Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA I 1 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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1 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO... TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO... 6 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA ÂNGULOS NOTÁVEIS TABELA DE RAZÕES TRIGNOMÉTRICAS RESPOSTAS... 3 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 4 No finl ds séries de exercícios podem precer sugestões de tividdes complementres. Ests sugestões referem-se exercícios do livro Mtemátic de Mnoel Piv fornecido pelo FNDE e dotdo pelo IFMG Cmpus Ouro Preto durnte o triênio Todos os exercícios sugeridos nest postil se referem o volume. MATEMÁTICA I 1 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

2 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO No ensino fundmentl você estudou semelhnç de triângulos e um importnte plicção deste ssunto está ns relções métrics no triângulo retângulo. Consideremos um triângulo ABC retângulo em A como n figur bixo. Os ldos b e c são chmdos de ctetos e o ldo é hipotenus. Observndo s medids e como n figur nterior, podemos destcr três triângulos semelhntes, vej: I B A c A b C II h b C A O segmento h, trçdo prtir de A e perpendiculr à hipotenus em H, é ltur. Os segmentos BH e CH são s projeções dos ctetos em e serão chmdos de n e m respectivmente. Agor, vmos chmr de e os ângulos de vértices B e C, conforme figur. III c h B n De I e II, podemos perceber que: c bc h (i) h b Aind de I e II, b b m (ii) b m Observe que outros dois ângulos (junto o vértice A) tmbém form identificdos como e. É possível observr que eles têm s mesms medids dos outros ângulos de mesmo nome. De I e III, temos: c c c n n (iii) CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 h n De II e III, temos: m h h mn (iv) Observndo ind segund figur d págin nterior, temos: A prtir iii, iv e v, temos: m b n c m n (v) m n b m n b c c b c (vi) Est últim relção é o fmoso TEOREMA DE PITÁGORAS. Ex.1:No triângulo bixo, os ctetos medem 8cm e 6cm. Determinr medid d hipotenus, ds projeções m e n e d ltur h. 6 n Resolução h 6 8 b m c cm bc h h h 4, 8cm C Assim, s seis expressões encontrds e listds bixo, são chmds de: RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. 8 b m 10m 64 10m m 6, 4cm m n 6, 4 n 10 n 3, 6cm i bc = h ii b = m iii c = n iv h = mn v m + n = vi = b + c Vmos, gor, ver lguns exemplos de plicção ds relções cim: Respost: = 10cm; m = 6,4cm; n = 3,6cm; e h = 4,8cm Ex.: Observe o triângulo ABC de ldos 6cm, 8cm e 1cm representdo n figur. Encontre ltur h. A h 6 B 8 1 C MATEMÁTICA I 3 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

4 Já que DABC é obtusângulo, vmos chmr de x o prolongmento do segmento BC como n figur bixo A h 6 x D B Resolução: 8 1 C 1) A ltur reltiv à hipotenus determin sobre el segmentos de medids 3 cm e 4 cm. Qunto medem os ctetos deste triângulo? ADB h ADC h h x 16x x x 44 x x x h h 11 4 Respost: x 6 h 6 h cm ) Determine e e f ns figurs bixo: ) 5 1 f e CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 b) 3 e 4) A hipotenus de um triângulo retângulo isósceles mede 5 8 cm. Qunto medem os ctetos? f 3) Qul o perímetro de um qudrdo cuj digonl mede cm? 5) Dois prédios construídos num mesmo plno 1 metros de distânci um do outro medem 17m e m de ltur. Desej-se construir um pssrel fim de unir seus topos. Qul será o menor comprimento possível dest pssrel? MATEMÁTICA I 5 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

6 6) Num triângulo retângulo cuj ltur mede 1 e som dos ctetos vle 35, qunto mede hipotenus e cd um dos ctetos? 7) N primeir colun d págin três dest postil, você viu um demonstrção do Teorem de Pitágors. Pesquise n internet ou em livros n bibliotec sobre outrs demonstrções do teorem e presente qui pelo menos um. TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Dois triângulos são ditos semelhntes se um pode ser obtido pel expnsão uniforme do outro. Este é o cso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são congruentes. O fto crucil sobre triângulos similres é que os comprimentos de seus ldos são proporcionis, isto é, se o mior ldo de um triângulo é dus vezes o mior que o ldo do triângulo similr, então o menor ldo será tmbém dus vezes mior que o menor ldo do outro triângulo, e o comprimento do ldo médio será dus vezes o vlor do ldo correspondente do outro triângulo. Assim, rzão do mior ldo e menor ldo do primeiro triângulo será mesm rzão do mior ldo e o menor ldo do outro triângulo. Usndo estes ftos, definem-se s funções trigonométrics, começndo pelos triângulos retângulos. O mior ldo em um triângulo qulquer é sempre o ldo oposto o mior ângulo e devido som dos ângulos de um triângulo ser 180º, o mior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O mior ldo nesse triângulo, consequentemente, é o ldo oposto o ângulo reto, chmdo de hipotenus e os demis ldos são chmdos de ctetos. Dois triângulos retângulos que comprtilhm um segundo ângulo A são necessrimente similres, e rzão entre o ldo oposto A e hipotenus será, portnto, mesm nos dois triângulos. Este vlor será um número entre 0 e 1 que depende pens de A. Este número é chmdo de seno de A e é escrito como sen A. Similrmente, pode-se definir o cosseno (ou co-seno) de A como rzão do cteto djcente A pel hipotenus. CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

