Geometria plana. Resumo teórico e exercícios.

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1 Geometri pln. Resumo teórico e eercícios. 3º olegil / urso tensivo. utor - Lucs ctvio de Souz (Jec)

2 Relção ds uls. Págin ul 01 - onceitos iniciis... 0 ul 0 - Pontos notáveis de um triângulo ul 03 - ongruênci de triângulos... 8 ul 04 - Qudriláteros notáveis ul 05 - Polígonos conveos ul 06 - Ângulos n circunferênci... 6 ul 07 - Segmentos proporcionis ul 08 - Semelhnç de triângulos ul 09 - Relções métrics no triângulo retângulo ul 10 - Relções métrics num triângulo qulquer ul 11 - ircunferênci e círculo ul 1 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulres ul 13 - Áres ds figurs plns onsiderções geris. ste estudo de Geometride Pln tem como objetivo complementr o curso que desenvolvo com os lunos de 3º olegil e de curso pré-vestibulr. Não tem pretensão de ser um obr cbd e, muito menos, perfeit. utorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessrem pelo mteril, desde que mntenhm minh utori e não tenhm lucro finnceiro com o mteril. Peço, entretnto que me comuniquem sobre o uso. ss comunicção me drá sensção de estr contribuindo pr judr lguém. Peço todos, que perdoem eventuis erros de digitção ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, pr que poss corrigí-los e melhorr este trblho. Meu e-mil - jecjec@uol.com.br Um brço. Jec (Lucs ctvio de Souz) Jec 01

3 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 01 onceitos iniciis de Geometri Pln. I) Ret, semirret e segmento de ret. II) Ângulo. - ldo - ldo - vértice ângulo ou ângulo ret semirret segmento semirret efinições. ) Segmentos congruentes. ois segmentos são congruentes se têm mesm medid. b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento se pertence o segmento e divide em dois segmentos congruentes. c) Meditriz de um segmento. É ret perpendiculr o segmento no seu ponto médio efinições. ) Ângulo é região pln limitd por dus semirrets de mesm origem. b) Ângulos congruentes. ois ângulos são ditos congruentes se têm mesm medid. c) issetriz de um ângulo. É semirret de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. II) Uniddes de medid de ângulo. ) Gru. medid de um volt complet é 360º. 1º = 60' 1' = 60" º - gru ' - minuto " - segundo IIb) lssificção dos ângulos. = 0º - ângulo nulo. 0º < < 90º - ângulo gudo. = 90º - ângulo reto. 90º < < 180º - ângulo obtuso. = 180º - ângulo rso. b) Rdino. medid de um volt complet é p rdinos. Um rdino é medid do ângulo centrl de um circunferênci cujo comprimento do rco correspondente é igul o comprimento do rio d circunferênci. efinições. ) Ângulos complementres. É o pr de ângulos cuj som ds medids é 90º. b) Ângulos suplementres. É o pr de ângulos cuj som ds medids é 180º. IIc) Ângulos formdos por dus rets prlels cortds por um ret trnsversl. r r // s b c d t ) Ângulos correspondentes (mesm posição). eemplo - b e f. Propriedde - são congruentes. b) Ângulos colteris (mesmo ldo). eemplo de colteris internos - h e c. eemplo de colteris eternos - d e g. Propriedde - são suplementres (som = 180º) s f e g h c) Ângulos lternos (ldos lterndos). eemplo de lternos internos - b e h. eemplo de lternos eternos - e g. Propriedde - são congruentes. Jec 0

4 III) Triângulos. vértice ldo e i i - ângulo interno e - ângulo eterno Num mesmo vértice, tem-se i + e = 180º Ângulo eterno. ângulo eterno de qulquer polígono conveo é o ângulo formdo entre um ldo e o prolongmento do outro ldo. lssificção dos triângulos. ) qunto os ldos: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escleno. b) qunto os ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo cutângulo. Proprieddes dos triângulos. b 1) m todo triângulo, som ds medids dos 3 ângulos internos é 180º. b ) m todo triângulo, medid de um ângulo eterno é igul à som ds medids dos ângulos internos não djcentes. g + b + g = 180º e e = + b e 3 e 1 e 3) m todo triângulo, som ds medids dos 3 ângulos eternos é 360º. e + e + e = 360º 1 3 4) m todo triângulo isósceles, os ângulos d bse são congruentes. bservção - bse de um triângulo isósceles é o seu ldo diferente. ercícios. 01) fetue s operções com grus bio solicitds. ) 48º 7' 39" + 17º 51' 4" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 (68º 3' 54") b) 106º 18' 5" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 6' 1" f) 3 (71º 3' 5") Jec 03

5 g) 15º 39' 46" 4 h) 118º 14' 5" 3 i) 15º 1' 5" 5 j) 90º 13 0) etermine o ângulo que é o dobro do seu complemento. 03) etermine o ângulo que ecede o seu suplemento em 54º 04) etermine o ângulo cuj diferenç entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igul 54º. 05) ois ângulos são suplementres. menor é o complemento d qurt prte do mior. etermine s medids desses ângulos. 06) s medids de dois ângulos somm 14º. etermine esses ângulos sbendo que o suplemento do mior é igul o complemento do menor. 07) etermine um ângulo sbendo que o suplemento d su quint prte é igul o triplo do seu complemento. Jec 04

6 08) m cd figur bio, determine medid do ângulo. ) b) r 116º r // s s 41º c) d) (Tente fzer de outr mneir) r r 53º r // s 53º r // s 39º s 39º s e) f) r 55º r // s r 35º 6º s 40º 38º s 47º g) h) r 8º r // s 54º s 88º 1º 16º i) j) = 73º 11º 143º k) = l) 46º 158º 38º 67º Jec 05

7 09) figur bio mostr dois qudrdos sobrepostos. Qul é o vlor de + y, em grus? 10) N figur bio, estão representdos um triângulo equilátero e um retângulo. Sendo e y s medids dos ângulos ssinldos, determine som + y. y y 11) N figur bio, determinr + y + z + t. 1) N figur bio, determinr o vlor d som ds medids dos ângulos, y, z, t e u. 30º y y z t u z t 13) N figur bio, clcule o vlor de em função de m. 4m 3m m 14) (IM-SP) Sejm, b, g, l e q s medids em grus dos ângulos,,, e d figur, respectivmente. som + b + g + l + q é igul : ) 10º b) 150º c) 180º d) 10º e) 40º 15) (IT-SP) m um triângulo de ppel fzemos um dobr PT de modo que o vértice coincid com o vértice, e um dobr PQ de modo que o vértice coincid com o ponto R de P. Sbemos que o triângulo QR formdo é isósceles com RQ = 100º; clcule s medids dos ângulos internos do triângulo. 16) etermine, sbendo-se que é um retângulo e que e são pontos médios dos ldos e, respectivmente. Q R T 5º P Jec 06

8 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln onceitos iniciis de Geometri Pln. ercícios complementres d ul ) Ns figurs bio, determinr o vlor de. ) b) 43º r r 57º r //s s r // s s c) 45º r d) 45º r r // s r // s 6º s 6º s e) r 147º f) (Resolver de form diferente d letr c)) r // s 8º 16º r s 80º s r // s g) r h) r (Resolver de form diferente d letr g)) r // s 140º 65º r // s 140º 65º s s i) 4º 150º r j) 48º 150º r 5-1º r // s s 43º 40º r // s s k) 55º l) r r // s s 85º 135º Jec 07

9 m) r r // s t // u n) r r // s t // u s 43º t 58º s u t u o) p) 6º 5º 79º 67º q) r) 5º 1 81º s) 38º (Triângulo isósceles) = t) (Triângulo isósceles) = 138º u) = v) 15º y y 6º 98º ) = = 98º z) = = y y Jec 08

10 0) Ns figurs bio, determinr o vlor de. ) b) 37º 73º 116º 148º 4º 31º c) d) 34º 101º 38º bissetriz 18º 36º e) é o ponto de encontro ds 3 bissetrizes. f) e são bissetrizes. 40º 7º 4º g) h) 68º r r // s 60º s 5y 3y + 30º i) j) 9 43º 6 1 6º 60º k) é um qudrdo. l) 30º 118º Jec 09

11 m) = n) = = = e = 38º o) = = = = e = p) =, = e =. 44º q) é um triângulo equilátero r) e G é um qudrdo. é um triângulo equilátero e é um qudrdo. G s) é um triângulo equilátero t) e é um qudrdo. é um triângulo equilátero, G e são qudrdos. G u) e são triângulos v) equiláteros. = e =. 70º 65º ) = = = e =. z) = é bissetriz de  é bissetriz de Â. 38º Jec 10

12 03) N figur bio, determine, y e z. 04) N figur bio, determinr, y e z. 37º z y 4 z y 05) N figur bio, determinr, y, z e t. 06) N figur bio, sendo bissetriz do ângulo, determinr + y. 40º t 4 z y y 4 07) N figur bio, determinr o vlor de. 08) N figur bio, determinr o vlor do ângulo, sbendo-se que é bissetriz de, é bissetriz de e é bissetriz de. 57º 8º 09) N figur bio, determine os vlores de, y e z. z + 6º z - 84º y 10) eterminr os vlores de, y e z, sbendo que os mesmos formm um progressão ritmétic de rzão 10º. z y Jec 11

13 11) (UVST) N figur bio, determine o vlor de. t t // s s 10º 1) N figur bio, determinr o vlor d som + y + z + t + u + v, sbendo-se que é um triângulo inscrito no qudrdo. y z v 140º u t 13) N figur bio, = = =. etermine o vlor de. 14) N figur bio, = = e é bissetriz do ângulo. etermine o vlor de. 15) N figur bio, determine medid do ângulo em função de y. 16) (UVST) N figur, = =. etermine y em função de. 5y y y y 17) N figur bio mostre que vle relção : + b = c + d. r c b r // s 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. eterminr medid do ângulo gudo formdo pels bissetrizes dos outros dois ângulos internos. d s 19) Mostre que som ds medids dos ângulos eternos de um triângulo é 360º. e 0) N figur bio, determinr em função de y e de z. r y r // s e 1 z s e 3 Jec 1

14 1) N figur bio, o qudrdo é cortdo por dus rets prlels, r e s. om relção os ângulos e y podemos firmr que : ) = y b) = -y c) + y = 90º d) - y = 90º e) + y = 180º r s ) N figur bio, determinr o vlor d som ds medids dos ângulos, y, z, t e u. y z y u t 3) N figur bio, clcule o ângulo, sendo y o triplo de z e t o sêtuplo de z. 4) (UVST-SP) No retângulo bio, qul o vlor em grus de + y? z 40º y y 80º t 5) N figur bio, sendo bissetriz do ângulo Â, demonstre que vle relção z - y = - t. y z t 6) N figur bio, o ângulo mede 38º, é um retângulo e é congruente. medid do ângulo é : ) 38º b) 7º c) 18º d) 19º e) 71º 7) N figur bio, sendo //, determinr som ds medids dos ângulos, y e z. y z 8) eterminr medid do ângulo, sbendo-se que os triângulos e são isósceles e que o triângulo é equilátero. Jec 13

15 9) N figur bio, determine som ds medids dos ângulos, y, z, t, u e v. 30) N figur bio, determine som ds medids dos ângulos, y, z e t. v r y u r // s y z t s t z 31) N figur bio, determine som ds medids dos ângulos, y, z e t. y 3) Um retângulo de ppel é dobrdo de form que o vértice pertenç o ldo, conforme figur. Sendo dobr feit, clcule medid do ângulo, conhecendo medid de 140º do ângulo ssinldo. z 140º t 33) N figur, M = N, > y e s ret MN e interceptm-se em P. Mostre que o ângulo MP é igul 34) N figur bio, os ângulos, e medem respectivmente 30º, 80º e 30º. Sendo um dobr de tl form que o ldo é simétrico do ldo em relção, determine medid do ângulo. - y. M N P y 35) N figur, sendo congruente, congruente, clcule medid do ângulo, sbendo-se que = 48º. Jec 14

16 Jec 15

17 01) ) 176º 19' 1" b) 14º 05' 04" c) 8º 45' 16" d) 46º 47' 48" e) 73º 35' 36" f) 14º 11' 36" g) 31º 4' 56" h) 39º 4' 57" i) 5º 0' 34" j) 06º 55' 3" 0) 60º 03) 117º 04) 7º 05) 60º e 10º 06) 17º e 107º 07) 5º / 7 08) ) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47º f) 36º g) 6º h) 33º i ) 75º j) 34º k) 113º l) 53º 09) 70º 10) 40º 11) 10º 1) 180º 13) m 14) c 15) 70º, 80º e 30º 16) 5º Resposts dos eercícios d ul 01 Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil jecjec@uol.com.br Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 16

18 Resposts dos eercícios complementres d ul 01 01) ) 43º b) 13º c) 107º d) 107º e) 49º f) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49º k) 55º l) 130º m) 43º n) 1º o) 39º p) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96º u) 104º v) 46º ) 13º z) 108º 0) ) 48º b) 51º c) 9º d) 11º e) 18º f) 111º g) 4º h) 70º i) 40º/3 j) 45º k) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 0º p) 68º q) 30º r) 10º/3 s) 75º t) 60º u) 10º v) 60º ) 150º z) 116º 03) 143º, 37º e 143º 04) 36º, 18º e 144º 05) 0º, 60º, 80º e 60º 06) 100º 07) 33º 08) 19º 09) º, 44º e 110º 10) 50º, 60º e 70º 1) c ) 540º 3) 50º 4) 130º 5) demonstrção 6) d 7) 360º 8) 45º 9) 360º 30) 180º 31) 540º 3) 65º 33) demonstrção 34) 130º 35) 4º 11) 70º 1) 70º 13) 10º 14) 36º 15) = 8y 16) y = 3 17) demonstrção 18) 40º 19) demonstrção 0) = y - z Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil jecjec@uol.com.br Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 17

