Material Teórico - Módulo Teorema de Pitágoras e Aplicações. Algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras - Parte 2. Nono Ano

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1 Mteril Teórico - Módulo Teorem de itágors e plicções lgums demonstrções do Teorem de itágors - rte 2 Nono no utor: rof. Ulisses Lim rente Revisor: rof. ntonio minh M. Neto 27 de ril de 2019

2 1 lgums plicções simples Inicimos est ul presentndo lgums relções geométrics simples, s quis são plicções direts do Teorem de itágors. Eemplo 1. Sej um triângulo equilátero de ldo l e ltur h. Então h = l 3 2. Solução. Sej H o pé d perpendiculr o ldo, pssndo por (vej figur seguir). Então H é um triângulo retângulo cujos ctetos medem h e l 2 e cuj hipotenus mede l. esse modo, utilizndo o Teorem de itágors, otemos: ( ) 2 l l 2 = +h 2 = l h2 = h 2 = l 2 l2 4 = h 2 = 3l2 2 = h = l 3 2. h H l Eemplo 2. Sej um qudrdo de ldo l e sej d medid d su digonl. Então d = l 2. Solução. Suponhmos, sem perd de generlidde, que s digonis do qudrdo são e. Então, é um triângulo retângulo cujos ctetos medem l e cuj hipotenus mede d (vej próim figur). ssim, d 2 = l 2 +l 2 = d 2 = 2l 2 = d = l 2. Vejmos mis lgums plicções do Teorem de itágors: Eemplo 3. Sej um retângulo de digonis e e um ponto em seu interior. Mostre que l d = Solução. Sejm H 1, H 2, H 3 e H 4, respectivmente, ospés ds perpendiculres idsde os ldos,, e (vej figur io). H 4 z rsimplificr notção, denotemos H 1 =, H 2 = y, H 3 = z e H 4 = w. esse modo, o triângulo H 1 é retângulo, com ctetos e hipotenus medindo, respectivmente,, z e. Logo, pelo Teorem de itágors, H 1 H 3 2 = 2 +z 2. Oservndo, n mesm figur, os triângulos retângulos H 1, H 2 e H 3, vemos que rgumentos nálogos w y H mtemtic@omep.org.r

3 o nterior nos permitem concluir que e í, segue que 2 = 2 +y 2, 2 = y 2 +w 2 2 = z 2 +w = ( 2 +z 2 )+(y 2 +w 2 ) = ( 2 +y 2 )+(z 2 +w 2 ) = Eemplo 4. s digonis do qudrilátero desenhdo n figur io são perpendiculres. São ddos = 8, = 20 e = 25. Encontre medid do ldo. 8 Solução. Sejm r e s rets prlels à digonl, pssndo por e, respectivmente, e t e u rets prlels à digonl, pssndo por e, tmém respectivmente (compnhe n figur seguir). enotemos por = r t, Q = r u, R = s u, S = s t e K = Vej que r, t e, logo, r t. nlogmente, temos r u, s t e s u. ssim, QRS é um retângulo. Utilizndo o mesmo rciocínio, concluímos que os qudriláteros K, KQ, KR e KS tmém são retângulos. Logo, K = = 8, pois K e são s digonis do retângulo K e, nlogmente, KQ = = 20, KR = = 25 e KS = =. S t 8 K ortnto, utilizndo o resultdo visto no eemplo nterior, otemos: K 2 +KR 2 = KS 2 +KQ 2 = = u Q R = 2 = = 2 = 289 = = recíproc do Teorem de itágors Nest seção, presentmos recíproc do Teorem de itágors: roposição 5. Se, e c são números reis positivos que stisfzem 2 = 2 +c 2, então, e c são s medids dos ldos de um triângulo retângulo em, com =, = e = c. rov. e fto, como 2 = 2 +c 2, otemos e 2 < 2 +c 2 = 2 = < < +c, c 2 < 2 +c 2 = 2 = c < < + 2 = 2 +c 2 < 2 +c 2 +2c = (+c) 2 = < +c. ortnto, podemos considerr um triângulo tl que =, = e = c. gor, podemos construir, tmém, um triângulo, retângulo em, tl que = e = c. Um vez feito isso, o Teorem de itágors fornece r s 2 mtemtic@omep.org.r