7 Vmos gor ver e plicr, grficmente, o que está no texto. Est rzão é chmd de COSSENO, dest form: A figur seguir mostr os triângulos ABC, AB C e AB C. Note que são todos semelhntes. C C A Já que os triângulos são todos semelhntes, rzão entre os ldos opostos o ângulo e s hipotenuss correspondentes é constnte. Assim: BC AC B'C' AC' C B B B B"C" cteto oposto AC" hipotenus Est rzão é chmd de SENO, dest form: Há ind outr rzão importnte que segue mesm regr devido à semelhnç entre os triângulos. Trt-se d rzão entre os ctetos opostos e os respectivos ctetos djcentes o ângulo. BC AB B'C' AB' BC" AB" cteto oposto cteto djcente Est rzão é chmd de TANGENTE, dest form: D mesm form, rzão entre os ldos djcentes o ângulo em cd triângulo e s hipotenuss correspondentes é constnte. Assim: Ex.1: Sendo o ângulo destcdo no triângulo retângulo bixo, determinr seno, cosseno e tngente de. AB AC AB' AC' AB" AC" cteto djcente hipotenus MATEMÁTICA I 7 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

8 Resolução O primeiro psso será determinr o vlor d hipotenus plicndo o Teorem de Pitágors.. b c Agor já sbemos que hipotenus, o cteto oposto o ângulo e o cteto djcente o ângulo medem, respectivmente, 0cm, 1cm e 16cm. Agor vmos clculr sen, cos e tg. ct. oposto sen hipotenus sen cos ct. djcente cos hipotenus 4 5 Ex.: Sbendo que o sen 37º = 0,6018 cos 37º = 0,79864, tg 37º = 0,75355 e que o menor cteto do triângulo retângulo bixo mede 9 cm, determine o comprimento d hipotenus e do outro cteto 9 sen 37 º 9 0, , ,95 9 tg 37 º b 9 0,75355 b 9 b 0,75355 b 11,94 Respost: = 14,95 cm e b = 11,94 cm 8) Determine o vlor de x em cd cso. Qundo precisr, consulte tbel trigonométric que está n págin 95. ) ct. oposto tg ct. djcente tg 1 16 Respost: sen, cos e tg CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 b) 9) Clcule, no triângulo que ilustr est questão, o seno, cosseno e tngente dos ângulos B e C e seguir consulte tbel trigonométric d págin 95 pr determinr medid de B e C. c) ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 8 Exercícios R1 R3 Págs.9 e 10 Exercícios 1 5 MATEMÁTICA I 9 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

10 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA C dividindo o numerdor e o denomindor d frção por, e substituindo correspondentemente por seno e cosseno de B, temos: b tgbˆ b c tgbˆ senbˆ cosbˆ A c No triângulo retângulo ABC cim, sbemos que: b c b c b c 1 Sbemos tmbém que: b c senbˆ cosbˆ c b senĉ cosĉ B o mesmo pode ser feito com o ângulo C. tgĉ c b c senĉ tgĉ tgĉ b cosĉ e, de form gerl, podemos escrever: Est é chmd ª RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA. Substituindo n expressão cim, temos: senbˆ cosbˆ 1 ou cosĉ sen Ĉ 1 De form genéric, podemos escrever: Est é chmd 1ª RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA. Do mesmo triângulo cim, podemos dizer que: b tgbˆ c CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 10) Retorne à questão 9 e clcule tngente dos ângulos B e C prtir do seno e cosseno de cd um. 1) N figur bixo, sbe-se que cos = 0,3, determine sen e o comprimento d hipotenus. 11) Sbendo que x é um ângulo compreendido entre 0º e 90º e que cos x 3 4, determine o seno e tngente de x lém d medid do ângulo x consultndo tbel d págin ) Em cd um dos três csos seguir, determine o vlor de x consultndo tbel d págin 16 qundo precisr. ) MATEMÁTICA I 11 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