19 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 0 Pontos notáveis de um triângulo. ltur Segmentos notáveis do triângulo. medin meditriz Medin - É o segmento que une o vértice o ponto médio do ldo oposto. Meditriz - É ret perpendiculr o ldo do triângulo pelo seu ponto médio. issetriz - É semi-ret de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. bissetriz M ponto médio ltur - É distânci entre o vértice e ret suporte do ldo oposto. Todo triângulo tem: 3 medins 3 bissetrizes 3 meditrizes 3 lturs ricentro (G). É o ponto de encontro ds 3 medins do triângulo. Propriedde. bricentro divide cd medin em segmentos. segmento que contém o vértice é o dobro do segmento que contém o ponto médio do ldo oposto. (rzão : 1) bservção - s três medins dividem o triângulo originl em seis triângulos de mesm áre. S Áre de cd triângulo P S S S S G M S S N G =.GM G =.GN G =.GP ircuncentro (). É o ponto de encontro ds 3 meditrizes do triângulo. Propriedde. circuncentro é o centro d circunferênci circunscrit (etern) o triângulo. circuncentro é o ponto do plno eqüidistnte dos 3 vértices do triângulo. Pontos notáveis do triângulo - bricentro I - incentro - circuncentro - ortocentro Incentro (I). É o ponto de encontro ds 3 bissetrizes do triângulo. Propriedde. incentro é o centro d circunferênci inscrit (intern) no triângulo. incentro é o ponto do plno eqüidistnte dos 3 ldos do triângulo. g g b b I r r - rio d circunferênci inscrit. rtocentro (). É o ponto de encontro ds 3 lturs do triângulo. Propriedde. Não tem. h h meditriz h h h ponto médio h h R h R - rio d circunferênci circunscrit. Jec 18 ortocentro h

20 bservções. 1) bricentro e o incentro sempre estão loclizdos no interior do triângulo. ) circuncentro e o ortocentro podem estr loclizdos no eterior do triângulo. 3) Num triângulo isósceles, os qutro ponto notáveis (I: bricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão linhdos. meditriz medin bissetriz G I medin meditriz bissetriz ltur ltur 4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio d hipotenus. ortocentro R R hipotenus circuncentro Triângulo eqüilátero. (importnte) m todo triângulo eqüilátero, os qutro pontos notáveis (bricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão loclizdos num único ponto. l - ldo do triângulo eqüilátero. r - rio d circunferênci inscrit. R - rio d circunferênci circunscrit. h - ltur do triângulo. I l r r r l l R r h R = r e h = 3r 01) Sbendo-se que o ldo de um triângulo equilátero é 10 cm, determinr : ) ltur do triângulo. b) o rio d circunferênci inscrit no triângulo. c) o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. d) o que o ponto é do triângulo. l l R r h l 0) N figur bio, circunferênci de centro está inscrit no triângulo. Sbendo que o ângulo mede 33º e que o ângulo mede 56º, determine medid do ângulo. 03) N figur bio, circunferênci de centro está inscrit no triângulo. Sbendo que o ângulo mede 16º, encontre medid do ângulo. Jec 19

21 04) N figur bio, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizndo o qudriculdo, trçr s três medins, s três meditrizes, s três bissetrizes e s três lturs e determinr o bricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo. I 05) Sbendo-se que ltur de um triângulo equilátero é 3 cm, determinr : ) o rio d circunferênci inscrit no triângulo. b) o rio d circunferênci circunscrit o triângulo. c) o ldo do triângulo. R l l r h l 06) N figur bio, os pontos, e G são os pontos médios dos ldos do triângulo. Se =, = y, = z, G = 3w, = 3k e = 3n, determine o perímetro do triângulo G, em função de, y, z, w, k e n. 07) N figur bio, é o ortocentro do triângulo. etermine medid do ângulo sbendo que os ângulos e medem, respectivmente, 58º e 70º. G Jec 0

22 Ru 08) N figur bio, é o ortocentro do triângulo equilátero. Sbendo que = k, determine, em função de k, s medids dos segmentos, e. 09) Um tesouro foi enterrdo num cmpo berto e o mp d loclizção fz menção três grndes árvores do locl. tesouro foi enterrdo no terceiro vértice de um triângulo, onde o jtobá é o primeiro, sibipirun é o segundo e perob é o ortocentro do triângulo. omo é possível loclizr o tesouro no locl? Sibipirun Perob Jtobá 10) triângulo d figur tem áre 10 cm. Sendo = = e = G = G, vlie se s firmções bio são verddeirs (V) ou flss (). G 11) No triângulo bio,, e são os pontos médios dos respectivos ldos. Sendo 30º medid do ângulo, = 14 cm e = 1 cm, determine: ) áre do triângulo ; b) áre do triângulo G; c) áre do qudrilátero G. ( ) G é o bricentro do triângulo. ( ) áre do triângulo é 40 cm. ( ) áre do triângulo G é 40 cm. G 1) Joel, Pedro e Mnoel morm em sus respectivs css, sendo que s cs não são colineres e estão loclizds n mesm fzend. les desejm brir um poço de modo que ele fique à mesm distânci ds três css. Supondo que fzend é pln, com seus conhecimentos de geometri, que sugestão poderi dr eles? Justifique o seu rciocínio. 13) prefeitur de um cidde mndou colocr, n prç centrl, um estátu em homengem Tirdentes. escubr, n plnt seguir, em que locl ess estátu deve ser colocd, sbendo que el deverá ficr um mesm distânci ds três rus que determinm prç. Ru 1 Ru 3 Jec 1

23 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln Pontos notáveis de um triângulo. ercícios complementres d ul 0. 01) Sbendo-se que o ldo de um triângulo equilátero é k, determinr : ) ltur do triângulo; b) o rio d circunferênci inscrit no triângulo; c) o rio d circunferênci circunscrit o triângulo; d) o que o ponto é do triângulo. k k R r h k 0) Sbendo-se que o rio d circunferênci circunscrit de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinr : ) o rio d circunferênci inscrit no triângulo; b) ltur do triângulo; c) o ldo do triângulo; d) o perímetro do triângulo; e) o que o ponto é do triângulo. l l l R h r 03) N figur, G e, dividem o ângulo em três ângulos congruentes. mesm form, e, dividem o ângulo em três ângulos congruentes. ssinle lterntiv corret. 04) (Unifesp) Num circunferênci de rio R > 0 e centro considerm-se, como n figur, os triângulos equiláteros T, inscrito, e T, circunscrito. etermine 1 rzão entre ltur de T e ltur de T. 1 T S P T 1 R G Q R ) P é incentro de lgum triângulo construído n figur. b) Q é incentro de lgum triângulo construído n figur. c) R é incentro de lgum triângulo construído n figur. d) S é incentro de lgum triângulo construído n figur. e) Nenhum ds lterntivs nteriores é verddeir. Jec

24 05) N figur bio, os pontos M, N e P são médios dos ldos que pertencem. Provr que G é o bricentro do triângulo e que G =.GN. 06) N figur bio, o ponto I é o centro d circunferênci inscrit no triângulo. Sendo prlelo, = 8 cm e = 11 cm, determinr o perímetro do triângulo. M G N I P 07) No triângulo d figur, = 10 cm e M é o ponto médio de. Sbendo que e são os pés ds lturs e, determine o vlor de M + M. 08) N figur, o triângulo é retângulo em, os segmentos e são congruentes e o ângulo mede 65º. etermine medid do ângulo. M RSLUÇÃ - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em um semi-circunferênci. 09) No triângulo bio, = 70º e = 40º. etermine medid do ângulo, sbendo-se que o ponto é o ortocentro do triângulo. 10) No triângulo bio, é ponto médio do ldo e é bissetriz do ângulo. etermine medid do ângulo. 40º 11) N figur bio, é o centro d circunferênci inscrit no triângulo retângulo. etermine medid do ângulo. 1) (uvest) Um triângulo, tem ângulos = 40º e = 50º. Qul é medid do ângulo formdo pels lturs reltivs os vértices e desse triângulo? ) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 10º Jec 3

25 13) onsidere o triângulo d figur e ssinle firmtiv fls. 14) No triângulo d figur bio, s medins e são perpendiculres entre si. Sbendo que = 6 e = 8, determine medid de. ) é o ortocentro do. b) é o ortocentro do. c) s circuncentros do e do coincidem. d) =.. e) é cutângulo. 15) N figur bio, o círculo inscrito no triângulo tem áre S e os ângulos e medem 50º e 70º, respectivmente. etermine s áres dos setores circulres S 1, S e S 3, em função de S. 16) etermine s medids dos ângulos, e, no triângulo bio, sbendo que é o incentro do triângulo. S 3 S 1 10º 110º 130º S 17) etermine s medids dos ângulos, e, no triângulo bio, sbendo que é o circuncentro do triângulo. 18) N figur, circunferênci de centro está inscrit no setor circulr de centro, rio = 15 cm e ângulo centrl = 60º. etermine o rio d circunferênci. 10º 130º 110º 19) triângulo d figur é retângulo em e os triângulos, e são equivlentes (têm mesm áre). Sendo = 18 cm, determine medid do segmento. 0) No triângulo d figur, = 50º. Se P for o incentro do triângulo, medid do ângulo P é ; no entnto, se P for o ortocentro do triângulo, medid do ângulo P é y. etermine rzão entre e y. P P Jec 4

26 1) N figur, é um retângulo, M é ponto médio de e o triângulo M é equilátero. etermine medid do segmento PM, sbendo que = 1 cm. M ) (UMG) N figur bio, =, = 60º e o ângulo é o dobro do ângulo. etermine rzão /. P 3) No triângulo o ldo, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos ldos e MR = 7 cm, NR = 6 cm e R = 10 cm, determinr : ) que são os segmentos P, N e M pr o triângulo. b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. c) Quis s medids dos segmentos R, R e PR. 4) N figur o ldo, é o centro d circunferênci inscrit no triângulo que é retângulo em. Sendo m() = 30º, determinr s medids dos ângulos, b, g e q e dizer o que semirret signific pr o ângulo. q M R N b g P 5) N figur bio, s rets, e G encontrm-se no ponto, e os pontos, e G são os pontos médios dos ldos do triângulo. Pr o triângulo, dizer como se denomin o ponto e o que é ret. G 6) (UM-PR) m um plno, meditriz de um segmeno de ret é ret r que pss pelo ponto médio do segmento de ret e é perpendiculr esse segmento. ssinle lterntiv incorret. ) Tomndo um ponto P qulquer em r, distânci de P o ponto é igul à distânci de P o ponto. b) intersecção ds meditrizes de dois ldos de um triângulo qulquer em é o circuncentro do triângulo. c) Qulquer ponto do plno que não pertenç à ret r não equidist dos etremos do segmento. d) s meditrizes dos ldos de um triângulo podem se interceptr em três pontos distintos. e) ret r é únic meditriz do segmento de ret em. Jec 5

27 Resposts dos eercícios d ul 0. 01) ) (5 3 ) cm b) (5 3 / 3) cm c) (10 3 / 3) cm d) ricentro, Incentro, ircuncentro e rtocentro. 04) 0) 118º 03) 7º 04) esenho o ldo. I G 05) ) 1 cm b) cm c) 3 cm 06) k + w + z 07) 18º 08) k / 3, k / 3 e k / 3 09) esenho o ldo. 09) Sibipirun Perob 10), V e 11) ) 4 cm b) 7 cm c) 8 cm Jtobá tesouro 1) poço deve loclizr-se no circuncentro do triângulo cujos vértices são s três css. 13) estátu deve ser colocd no incentro do triângulo formdo pels três rus. Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil jecjec@uol.com.br Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 6

28 Resposts dos eercícios complementres d ul 0. 01) ) k 3 / b) k 3 / 6 c) k 3 / 3 d) I 0) ) (5 / ) cm b) (15 / ) cm c) 5 3 cm d) 15 3 cm e) I 03) d 04) 17) 55º, 65º e 60º 18) 5 cm 19) 6 cm 0) 3 / 6 1) 4 cm ) 1 / 3) ) medins b) bricentro c) 14 cm, 1 cm e 5 cm 05) M G N S é ponto médio de G R é ponto médio de G MNRS é um prlelogrmo Portndo, SG = GN = S Rzão : 1 4) 15º, 45º, 10º, 30º e bissetriz 5) circuncentro e meditriz 6) d S P R 06) 19 cm 07) 10 cm 08) 130º 09) 110º 10) 105º 11) 135º 1) d 13) d 14) 5 15) 5 S / 7, 3 S / 7 e S / 3 16) 80º, 40º e 60º Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil jecjec@uol.com.br Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 7

29 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 03 ongruênci de triângulos. ois triângulos são congruentes se têm os ldos dois dois ordendmente congruentes e os ângulos dois dois ordendmente congruentes. sos de congruênci. 1) L..L. ).L.. 3)L.L.L. 4) L.. 5) so especil () nde: L - ldo. - ângulo junto o ldo. - ângulo oposto o ldo. so especil (). ois triângulos retângulos são congruentes se têm s hipotenuss congruentes e um cteto de um triângulo é congruente um cteto do outro triângulo bservção. posição de cd elemento do triângulo (ldo ou ângulo) no desenho é muito importnte n crcterizção do cso de congruênci. L..L. - dois ldos e o ângulo entre eles..l.. - dois ângulos e o ldo entre eles. 01) N figur o ldo, e são ângulos retos e os segmentos e são congruentes. Prove que os triângulos e são congruentes. 0) N figur o ldo, e são ângulos retos e é bissetriz do ângulo. Prove que os segmentos e são congruentes. 03) N figur o ldo, os segmentos e são congruentes e os segmentos e tmbém. Prove que os ângulos e são congruentes. Jec 8