4 c c 2 = 2 +c 2. Ms, como 2 = 2 + c 2, concluímos que 2 = 2, ou sej, =. ortnto, os triângulos e são congruentes (pelo cso LLL), de sorte que  =  = 90. Logo, é retângulo em. 3 fórmul de Herão Nest seção, revisitmos um importnte resultdo sore áres, conhecido como fórmul de Herão, qul permite o cálculo d áre de um triângulo conhecendo somente s medids dos seus ldos (e não um ldo e o comprimento d ltur correspondente ele). No módulo Áres de figurs lns, provmos fórmul de Herão utilizndo Lei dos ossenos. ess vez, el será ordd utilizndo somente o Teorem de itágors. Teorem 6 (Fórmul de Herão). áre de um triângulo cujos ldos medem =, = e = c é dd pel fórmul [] = p(p )(p )(p c), em que p = ++c 2 é o semiperímetro de. rov. omo tem pelo menos dois ângulos gudos, podemos supor < 90 e Ĉ < 90. ess form, o pé H d ltur id de à ret suporte do ldo c m H h m está situdo sore o ldo. enotndo h = H e m = H, temos H = m (vej figur). plicndo o Teorem de itágors o triângulo H, otemos c 2 = m 2 +h 2, o que crret m 2 = c 2 h 2 e h 2 = c 2 m 2. or outro ldo, outr vez plicndo o Teorem de itágors, ms gor o triângulo H, e fzendo s sustituiçõesh 2 = c 2 m 2 e m 2 = c 2 h 2, lémdelgums mnipulções lgérics, otemos 2 = h 2 +( m) 2 = 2 = c 2 m m+ m 2 = 2m = 2 +c 2 2 = (2m) 2 = ( 2 +c 2 2) 2 = 4 2 (c 2 h 2 ) = ( 2 +c 2 2) 2 = 4 2 c h 2 = ( 2 +c 2 2) 2 = (2h) 2 = (2c) 2 ( 2 +c 2 2) 2 = (2h) 2 = (2c+ 2 +c 2 2 )(2c 2 c ) = (2h) 2 = ( (+c) 2 2)( 2 ( c) 2) = (2h) 2 = ((+c)+)((+c) ) (+( c))( ( c)) = (2h) 2 = (++c)( +c) (+ c)( ++c) = (2h) 2 = 2p (2p 2) (2p 2c) (2p 2) = (2h) 2 = 16p(p )(p c)(p ) = 2h = 4 p(p )(p c)(p ) = h 2 = p(p )(p c)(p ). Ms h 2 é precismente áre de. ics pr o rofessor Recomendmos que sejm utilizds dus sessões de 50min pr epor todo o conteúdo deste mteril. Suhttp://mtemtic.omep.org.r/ 3 mtemtic@omep.org.r

5 gerimos os professores que, ntes de presentrem demonstrção d fórmul de Herão como consequênci do Teorem de itágors, incentivem os lunos relemrrem demonstrção que foi presentd utilizndo Lei dosossenos. hmemtençãodoslunosproftode que demonstrção d recíproc do Teorem de itágors utiliz o próprio teorem. lguns lunos podem ficr confusos com isso, ms eplique que esse procedimento é correto do ponto de vist lógico, pois o Teorem de itágors, um vez que já foi demonstrdo, pode ser utilizdo pr provr qulquer outro teorem, inclusive o seu recíproco. s referêncis listds io presentm outrs demonstrções do Teorem de itágors. Sugestões de Leitur omplementr 1. E. L. Lim. Meu rofessor de Mtemátic e Outrs Históris. Rio de Jneiro, Editor S..M., minh. Tópicos de Mtemátic Elementr, Volume 2: Geometri Euclidin ln. Rio de Jneiro, Editor S..M., mtemtic@omep.org.r