GABARITO. Matemática D 16) D. 12z = 8z + 8y + 8z 4z = 2x + 2y z = 2z+ 2y z = 2x x z = = 1 2 = ) C

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1 GRITO temátic tensivo V. ercícios 0) ) 40 b) 0) 0) ) elo Teorem de Tles, temos: b) elo Teorem de Tles, temos: 4 7 prtir do Teorem de Tles, temos: ,8 48, 48 6 : 9 6, + 4,8 + 9,8 prtir do Teorem de Tles: ) 9 b 5 c 06) elo Teorem de Tles: ) 08) prtir do Teorem de Tles: z z z w w w 9 00 ltur ltur elo Teorem de Tles: + b+ c b 5 b c 7 c 05) elo Teorem de Tles: + 4 4, como + 4, temos ) issetriz temátic

2 GRITO 0) Sbemos que som dos ângulos internos de um triângulo é 80 e que o suplemento de um ângulo α é 80 α. ) 0 elo Teorem de Tles, temos: 45, 6, e sbemos que + 6, portnto , 6, 4,5(6 ) 6, 45( 6 ) , ,(...) 560 rte inteir é 4 Temos que Sendo  ) 40 ) omo é bissetriz do ângulo Â, temos: 94 + α α α 80 94,5 α 64,5 Note que é medin do Δ, que é retângulo, e medid d medin de um triângulo retângulo reltiv à hipotenus é igul à metde d hipotenus. 40 4) 5) 50 Temos 40, 50 em um triângulo. ortnto, 90, pois Note que s lturs reltivs os vértices e são os ctetos do triângulo, portnto o ângulo formdo entre eles é 90. Temos Δ retângulo em e medin. medid d medin de um triângulo retângulo reltiv à hipotenus é igul à metde d hipotenus. ssim,. ntão Δ é retângulo e 60. Logo, H 0 ortnto: e então Δ é isósceles e tmbém. No Δ H temos H 80 H 50. ssim, no Δ, R omo R é bissetriz do ângulo  90, temos: R R R + 0 temátic

3 GRITO 6) 6 6 Usndo semelhnç entre os triângulos e, temos: z 8z z 4z + z z+ z +. z z 0 0 8) 9) H si do vértice e form um ângulo de 90 o ldo oposto, logo H é ltur. divide o ângulo  o meio, logo é bissetriz. si do vértice e intercept o ldo oposto em seu ponto médio, logo é medin. m é um ret que divide o ldo o meio e form 90 com o ldo, portnto m é meditriz. plicndo o teorem d bissetriz no triângulo, temos: Logo, + 0 7) F 8 Z Teorem d bissetriz intern: Teorem d bissetriz etern: z z 0. Verddeiro. é o bricentro desse triângulo. omo semiret pss pelo bricentro, então el intercept o ldo em seu ponto médio. 0. Verddeiro. omo prte de um vértice do triângulo e divide o ldo oposto o meio, então é medin. 04. Verddeiro. É n intersecção de dus medins, logo é o bricentro do triângulo. 08. Verddeiro. bse do triângulo é metde d bse do triângulo. omo é bricentro, ltur do triângulo menor está pr do mior ssim como está pr. Logo, h H. H b. h.. H. 6 Áre do triângulo temátic

4 GRITO 6. Verddeiro. Vej que os triângulos e têm s sus bses congruentes e tmbém mesm ltur. ortnto sus áres são iguis. ct. op ) sen α sen α hipot. b) omo sen α, então α 0 e, consequentemente, 0. 0) h 0 Lei dos cossenos: +... cos ( cos 60 ) 5 4. ( ) itágors: h h h 675 h 5 0 O. 5 0 / / c) ltur reltiv o ldo deve sir do vértice e formr um ângulo de 90 com o ldo ou seu prolongmento. 0 H h omo o triângulo é equilátero, O O O, logo O 0. ) ) b) 7 c) d) d) sen 0 h 4 h 4 h Δ. b. sen Δ.sen Δ..sen 0 Δ 4 temátic