12 b) b) ABCD é um retângulo c) c) 14) Aind consultndo tbel d págin 16, determine em cd cso: ) 15) Sendo x um ângulo gudo tl que 4 sen x, determine tg x. 5 CÁSSIO VIDIGAL 1 IFMG CAMPUS OURO PRETO

13 16) Num triângulo retângulo, um dos ctetos é terç prte d hipotenus. Clcule tngente do menor ângulo do triângulo. 17) N circunferênci bixo, AC é um diâmetro. Sbendo que o rio é cm, determine o perímetro do qudrilátero ABCD. MATEMÁTICA I 13 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

14 ÂNGULOS NOTÁVEIS Existem três ângulos gudos que trzem considerções importntes. Estes ângulos, chmdos de NOTÁVEIS são 30º, 45º e 60º. A prtir d plicção de lguns conceitos, podemos determinr fcilmente o seno, cosseno e tngente destes ângulos. Vmos preencher juntos os espços seguir prendendo encontrr esses vlores. Prtiremos do triângulo eqüilátero bixo onde está destcd um ltur. ( prtir d figur bixo, postil será completd em sl de ul junto com o professor) CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG CAMPUS OURO PRETO

15 Agor considerremos o qudrdo seguir e um digonl. ( prtir d figur bixo, postil será completd em sl de ul junto com o professor) Os vlores encontrdos podem ser resumidos nest tbel: sen 30º 45º 60º cos tg A tbel seguir trz s rzões trigonométrics dos ângulos compreendidos de (expressos em grus por números nturis): MATEMÁTICA I 15 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

16 TABELA DE RAZÕES TRIGNOMÉTRICAS sen cos tg sen cos tg 1º 0,017 1,000 0, º 0,719 0,695 1,036 º 0,035 0,999 0, º 0,731 0,68 1,07 3 º 0,05 0,999 0,05 48 º 0,743 0,669 1,111 4 º 0,070 0,998 0, º 0,755 0,656 1,150 5 º 0,087 0,996 0, º 0,766 0,643 1,19 6 º 0,105 0,995 0, º 0,777 0,69 1,35 7 º 0,1 0,993 0,13 5 º 0,788 0,616 1,80 8 º 0,139 0,990 0, º 0,799 0,60 1,37 9 º 0,156 0,988 0, º 0,809 0,588 1, º 0,174 0,985 0, º 0,819 0,574 1,48 11 º 0,191 0,98 0, º 0,89 0,559 1,483 1 º 0,08 0,978 0,13 57 º 0,839 0,545 1, º 0,5 0,974 0,31 58 º 0,848 0,530 1, º 0,4 0,970 0,49 59 º 0,857 0,515 1, º 0,59 0,966 0,68 60 º 0,866 0,500 1,73 16 º 0,76 0,961 0,87 61 º 0,875 0,485 1, º 0,9 0,956 0,306 6 º 0,883 0,469 1, º 0,309 0,951 0,35 63 º 0,891 0,454 1, º 0,36 0,946 0, º 0,899 0,438,050 0 º 0,34 0,940 0, º 0,906 0,43,145 1 º 0,358 0,934 0, º 0,914 0,407,46 º 0,375 0,97 0, º 0,91 0,391,356 3 º 0,391 0,91 0,44 68 º 0,97 0,375,475 4 º 0,407 0,914 0, º 0,934 0,358,605 5 º 0,43 0,906 0, º 0,940 0,34,747 6 º 0,438 0,899 0, º 0,946 0,36,904 7 º 0,454 0,891 0,510 7 º 0,951 0,309 3,078 8 º 0,469 0,883 0,53 73 º 0,956 0,9 3,71 9 º 0,485 0,875 0, º 0,961 0,76 3, º 0,500 0,866 0, º 0,966 0,59 3,73 31 º 0,515 0,857 0, º 0,970 0,4 4,011 3 º 0,530 0,848 0,65 77 º 0,974 0,5 4, º 0,545 0,839 0, º 0,978 0,08 4, º 0,559 0,89 0, º 0,98 0,191 5, º 0,574 0,819 0, º 0,985 0,174 5, º 0,588 0,809 0,77 81 º 0,988 0,156 6, º 0,60 0,799 0,754 8 º 0,990 0,139 7, º 0,616 0,788 0, º 0,993 0,1 8, º 0,69 0,777 0, º 0,995 0,105 9, º 0,643 0,766 0, º 0,996 0,087 11, º 0,656 0,755 0, º 0,998 0,070 14,301 4 º 0,669 0,743 0, º 0,999 0,05 19, º 0,68 0,731 0, º 0,999 0,035 8, º 0,695 0,719 0, º 1,000 0,017 57,90 45 º 0,707 0,707 1, º 1,000 0,000 CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG CAMPUS OURO PRETO