30 04) (importnte) N figur bio, é um cord d circunferênci de centro. Provr que se o rio é perpendiculr à cord, então M é ponto médio de. M 05) (Importnte) Provr que em todo triângulo isósceles ltur reltiv à bse tmbém é bissetriz, medin e meditriz. H 06) Sbendo-se que meditriz de um segmento é ret perpendiculr o segmento pelo seu ponto médio, provr que qulquer ponto d meditriz é eqüidistnte ds etremiddes e do segmento. P M meditriz 07) ds s rets r e s, e os pontos, M e P, tl que M sej ponto médio do segmento P, determine os pontos, pertencente r, e pertencente s, de modo que o ponto M tmbém sej ponto médio do segmento. r M P s Jec 9

31 08) N figur bio, os segmentos e são congruentes. Sbendo-se que o triângulo é isósceles de bse, prove que os segmentos e são congruentes. 09) (UMG) bserve figur: r P q R Ness figur, os segmentos e são perpendiculres, respectivmente, às rets r e s. lém disso, P = P, R = R e medid do ângulo PR é q. etermine, em função de q, medid do ângulo interno do qudrilátero. s 10) N figur, é um prlelogrmo e os segmentos e são congruentes. Prove que os segmentos e são congruentes e prlelos entre si. 11) N figur bio, o qudrdo GH está inscrito no qudrdo. Prove que os triângulos H,, G e GH são congruentes entre si. H G 1) N figur bio, é um retângulo e os segmentos e são perpendiculres o segmento. Prove que os segmentos e são congruentes entre si. 13) Provr que se é um prlelogrmo e e são s digonis, então o ponto de intersecção ds digonis é o ponto médio d digonl. Jec 30

32 Teorem do ponto eterior. d um circunferênci l e um ponto P, P eterior l, se e são os pontos de tngênci ds rets tngentes l por P, então P = P. onsequênci do Teorem do ponto eterior. m todo qudrilátero circunscrito num circunferênci som ds medids dos ldos opostos é constnte. l P l P = P + = + 14) Prove o Teorem do ponto eterior. l P 15) N figur bio, circunferênci está inscrit no triângulo, = 10, = 1 e = 14. etermine medid do segmento T. R S T 16) N figur bio,, e são pontos de tngênci. eterminr o perímetro do triângulo P, sbendo que distânci P mede 17 cm. l P 17) etermine o vlor de n figur bio, sbendose que = +, = 4-3, = 3 - e = ) eterminr medid d bse médi de um trpézio isósceles sbendo-se que os ldos não prlelos desse trpézio medem 15 cm cd. 19) etermine medid do rio d circunferênci inscrit no triângulo retângulo cujos ldos medem 8 cm, 15 cm e 17 cm. Jec 31

33 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ongruênci de triângulos. ercícios complementres d ul ) N figur bio, M é ponto médio de e de. Provr que o triângulo M é congruente o triângulo M. M 0) N figur bio, M é ponto médio do segmento e os ângulos e são congruentes. Provr que M tmbém é ponto médio do segmento. M 03) N figur bio, M é ponto médio do segmento e os ângulos e são congruentes. Provr que os segmentos e são congruentes. M 04) N figur bio, M é ponto médio dos segmentos e. Provr que s rets e são prlels. M 05) N figur bio, é bissetriz do ângulo e os ângulos e são congruentes. Prove que os segmentos e são congruentes. Jec 3

34 06) N figur bio, e. Provr que o triângulo G é isósceles. G 07) N figur bio, é um triângulo isósceles de bse. Sbendo-se que, provr que tmbém é um triângulo isósceles. 08) N figur bio,, e. Provr que os triângulos e são congruentes. 09) N figur bio, é um triângulo eqüilátero e os pontos, e pertencem os ldos, e, respectivmente. Sbendo-se que os segmentos, e são congruentes, provr que o triângulo é eqüilátero. Jec 33

35 10) Provr que em todo losngo s digonis são perpendiculres entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losngo. k k M k k 11) N figur, e GH são qudrdos. centro do qudrdo locliz-se no vértice do outro qudrdo. Prove que os triângulos JL e KM são congruentes. L J G K M H 1) Provr que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois ldos é prlelo o terceiro ldo e vle metde desse terceiro ldo. 13) Provr que em todo trpézio, o segmento que une os pontos médios dos ldos não prlelos é prlelo às bses e vle semi-som desss bses. Jec 34

36 Jec 35

37 Resposts dos eercícios d ul 03. bservção - ependendo dos ddos, um eercício pode ser provdo por mis de um cso de congruênci. Levndo em cont ess possibilidde ns resposts qui registrds, em cd cso, foi considerdo o cso de congruênci mis evidente. 07) Resolução r Sej P // M = MP (L) - por hipótese 01) so especil () 0) L... 03) L.L.L. 04) so especil 05) É possível provr por vários csos. M P s M = PM () - PV M = PM () - lternos internos Pelo cso.l.., temos M = PM Portnto M = M Q 06) L..L. 07) emonstrção o ldo. 08) L..L. 09) Pelo cso L..L. prov-se que os triângulos P e P são congruentes. Pelo mesmo cso, prov-se que os triângulos R e R tmbém são congruentes. P = P = e R = R = b Portnto = q 10) L..L. 11).L.. 1) L... 13) L... 14) so especil (Un o ponto P o centro) 15) 8 16) 34 cm 17) S = { R > 3 / 4 } 18) 15 cm 19) 3 cm Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil jecjec@uol.com.br Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 36

38 Resposts dos eercícios complementres d ul 03. bservção - ependendo dos ddos, um eercício pode ser provdo por mis de um cso de congruênci. Levndo em cont ess possibilidde ns resposts qui registrds, em cd cso, foi considerdo o cso de congruênci mis evidente. 01) LL 0) L 03) L 04) LL 05) L 06) so especil 07) LL 08) L 09) LL 10) LLL emonstrção do eercício nº 13. G G () (opostos pelo vértice) (L) ( é ponto médio de ) G () (lternos internos) Pelo cso L, temos: G > G e G onsiderndo pens o triângulo G, temos: 11) L emonstrção do eercício nº 1. G = + G = + G Sej // (por construção) > (lternos internos) > ( é ponto médio) (opostos pelo vértice) Pelo cso L, temos: > Ms é ponto médio de > Se // e > é um prlelogrmo > > // e Ms > = e // (Q) Pelo teorem demonstrdo no eercício 1, temos: // // e = + (Q) Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil jecjec@uol.com.br Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 37

39 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 04 Qudriláteros notáveis. I) Trpézio. É o qudrilátero que tem dois ldos prlelos. ltur de um trpézio é distânci entre s rets suporte de sus bses. h + b = 180º Trpézio retângulo b b b Trpézio isósceles b bse menor Trpézio escleno bse mior II) Prlelogrmo. É o qudrilátero que tem os ldos opostos prlelos. // e // III) Retângulo. É o qudrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguis 90º. h b h b IV) Losngo. É o qudrilátero que tem os ldos congruentes. b b // e // V) Qudrdo. É o qudrilátero que tem os ldos congruentes e todos os ângulos internos congruentes (90º). 45º Proprieddes dos qudriláteros notáveis. 1) m todo prlelogrmo s digonis cortm-se nos respectivos pontos médios. M M é ponto médio de e M é ponto médio de. ) m todo losngo s digonis são: ) perpendiculres entre si; b) bissetrizes dos ângulos internos. y y y y 3) se médi de trpézio. m todo trpézio, o segmento que une os pontos médios dos dois ldos não prlelos, é prlelo às bses e vle médi ritmétic desss bses. 4) se médi de triângulo. m todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois ldos é prlelo o 3º ldo e vle metde desse 3º ldo. M bse médi N MN // // e MN = + MN // e MN = M N bse médi Jec 38

40 01) No prlelogrmo bio, determinr o vlor de e medid d digonl. 7 cm 7 cm 1 cm 0) No prlelogrmo bio, determinr o vlor de e medid d digonl. k k 03) No prlelogrmo bio, determinr o vlor de, o vlor de y, medid d digonl e medid d digonl. 04) No losngo bio, conhecendo-se medid do ângulo, determinr s medids dos ângulos, b, c e d cm 3y 1 cm d c 58º b 05) N figur, L, M, N e P são, respectivmente, os pontos médios dos ldos,, e do qudrilátero tos médios dos ldos,, e do qudrilátero 06) N figur, L, M, N e P são, respectivmente, os pon-. eterminr o perímetro do qudrilátero LMNP. Provr que LMNP é um prlelogrmo. sbendo-se que = 6 cm e = 10 cm. L P L P M N M N 07) (Unifesp) etermine medid do menor ângulo interno de um prlelogrmo sbendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse prlelogrmo estão n rzão 1 : 3. 08) (URJ) Se um polígono tem todos os ldos com medids iguis, então todos os seus ângulos internos têm medids iguis. Pr mostrr que ess proposição é fls, pode-se usr como eemplo figur denomind: ) triângulo equilátero; b) losngo; c) trpézio; d) retângulo; e) qudrdo. Jec 39

41 09) No triângulo bio, = 8 cm, = 1 cm e = 10 cm. Sendo e pontos médios dos ldos e, respectivmente, determine medid do perímetro do trpézio. 10) No triângulo bio, = 16 cm, = 14 cm e = 18 cm. Sendo, e os pontos médios dos ldos, e, respectivmente, determinr s medids dos segmentos, e. 11) No triângulo bio, =, = y e = z. Sendo, e os pontos médios dos ldos, e, respectivmente, determinr o perímetro do qudrilátero. 1) No trpézio bio, bse menor mede 8 cm, bse mior mede 0 cm e os pontos e são os pontos médios dos ldos e, respectivmente. etermine medid d bse médi. 13) No trpézio retângulo bio, bse menor mede 1 cm e bse mior mede 18 cm. Sendo = 10 cm, e os pontos médios dos ldos e, respectivmente, determinr os perímetros dos trpézios e. 14) No trpézio bio, bse médi mede 17 cm e bse mior mede cm. etermine medid d bse menor. 15) No trpézio bio, = 8 cm e GH = 11 cm. Sendo = G = G e = H = H, determine s medids d bse menor e d bse mior. 16) No trpézio bio, = 1 cm, = 6 cm e os pontos e H são pontos médios dos ldos e, respectivmente. eterminr s medids dos segmentos H,, GH e G. G H G H Jec 40

42 17) N figur, MNLP é um qudrilátero,,, e são os pontos médios dos ldos MN, NL, LP e PM. etermine o perímetro do qudrilátero sbendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm. M 18) etermine s medids dos ângulos internos de um prlelogrmo sbendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3-18º e + 7º. P N L 19) No triângulo bio, e são os pontos médios dos respectivos ldos. Sendo o perímetro do triângulo igul 3 cm, determinr : ) o que é o ponto pr o triângulo. b) medid do perímetro do triângulo. 0) No triângulo bio, sendo o bricentro, =, = y, = z, = t e = w, determinr o perímetro do qudrilátero. 1) No triângulo bio, e G são os pontos médios dos respectivos ldos. Sendo =, = y, = z e G = k, determinr o perímetro do triângulo G e dizer o que o ponto é do triângulo. ) emonstre que o ângulo formdo pels bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um prlelogrmo é um ângulo reto. G 3) (uvest) m um trpézio isósceles, medid d ltur é igul à d bse médi. etermine o ângulo que digonl do trpézio form com um ds bses do trpézio. Jec 41

43 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) 01) do o losngo bio e o ângulo de 138º, determine s medids dos ângulos ssinldos. z 138º t y Geometri pln Qudriláteros notáveis. ercícios complementres d ul 04. 0) (J) No prlelogrmo bio, = 5 cm e M é o ponto médio do ldo. etermine o perímetro de. 60º 60º M 03) No retângulo bio, e são s digonis. etermine s medids dos ângulos e y. y 04) (PUmp-SP) N figur seguir, tem-se representdo o losngo, cuj digonl menor mede 4 cm. etermine medid d digonl mior e do ldo desse losngo. q q 3º 05) N figur bio, é um retângulo e é um triângulo equilátero, onde o ponto pertence o ldo do retângulo. Sendo digonl do retângulo, o ponto de intersecção entre digonl e o ldo do triângulo e = 9 cm, determine medid do segmento. 06) (VUNSP-SP) onsidere s seguintes proposições. I. Todo qudrdo é um losngo. II. Todo qudrdo é um retângulo. III. Todo retângulo é um prlelogrmo. IV. Todo triângulo equilátero é isósceles. Pode-se firmr que: ) só um é verddeir. b) tods são verddeirs. c) só um é fls. d) dus são verddeirs e dus são flss. e) tods são flss. Jec 4

44 07) (PU-SP) Sendo: = { / é qudrilátero} = { / é qudrdo} = { / é retângulo} = { / é losngo} = { / é trpézio} = { / é prlelogrmo} ntão vle relção: ) b) c) d) e) 08) (UP-MG) ssinle lterntiv incorret: ) m todo prlelogrmo não retângulo, digonl opost os ângulos gudos é menor do que outr. b) É reto o ângulo formdo pels bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um prlelogrmo. c) s bissetrizes de dois ângulos opostos de um prlelogrmo são prlels entre si. d) Ligndo-se os pontos médios dos ldos de um triângulo, este fic decomposto em qutro triângulos congruentes. e) Tods s firmtivs nteriores são incorrets. 09)(U) N figur, o retângulo GHI, o triângulo e- quilátero e o qudrdo I, têm todos, perímetro igul 4 cm. Se é o ponto médio de I, o perímetro d figur fechd GHI é igul : ) 48 m b) 49 m c) 50 m d) 51 m e) 5 m G 10) etermine s medids dos ângulos internos de um prlelogrmo sbendo que diferenç entre s medids de dois ângulos internos consecutivos é 5º. H I 11) (GV-SP) digonl menor de um losngo decompõe esse losngo em dois triângulos congruentes. Se cd ângulo obtuso do losngo mede 130º, quis são s medids dos três ângulos de cd um dos dois triângulos considerdos? 1) (IT-SP) ds s firmções: I. Quisquer dois ângulos opostos de um qudrilátero são suplementres. II. Quisquer dois ângulos consecutivos de um prlelogrmo são suplementres. III. Se s digonis de um prlelogrmo são perpendiculres entre si e se cruzm em seu ponto médio, então esse prlelogrmo é um losngo. ) Tods são verddeirs. b) pens I e II são verddeirs. c) pens II e III são verddeirs. d) pens II é verddeir. e) pens III é verddeir. Jec 43

45 13) (UV-MG) Num trpézio isósceles de bses diferentes, um digonl é tmbém bissetriz de um ângulo djcente à bse mior. Isso signific que: ) bse menor tem medid igul à dos ldos oblíquos. b) os ângulos djcentes à bse menor não são congruentes. c) bse mior tem medid igul à dos ldos oblíquos. d) s dus digonis se interceptm no seu ponto médio. e) s digonis se interceptm, formndo ângulo reto. 14) (UVST-SP) No qudrilátero, temos = = e os prolongmentos desses ldos formm um ângulo de 60º. ) Indicndo por, b, g e q, respectivmente, s medids dos ângulos internos dos vértices,, e, clcule + b + g + q. b) Sejm J o ponto médio de, M o ponto médio de e N o ponto médio de. lcule JM e JN. c) lcule medid do ângulo MJN. 15) N figur, = 4 cm, é ponto médio de, é ponto médio de, é ponto médio de e I é ponto médio de. etermine s medids dos segmentos G e GH. 16) (IT-SP) onsidere um qudrilátero cujs digonis e medem, respectivmente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos ldos do qudrilátero ddo, então o perímetro do qudrilátero RSTU vle: ) cm b) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 1 cm G H I 17) No trpézio J bio, G = e I = y. Se = = = e G = GH = HI = IJ, determine e J em função de e de y. G 18) N figur bio, o triângulo é retângulo em, o ponto é ponto médio do ldo e o segmento é prlelo o cteto. Sendo = 4 cm, determine medid do segmento. H I J Jec 44

46 Jec 45

47 Resposts dos eercícios d ul ) 6 cm e 4 cm 0) 4 03) 11 cm, 4 cm, 14 cm e 4 cm 04) 3º, 64º, 90º e 116º 05) 16 cm 06) Propriedde d bse médi do triângulo. // LP // MN e // LM // PN Portnto LMNP é um prlelogrmo. 07) 45º 08) b 09) 5 cm 10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm 11) + z 1) 14 cm 13) 36 cm e 4 cm 14) 1 cm 15) 5 cm e 14 cm 16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm 17) cm 18) 117º e 63º 19) ricentro e 46 cm 0) ( + y + w + t) / 1) (y + z + 6k) / e bricentro ) + b = 180 (lternos internos) Portnto + b = 90º 3) 45º Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil jecjec@uol.com.br Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 46

48 Resposts dos eercícios complementres d ul ) = 1º, y = 69º, z = 4º, t = 90º 0) 45 cm 03) = 64º, y = 116º 04) = 4 3 cm, = 4 cm 05) 6 cm 06) b 07) b 08) e 09) c 10) 64º e 116º 11) 50º, 65º e 65º 1) c 13) 14) ) 360º b) 1 e 1 c) 60º 15) G = 6 cm e GH = 6 cm 16) d 17) = 3 - y J 18) 4cm = 3y - Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil jecjec@uol.com.br Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 47

49 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln ul 05 Polígonos conveos. I) Polígonos conveos. lssificção dos polígonos (qunto o nº de ldos). e i d d - digonl i - ângulo interno e - ângulo eterno i + e = 180º ldo vértice 3 ldos - triângulo 4 ldos - qudrilátero 5 ldos - pentágono 6 ldos - heágono 7 ldos - heptágono 8 ldos - octógono 9 ldos - eneágono 10 ldos - decágono 11 ldos - undecágono 1 ldos - dodecágono 13 ldos - tridecágono 14 ldos - qudridecágono 15 ldos - pentdecágono 16 ldos - hedecágono 17 ldos - heptdecágono 18 ldos - octodecágono 19 ldos - enedecágono 0 ldos - icoságono II) Som ds medids dos ângulos internos de um polígono conveo. (S ) i III) Som ds medids dos ângulos eternos de um polígono conveo. (S ) e e 3 e 4 IV) Número de digonis de um polígono conveo. (d) i 3 i 4 i n i i 1 e e n S = i + i + i i i 1 3 n S = 180 (n - ) i n - nº de ldos do polígono e 1 S = e + e + e e e 1 3 n S = 360º e Pr qulquer polígono conveo igonl é o segmento que une dois vértices não consecutivos. d n (n - 3) = n - nº de ldos do polígono V) Polígono regulr. e i e i e i i i e Um polígono é regulr se tem: ) todos os ldos congruentes entre si; b) todos os ângulos internos congruentes entre si; c) todos os ângulos eternos congruentes entre si. lssificção dos polígonos regulres 3 ldos - triângulo equilátero 4 ldos - qudrdo 5 ldos - pentágono regulr 6 ldos - heágono regulr etc e Medid de cd ângulo interno de um polígono regulr. i = S i n > 180 (n - ) i = n Medid de cd ângulo eterno de um polígono regulr. ângulo centrl e = S e n > 360 e = n (importnte) bservção - Todo polígono regulr pode ser inscrito e circunscrito num circunferênci. Jec 48

50 01) eterminr som ds medids dos ângulos internos e o número de digonis de um pentdecágono conveo. 0) eterminr som ds medids dos ângulos eternos e o número de digonis de um octodecágono conveo. 03) eterminr medid de cd ângulo interno e de cd ângulo eterno de um eneágono regulr. 04) eterminr medid de cd ângulo interno e o nº de digonis de um octógono regulr. 05) eterminr som ds medids dos ângulos internos de um polígono conveo que tem 65 digonis. 06) eterminr o nº de digonis de um polígono regulr cuj medid de cd ângulo eterno é 30º. 07) eterminr o nº de digonis de um polígono regulr sbendo-se que medid de um ângulo interno ecede medid do ângulo eterno em 13º. 08) eterminr medid do ângulo eterno de um polígono regulr que tem 14 digonis. Jec 49

51 09) dos dois polígonos conveos, e, sbe-se que tem 4 ldos e 30 digonis mis do que. etermine quis são os polígonos e. 10) dos dois polígonos regulres, e, sbe-se que tem 6 ldos mis do que e diferenç ds medids de seus ângulos eternos é 16º. etermine quis são esses polígonos. 11) etermine medid do ângulo gudo formdo entre digonl e o ldo de um dodecágono regulr... KL. 1) etermine medid do ângulo gudo formdo pelos prolongmentos ds digonis e G de um dodecágono regulr...kl. Jec 50