5 GRITO ) 4) Q + 6 r ) Verddeiro. o tomr um ponto sobre r, verific-se que Δ é isósceles e, portnto,. b) Verddeiro. O ponto de encontro ds meditrizes de um triângulo é o circuncentro. c) Verddeiro. meditriz é o conjunto de todos os pontos de um plno que equidistm de e respectivmente. Se um ponto não pertence à meditriz de um segmento, esse ponto não equidist dos etremos do segmento. d) Flso. s meditrizes de um triângulo se encontrm num mesmo ponto denomindo circuncentro. e) Verddeiro. iste um únic meditriz em um ddo segmento. 5 Semelhnç: omo + 6, então 6. 5) 9 Semelhnç: ) esiguldde tringulr: b < c < + b ss é condição pr que três segmentos formem triângulo. plicndo desiguldde no triângulo (II), temos: ( + ) ( + 8) < + < ( + ) + ( + 8) 5 < + < + 5 < + < + < < + 8 om >, o menor inteiro que pode ssumir é ) + 9 el semelhnç de triângulos temos: 6 lrgur lrgur ,8 m temátic 5

6 GRITO 7) 4 el semelhnç de triângulos: ) or semelhnç: F FG,, 4,4 66, 5, 66,,5,, 8,8 5, 5, + + 6,6 + 4,4 + 8,8 9,8 9) poste or semelhnç de triângulos: 0 06, 06, bstão m m 0,6 m 0) erímetro do primeiro triângulo: dm. Sej o perímetro do triângulo procurdo, então: dm 6 temátic

7 GRITO ) 4) / árvore b vssour,5 m 6 m m or semelhnç de triângulos: , 4 m 5, or semelhnç de triângulos: / b b b ) or semelhnç de triângulos: ,5 cm 5) 6 cm 4 6 cm +, ,5 cm 5 cm ) 0 or semelhnç de triângulos: O mior ldo é ) 0 or semelhnç de triângulos: , omo podemos observr, o comprimento dos degrus é n verdde 5 termos consecutivos de um, em que o º termo é 0, o 5º termo 5 60 e n 5. Logo, som desses comprimentos é dd por: ( ). ( ).. S cm temátic 7

8 GRITO 7) X k ' 6 ' R Vmos igulr s áres de Tico e Teco. omo k +, concluímos que X. Áre hchurd: k k + Áre brnc: Áre hchurd áre brnc: k k + 6 k + Vmos pensr no triângulo retângulo XR: omo 6 e X, temos que: R X R 6 R 4 X R + XR X 4 + X 5 X 5 8) 8 c 0 cm H b 4 cm 0. Flso. + b + c 54 cm c 54 cm + c 0 cm 0. Flso. No triângulo H, o ângulo H é obtuso, enqunto no triângulo H não há ângulos obtusos. Logo, eles não são semelhntes. 04. Verddeiro. omo H //, e sej Ê α, temos que Ê H (colteris). Tmbém sbemos que H é bissetriz do triângulo, logo H H α. lém disso, H α (lternos internos). ortnto, concluímos que Ê α. 08. Verddeiro. elo teorem d bissetriz intern: c 4c 0 e c 0 0 c 4c 0(0 c) 4c 00 0c 4c 00 c 00,5 cm 4 6. Verddeiro. No item 04, mostrmos que Ê, logo o triângulo é isósceles e. 8 temátic

9 GRITO 9) 4) Um triângulo equilátero é tmbém isósceles, pois um triângulo isósceles tem dois ldos iguis, condição est que é stisfeit no triângulo equilátero. H 4) 6 H H ) H No triângulo H H temos: α + α α 90 α 0 h, / Trçmos ltur do triângulo equilátero prtir do vértice. ortnto, temos dois triângulos retângulos, sendo comum os dois. Logo, são triângulos semelhntes. Sej h e h' s lturs dos triângulos mior e menor respectivmente. No triângulo equilátero temos: sen 60 h h h' or semelhnç: h h.,8 h h 8, h 0 5 6, 6 6,8 4) 7 omo em um prlelogrmo s digonis se dividem o meio, temos: 5 0 e e ) 6 cm h diferenç d medid ds bses é dd por +, ou sej: 4 tg 60 h h h. 6 cm 45) I. Flso. odemos pensr em um losngo. le tem dois ângulos gudos que são opostos. Logo, som desses ângulos não é 80. II. Verddeiro. Os ângulos opostos de um prlelogrmo são iguis, logo seus ângulos consecutivos são suplementres. III. Verddeiro. or definição, o losngo possui ldos opostos prlelos e digonis que se interceptm perpendiculrmente no ponto médio um d outr. temátic 9