17 18) Encontre o vlor de x em cd cso: ) c) d) b) MATEMÁTICA I 17 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

18 e) ABCD é um qudrdo 0) Afim de estimr ltur de um montnh, um topógrfo, munido de um teodolito e um tren, fez lgums medições e montou o digrm bixo. Determine ltur h d montnh. 19) Um pesso se posicion 10m de um prédio no mesmo plno horizontl de su bse e olh pr o topo sob um ângulo de 60º. Qul ltur do prédio? CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG CAMPUS OURO PRETO

19 1) Um frdo de limentos será entregue pr hbitntes de um região de difícil cesso por um helicóptero conforme figur bixo. No momento em que o frdo tinge o solo, o cbo que si do helicóptero e sustent o frdo está esticdo e perpendiculr o plno que contém os pontos A, P e B. Sbe-se que o helicóptero á vistdo do ponto A sob um ângulo de 30º e do ponto B sob um ângulo de 45º. Sbe-se tmbém que medid do ângulo APˆB 90º e que distânci entre A e B é de 100 metros. Qul ltur do helicóptero? MATEMÁTICA I 19 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

20 ) A prtir de um ponto, observ-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30º. Cminhndo 3m em direção o prédio, tingimos um outro ponto de onde se vê o todo do prédio segundo um ângulo de 60º. Considerndo que o observdor tem 1,7 metros de ltur, qul ltur do prédio? 3) Um rmp pln de 36 metros de comprimento fz um ângulo de 30º com o plno horizontl. Um pesso que sobe rmp inteir elev-se, verticlmente, quntos metros? CÁSSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

21 4) N figur bixo o segmento CE mede 80cm. Qul o comprimento de BC? 5) No triângulo bixo, determine s rzões que se pede: sen P = sen Q = cos P = cos Q = tg P = tg Q = 6) Observndo o triângulo d questão cim, o que podemos dizer sobre os ângulos Pˆ e Qˆ? MATEMÁTICA I 1 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

22 7) Você deve ter notdo que, no triângulo d questão 6, tínhmos que senpˆ cosqˆ e senqˆ cospˆ. Isso sempre contecerá com ângulos que somm 90º. Bsedo nest idei, qunto vle k n expressão: sen k cos 1 º sen º sen88º sen89º 1 º cos º cos88º cos89º ATIVIDADES COMPLEMENTARES Págs. 1 e 13 Exercícios 6 10 Págs. 14 e 15 Exercícios Págs.16 e 17 Exercícios 1 6 CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 RESPOSTAS 1) 1 cm e 7 cm ) ) b) e e 5 3) 4 cm 4) 10cm 5 5) 13 metros e 6) 5, 0 e 15. e f f ) Alguns sites onde você pode encontrr demonstrções: p/teorem.html com/014/0/0/demonstrcodo-teorem-de-pitgors/ 8) ) x = b) x 3,8 c) x 17,11 9) 10) cosbˆ cosĉ 149 Bˆ 55º tg Bˆ 10 e tgĉ senbˆ senĉ 149 Ĉ 35º ) sen 0, 95 e 6, 3 13) ) x, 34 b) x 4, 76 c) x, 61 14) ) x 67º b) x 9º c) x 45º 15) 16) ) Perímetro 10, 98 18) ) 6 b) 3 c) 4 19) 17,3 metros 0) 16,39 metros 1) 50 metros. ) 19,91 metros 3) 18 metros 4) 10 cm 5) p senpˆ r q cospˆ r p tgpˆ q 6) Pˆ Qˆ 90º 7) k = 1 d) 60 º e) q senqˆ r p cosqˆ r q tgqˆ p 11) 13 sen x, tg x 4 e x 64º 39 3 MATEMÁTICA I 3 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

24 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA IEZZI, Gelson e outros; Mtemátic, Volume único. São Pulo, Atul, 00. IEZZI, Gelson e outros; Fundmentos d Mtemátic Elementr, Volume 1. São Pulo, Atul, 5ª edição, PAIVA, Mnoel; Mtemátic; Volume 1. São Pulo, Modern, Links dos vídeos sugeridos Pág.4 es-metrics-no-tringulo-retngulo/ Pág es-fundmentis-d-trigonometri/ Pág. ometri-do-tringulo-retngulo/ CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO