O Teorema de Tales. A massa de um bloco de gelo é de 13 kg. Se 10% do gelo derreter, de quanto passará a ser a sua massa?

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1 A UUL AL A 48 O Teorem de Tes A estc tem 1,50 m e su sombr 2,20 m. A sombr do poste mede 4,90 m. Qu é tur do poste? Pr pensr A mss de um boco de geo é de 13 kg. Se 10% do geo derreter, de qunto pssrá ser su mss? Com um pr de esqudros, desenhe um feie de 5 rets pres. Depois, trce sobre es 2 rets trnsversis que não sejm pres entre si. Meç os segmentos determindos ns rets trnsversis. Ees são proporcionis? As pirâmides do Egito Noss u As pirâmides egípcis são monumentos grndiosos. A técnic empregd em sus construções té hoje fscin o homem. A pirâmide de Qué ops, no Egito, foi construíd por vot de nos ntes de Cristo. Considerd um ds grndes mrvihs do mundo ntigo, Quéops tem proimdmente 150 metros de tur. Su bse é um qudrdo cujos dos medem cerc de 230 metros.

2 A U L A Tes e pirâmide O fiósofo e mtemático Tes nsceu n cidde de Mieto, n Gréci ntig, por vot do no 585.C. Há muits ends e históris sobre ee. Diz-se que, o ser interrogdo sobre o que er difíci, Tes respondeu: Conhecer si mesmo. O que er fáci: Ser dirigido por outro. Agrdáve: Seguir própri vontde. Divino: Aquio que não tem começo nem fim. Tes pssv grnde prte do tempo vijndo, como er comum os sábios dque époc. Em um de sus vigens o Egito, pssou ser prestigido peo fró Amásis por ter medido tur de um pirâmide sem precisr escá-. Pr isso, Tes fincou um estc verticmente no chão. Concuiu que, no momento em que o comprimento d sombr d estc fosse igu o comprimento d estc, tur d pirâmide seri igu o comprimento d sombr d pirâmide mis metde d medid d bse. A tur d pirâmide é distânci do vértice V à bse. Observe figur bio: tur é medid do segmento VH. V rio sor H { { metde d bse comprimento d sombr

3 Tes e Mtemátic Pr medir tur d pirâmide, Tes bseou-se em guns ftos: 1. Qundo dois triânguos têm os ânguos iguis, então seus dos correspondentes formm um proporção. A U L A c b z y = b y = c z 2. Os rios sores são preos. E, nesse cso, Tes tmbém sbi que os ânguos de incidênci dos rios sores num mesmo instnte tinhm todos mesm medid. V A H P B C Tes imginou um triânguo formdo pe tur d pirâmide, metde d bse mis o comprimento d sombr d pirâmide e um rio sor igndo o vértice d pirâmide o fin d sombr, como mostr figur cim. Imginou tmbém um outro triânguo formdo pe estc, su sombr e um rio sor. Esses dois triânguos imginários tinhm, cd um dees, um ânguo reto e um ânguo de mesm medid (). Nesse cso, Tes sbi que s medids dos dos desses triânguos erm proporcionis. Então: VH HP = AB BC Com esse método, Tes inugurou o processo de medid indiret, muito utiizdo ind hoje n stronomi e n medição de distâncis que prentemente não podemos cnçr, como tur de montnhs, árvores e monumentos ou rgur de grndes rios e gos.

4 A U L A O Teorem de Tes São tribuíds Tes muits descoberts geométrics, entre s quis um teorem com seu nome. Vej o que diz esse teorem: Dus rets, m e n,, cortm três rets prees, b e c.. Nesss condições, os segmentos de medids, y, z e w são proporcionis. Assim: y = z w m n z b y w c Um picção do Teorem de Tes N pnt de um otemento, está ftndo medid do do dos fundos do ote B, conforme figur: Ru ds Mrrecs ote C 24 m ote B ote A 20 m 30 m Ru dos Gnsos Representndo por medid que desejmos ccur e usndo o Teorem de Tes, podemos descobrir ess medid sem efetur medições. Como s teris são pres, temos: = 24 E, fzendo um simpes regr de três: 30 = = 16 Assim, sem efetur medições, concuímos que o do dos fundos do ote B mede 16 metros.

5 Um form mis ger do Teorem de Tes Considere um feie de rets pres com dus trnsversis, como mostr figur: A U L A b y c d z w Os segmentos de medids, b, c, d e, y, w, z, determindos ns rets trnsversis, formm segmentos proporcionis: = b y = c w = d z Um outr picção do Teorem de Tes Pr encontrr soução de probems de cácuo de distâncis prentemente impossíveis, os ntigos usvm instrumentos de medid de ânguos n vertic e n horizont. Hoje em di, os topógrfos usm o teodoito, um instrumento que mede ânguos, distâncis e diferençs de níve.

6 A U L A Vej n figur bio como funcion o teodoito n medição d tur de um árvore. O teodoito deve ser fstdo té que o ânguo de visão d horizont com o topo d árvore sej de 45º. Qundo isso ocorrer, bst medir distânci d árvore té o teodoito. Ess medid será igu à medid d tur d árvore. C A 45º B Isso ocorre porque se comprou o triânguo imginário com um triânguo retânguo e isóscees que tem os ctetos com mesm medid. Outrs descoberts geométrics tribuíds Tes O diâmetro divide o círcuo em dus prtes iguis. Ânguos opostos peo vértice têm medids iguis. Os ânguos d bse de um triânguo isóscees têm medids iguis. O ânguo inscrito num semicircunferênci é reto.

7 Eercício 1 Ns figurs bio, ccue o vor de (s rets, b e c são pres). ) Eercícios A U L A 48 2,4 1,4 1,2 b c b c b) Eercício 2 A pnt bio mostr s medids de dois terrenos. Ccue s medids de sus frentes, sbendo que s teris são pres e que medid de AB é 90 metros. 30 m 45 m A y B Eercício 3 Observe o desenho bio e descubr qu deve ser o comprimento d ponte. A 9 m 10 m E D 18 m C B

8 A U L A Eercício 4 A imgem de um foto é, em ger, semehnte o que se vê n reidde. Imgine que o desenho bio sej um foto. Que proporção você pode estbeecer entre tur do coqueiro, tur d pesso e sus respectivs sombrs?