10 GRITO 46) 49) h 4 Q F áre do retângulo é dd por: 4. h 8. h 7 Temos que ltur do triângulo Q é, ou sej, h. Logo, su áre é h. h. 7,5 cm 47) plicndo itágors no triângulo encontrremos 0. Sej e, então e F. Sbemos que áre do retângulo é igul à som d áre hchurd mis s áres dos triângulos F e. T hchurd + Δ F + Δ Áre do retângulo ) Temos que os triângulos e são semelhntes, logo: b 50) s áres são iguis. G 0 H F + b 4 4 b + b 0 (4 b) + b b + b + b 00 b 8b b 4b b 6 b 8 Se ligrmos os pontos G e H F formremos 4 qudrdos iguis de mesm áre, sendo cd um desses qudrdos dividido em dois triângulos de mesm áre, um brnco e um hchurdo. ortnto, superfície brnc e hchurd têm mesm áre.. b temátic

11 GRITO 5) 5) R$ 868, áre totl do fosso é dd pel som ds áres dos triângulos destcdos em vermelho mis som ds áres dos qudrdos em brnco. T 4. (00. 0) + 4. (0. 0) T T T 8400 m 0 s medids d plnt d sl são cm.,5 cm. ortnto, medid rel é: cm 7 m; 5, 00 b 400 cm 4m; b O rodpé é ddo pelo perímetro d sl, ou sej: (7 + 4). m m. 4 R$ 08,00. O crpete é ddo pel áre d sl, ou sej: R$ 560,00 Gsto totl: R$ 868,00 quntidde de monstros é dd por: ,0 84. Temos 84 monstros, ou sej, 84 scos pr serem consumidos. 5) H G F plicndo itágors temos que: + ( + b ). h ( + + ). ( + ) ( + ) ) Seprndo figur em 6 triângulos retângulos congruentes, percebemos que s figurs 4, 6 e 7 possuem mesm áre. N figur 7 descobrimos que ess áre é: l l l bh.. 4 l. 8 temátic

12 GRITO 55) 56) 4 erímetro: ( 4 + ) < 400 ( 4) < < < 408 < 68 58) Sejm d e d s digonis desse losngo. d + d 6 d 6 d áre é dd por: d. d ( 6 d). d d 6d d + + d escobrimos que áre do losngo é dd trvés de um função de º gru, qul represent um prábol com cvidde voltd pr bio. Logo, áre máim é dd pelo do vértice. Yv ( ) 9 4,5 m ) 6 F ) 8 Áre do psseio é: b. h. 6 m Temos que o triângulo é semelhnte o triângulo F. 6 F 6 F F F 9 F 6 6F 8 F plicndo lei dos cossenos no triângulo F: F + F.. F. cos 0 F +... ( ) F F 9 4,5 Temos que F F. 4,5 8,7 erímetro F + + F + F ,7 + 4,7 60) Logo, F 0 5 omo Δ F é equilátero, trçndo ltur reltiv o vértice F, teremos o ldo dividido o meio. 0 m N 5 m Sbemos que áre do triângulo bh m omo N N e ltur dos triângulos Δ, ΔN e ΔN é mesm, então s áres desses triângulos são iguis. Áre ΔN m temátic

13 GRITO 6) 4 0. Flso. O qudrilátero não possui um pr de ldos prlelos. 0. Verddeiro. Sendo o triângulo isósceles e o ângulo medindo 60, então o triângulo é equilátero. 04. Verddeiro. omo o triângulo é isósceles, então  45. O ângulo   +  Verddeiro. áre S do qudrilátero é igul som ds áres dos triângulos (equilátero) e (retângulo isósceles), logo: S l l l + l l + ( + ) Flso. No triângulo, isósceles, por um ds proprieddes dos triângulos, temos < l. ividindo os dois membros d desiguldde pel medid, tem-se < l l ntão se é flso, < <. <. 6) X Y U N V Sbemos que Y e Z são medins do triângulo ZXY. ortnto, U é o ponto de encontro ds medins e, como o triângulo ZXY é isósceles (YX XZ), podemos firmr que os triângulos ΔYUX, ΔXUZ e ΔYUZ possuem mesm áre. áre do triângulo YXZ bh m. Logo, áre do triângulo YUZ 7 4 m. áre do triângulo YVZ é igul à do triângulo YUZ. ortnto, áre do qudrilátero ZUYV é som ds áres de ΔYVZ e ΔYUZ, ou sej, m. W O Z temátic

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