despreíve, estão fidos o eio. onsiderndo o siste, soidário o vonte, pede-se: () eterinr s reções (considerndo o peso) nos ncis e. (b) eterinr ocição e os vores de dus sss e, fids n prte etern do vontes e, suficientes pr bncer o siste. 3 7 esp.: Y M + 6 e ( 0,,3) 3 ) U brr hooêne, co densidde iner de ss ρ, te for indicd n fiur. Sbendo que veocidde nur é constnte, deterinr: () o oento nur d brr e reção ; (b) o ânuo fordo peo oento nur e o eio c) s reções dinâics e e. esp.: ) H ρ r 3 (π i ) - -

5 3) U vão trnsport u rotor de rio r e ss M. vão percorre u trecho circur de rio co veocidde escr constnte v. rotor ir co vetor de rotção constnte j e 9Mr reção o vão. dos J J e Mr J pr o rotor, pede-se: ) o vetor de rotção bsouto do rotor e seu oento nur tondo coo póo o seu bricentro ; b) o oento picdo peo rotor no vão; c) ceerção do bricentro do rotor; d) perunt-se tbé qu é o efeito do oento iroscópico sobre o vão. Mr v v esp.: b) M I i c) i r v r ) No siste d fiur, o disco hooêneo (ss, rio ) ir o redor d brr (ss despreíve, copriento ) co veocidde nur constnte ; brr nté sepre direção horiont e ir co veocidde nur constnte o redor do eio vertic que pss pe rticução. conjunto está ontdo dentro de u eevdor que sobe co ceerção constnte j. Usndo o siste de coordends (,,,) soidário à brr, pede-se:, j, bse do eevdor,, i ) o vetor de rotção bsouto do disco e ceerção do seu bricentro; b) o vor de pr que o oviento descrito sej possíve (precessão estcionári); c) supondo conhecido o vor de deterindo no ite (b), ccue s reções n rticução ; d) respond e justifique: o oviento descrito será possíve se o eevdor descer e qued ivre? esp.: ) j + i; j i b) ( + ) c) X ; Y ( + ) J

6 5) ss e rotção (rotor) de u heicóptero é descrit peos oentos de inérci J, J e J e peos produtos de inérci J J J 0 e reção o siste de coordends (,,, ) indicdo n fiur, soidário o rotor, onde é o bricentro do rotor. vetor de rotção do rotor e reção o heicóptero é. cur o binário iroscópico qundo o heicóptero inici u curv scendente vertic de rio constnte co veocidde escr constnte v. esp.: M I J v j 6) U siste de sensoreento de oviento de u vião é, V V j bsedo no efeito iroscópico. fiur o do present o odeo sipificdo do siste que consiste e u disco d, j riidente ido u eio ; ss tot do siste é M. Nos ncis e estão instdos sensores de forç que ede s forçs verticis F e F (forçs dos sensores sobre, i F M F os eios). siste ir e torno do eio co veocidde nur d di, ( d > 0, constnte ). / / siste de coordends é soidário o vião, sendo V V j (V > 0, constnte) veocidde de seu bricentro. urnte o oviento o vião descreve u curv horiont (i.e. o pno pernce n horiont), de rio constnte (edido prtir do bricentro do vião). s sensores idic: F > F > 0. Indicndo os resutdos n bse soidári o vião ( i, j, ), pede-se: ) o vetor de rotção de rrstento do siste óve, o vetor de rotção bsouto do conjunto e seu oento nur, H ; b) escrever equção de vrição do oento nur e deterinr o oento ds forçs eterns picds o eio e reção ; c) indicr o sentido (à direit ou à esquerd) d trjetóri descrit peo vião e deterinr o seu rio de curvtur. São ddos: oentos de inérci bricêntricos do conjunto disco is eio: J J e J J I ; distânci entre o ncis e. esp.: ) v v v ; d i ; K Jd i I Jdv c) trjetóri pr direit; (F F ) - 6 -

7 7) U irotcôetro eeentr é coposto de u iroscópio, cujo qudro é suportdo por dus os fids n ci do preho. oento de inérci do iroscópio e reção o eio de rotção própri é iu I e su veocidde nur é. eterinr o ânuo α e que irrá o eio do iroscópio juntente co o qudro, se o preho se encontrr instdo sobre u ptfor que ir à veocidde nur e torno do eio, que é perpendicur o eio de rotção do qudro. s coeficientes de riide ds os são iuis ; o ânuo α é considerdo pequeno; distânci entre o eio de rotção do qudro e s os é iu. +α Esc no pno -α J esp.: α 8) siste d fiur é coposto d brr horiont de copriento tot e ss despreíve, rticud e e sipesente poid e, e do disco hooêneo de ss M e rio, que está e u pno ortoon à brr. brr pss peo centro do disco e distânci é constnte e iu. disco ir co veocidde nur constnte e torno do eio confore indicdo n fiur, e o ponto te veocidde vj co v constnte. do J M /, pede-se: ) o vetor de rotção bsouto do disco e seu oento nur tondo-se o seu bricentro coo póo; b) o oento que o disco pic n brr ; c) s reções nos víncuos e. M v esp.: ) M j Mv M v M M v M c) Y 0 ; X ; Z + ; Z v - 7 -

8 v 9) U crro te otor instdo trnsversente e está fendo u curv de rio, co veocidde escr constnte v. s prtes óveis do otor pode ser representds dinicente por u rotor que ir co vetor de rotção u, sendo ddos J u, J τ e J sendo u, τ e os eios principis de inérci deste rotor. Pede-se, durnte curv ostrd n fiur: ) obter o vetor de rotção bsouto do rotor e o seu oento nur K ; b) obter o oento M picdo peos ncis do rotor este durnte curv; c) neste crro, co o sentido de rotção do rotor coo indicdo ( > 0 ), é ior o perio de cpotento o fer-se curvs pr direit ou pr esquerd? (Justificr). τ u v esp.: ) K v J uv J uu J b) M τ 0) fiur ostr u disco hooêneo de rio e peso copdo u brr de copriento e ss. disco ir co veocidde nur constnte, e torno d brr, e reção est. brr ir e torno do eio vertic co veocidde nur constnte. siste de coordends (,,, ) é soidário à brr. Pede-se, epressndo s resposts no siste de coordends ddo: ) o vetor de rotção bsouto do disco; b) o oento nur do disco e reção o póo ; c) o vor de pr que o oviento descrito sej possíve; d) os esforços n rticução

9 j (,) i esp.: ) bs i + j b) K i + j + ) U disco de ss e rio ir co veocidde nur, constnte, e torno do ponto, coo indicdo n fiur. Neste eso instnte, brr F ir co veocidde nur, constnte, e torno do eio EF. Pede-se, n posição ostrd n fiur (disco no pno ): () vetor de rotção bsouto do disco; (b) oento que o disco pic sobre brr F; (c) s reções nos ncis E e F, considerndo que s brrs F e EF são hooênes e tê sss iuis. esp: ) i + j ; b) M,brr J ) U esfer hooêne de rio e ss está pres u brr eve de copriento brr for u ânuo α co vertic e ir e torno de co veocidde nur constnte /. esfer ir e torno d brr co veocidde nur constnte ψ. Utiindo bse i, j, soidári à brr, pede-se: ) o vetor de rotção d esfer e eneri cinétic T; b) pique o TM e deterine trção F n cord ; c) veocidde nur ψ (óduo e sentido) pr que trção F se nue; d) coprr eneri cinétic d situção e que F0 co que e que ψ 0 (use α 30º ). do: Moento de inérci de esfer I X. 5 α ψ - 9 -

10 3) U cinhão betoneir vnç co veocidde V constnte, o ono de u estrd pn, e u trecho co rio de curvtur constnte, pr esquerd. betoneir (vi) ir e torno de seu eio co veocidde nur, constnte, confore indicdo n fiur. São conhecidos ss M d betoneir e seus oentos de inérci no siste : I I J e I J. Pedese: ) o vetor de rotção bsouto, e o vetor oento nur d betoneir K ; b) picr o TM à betoneir, e reção o seu centro de ss ; c) deterinr s coponentes,,,,, ds reções vincures picds à betoneir. ( é u rticução e é u ne). α Z V ) disco (, ) ir co veocidde nur constnte e reção à brr. Este ir co veocidde constnte e torno do eio EF. Pede-se, n posição ostrd n fiur ( // EF): ) o vetor de rotção bsouto do disco; b) o vetor ceerção rotcion bsout do disco; c) s reções nos ncis E e F, sendo ss do disco e desprendo ss ds deis prtes. esp.: b) c) Y d + E Y F d + + ; Z E Z F b E / d b F / - 0 -

11 5) siste d fiur é coposto pe brr de ss despreíve, pe esfer de ss concentrd e peo disco de ss M e rio. brr ir o redor do eio vertic que pss pe rticução, co veocidde nur constnte, e o disco ir o redor do trecho d brr co veocidde nur i de óduo constnte. siste de coordends (,,,) é soidário à brr. Pede-se: ) o vetor de rotção bsouto bs do disco; b) reção entre e e reção entre s sss e M pr que o oviento sej possíve; c) s reções n rticução. do: pr o disco J M esp.: ) i + b) Z ( + bs M) e M c) X M, Y 0 e Probes do eer & Johnston "Mecânic Vetori pr Enenheiros - ineátic e inâic", 5ª edição, pítuo 8, inâic dos orpos íidos e Moviento Tridiension: (8.56, 8.59) (8.60, 8.6) Efeito iroscópico ( ) Efeito iroscópico 8.80 Efeito iroscópico 8.8 Efeito iroscópico - Ânuos de Euer 8.8 Efeito iroscópico - Ânuos de Euer 8.86 Efeito iroscópico - Ânuos de Euer (Probes entre prênteses tê enuncidos copeentres e pode ser resovidos conjuntente). - -