52 13) (UNISP-SP) Pentágonos regulres congruentes podem ser conectdos, ldo ldo, formndo um estrel de cinco ponts, conforme destcdo n figur. Nests condições, o ângulo q mede: ) 108º b) 7º c) 54º d) 36º e) 18º 14) (UVST-SP) ois ângulos internos de um polígono conveo medem 130º cd um e os demis ângulos internos medem 18º cd um. nº de ldos desse polígono é: ) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17 q 15) (SGRNRI-RJ) No qudrilátero d figur bio, são trçds s bissetrizes M e N, que formm entre si o ângulo. som dos ângulos internos e desse qudrilátero corresponde : ) /4 b) / c) d) e) 3 M N 16) (MK-SP) s ldos de um polígono regulr de n ldos, n > 4, são prolongdos pr formr um estrel. medid, em grus, de cd vértice d estrel é: ) b) c) d) e) 360º n (n - 4). 180º n (n - ). 180º n 180º _ 90º n 180º n Jec 51

53 studos sobre Geometri relizdos pelo prof. Jec (Lucs ctvio de Souz) (São João d o Vist - SP) Geometri pln Polígonos conveos. ercícios complementres d ul ) do um polígono conveo de 17 ldos, determinr: ) som ds medids dos ângulos b) som ds medids dos ângulos internos. eternos. c) o número de digonis desse polígono. 0) do um undecágono conveo, determinr: ) som ds medids dos ângulos b) som ds medids dos ângulos internos. eternos. c) o número de digonis desse polígono. 03) eterminr o número de ldos e o número de digonis de um polígono conveo cuj som ds medids dos ângulos internos é 160º. 04) eterminr som ds medids dos ângulos internos de um polígono conveo que tem 44 digonis. Jec 5

54 05) No pentágono o ldo, //. eterminr som ds medids dos ângulos internos ssinldos. 06) eterminr os polígonos conveos e, sbendo-se que tem ldos e 3 digonis mis que o polígono. 07) do um eneágono regulr, determinr : ) o número de ldos do eneágono. b) som ds medids dos ângulos internos. c) medid de cd ângulo interno. d) som ds medids dos ângulos eternos. e) medid de cd ângulo eterno. f) o número de digonis do eneágono. 08) eterminr qul é o polígono regulr cuj medid de um ângulo eterno é igul /7 d medid de um ângulo interno. Jec 53

55 09) do um pentdecágono regulr, determinr : ) o número de ldos do pentdecágono. b) som ds medids dos ângulos c) medid de cd ângulo interno. internos. d) som ds medids dos ângulos e) medid de cd ângulo eterno. f) o número de digonis do pentdecágono. eternos. 10) eterminr dois polígonos regulres, e, sbendo-se que tem 3 ldos mis que e que diferenç entre s medids dos seus ângulos eternos é 6º. 11) do um decágono regulr, determinr medid do ângulo gudo compreendido entre o ldo e digonl. 1) do um dodecágono regulr, sendo o centro do dodecágono, determinr medid do ângulo. L K G Jec 54 J I H

56 13) do um decágono regulr, sendo o centro do polígono, determinr : J I H G ) som ds medids dos ângulos eternos do decágono. b) medid de cd ângulo eterno. c) som ds medids dos ângulos internos do decágono. d) medid de cd ângulo interno. e) medid do ângulo obtuso formdo pelos prolongmentos dos ldos e. f) medid do ângulo gudo formdo pelos prolongmentos dos ldos e. g) medid do ângulo gudo formdo entre s digonis I e G. h) medid do ângulo G. i) medid do ângulo. Jec 55

57 14) N figur o ldo, determinr o vlor de + y. 93º y 15) do um polígono conveo... com n ldos, n > 3, o número de digonis do polígono que não pssm pelo vértice é ddo por: ) 5n - 4 b) n - 11n c) n - 5n + 6 d) n(n-3) 105º 88º e) n ) Se som dos ângulos internos de um polígono regulr é 160º, sendo medid de cd ângulo eterno então: ) = 18º b) 30º < < 35º c) = 45º d) < 7º e) 40º < < 45º 17) Três polígonos têm o número de ldos epressos por números inteiros consecutivos. Sbendo que o número totl de digonis dos três polígonos é igul 8, determine polígono com mior número de digonis. 18) N figur o ldo, é um triângulo eqüilátero e GH é um pentágono regulr. Sbendo-se que pertence o ldo, pertence o ldo, G e H pertencem o ldo, determinr s medids dos ângulos e H. 19) do o eneágono regulr o ldo, determinr medid do ângulo formdo pelos prolongmentos dos ldos e. I H X G H G Jec 56

58 0) (US-006) onsidere um heágono equiângulo (ângulos internos iguis), no qul qutro ldos consecutivos medem 0 cm, 13 cm, 15 cm e 3 cm, conforme figur seguir. lcule o perímetro do heágono ) (MK-SP) Num qudrilátero conveo, som de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. mior ângulo formdo pels bissetrizes interns dos dois outros ângulos mede: ) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º ) (IT-SP) número de digonis de um polígono regulr de n ldos, que não pssm pelo centro d circunferênci circunscrit esse polígono, é ddo por: ) n(n - ) 3) (I) menor ângulo interno de um polígono conveo mede 139º, e os outros ângulos formm com o primeiro um progressão ritmétic de rzão. etermine o número de ldos do polígono. b) n(n - 1) c) n(n - 3) d) n(n - 5) e) n.d.. Jec 57

59 Resposts dos eercícios d ul ) 340º e 90 digonis 0) 360º e 135 digonis 03) 140º e 40º 04) 135º e 0 digonis 05) 1980º 06) 54 digonis 07) 90 digonis 08) 360º / 7 09) Heptágono e undecágono 10) neágono e pentdecágono 11) 60º 1) 75º 13) d 14) b 15) d 16) b Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil jecjec@uol.com.br Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 58

60 Resposts dos eercícios complementres d ul ) ) 700º b) 360º c) 119 0) ) 160º b) 360º c) 44 1) d ) 3) 1 03) 14 ldos e 77 digonis 04) 160º 05) 360º 06) Qudridecágono e dodecágono 07) ) 9 b) 160º c) 140º d) 360º e) 40º f) 7 08) neágono 09) ) 15 b) 340º c) 156º d) 360º e) 4º f) 90 10) Pentdecágono e dodecágono 11) 18º 1) 10º 13) ) 360º b) 36º c) 1440º d) 144º e) 108º f) 7º g) 54º h) 7º i) 36º 14) 74º 15) c 16) b 17) heptágono 18) 4º e 48º 19) 60º 0) 99 cm Importnte pr mim. Se você, resolvendo est list, descobrir lgum respost errd, por fvor, mnde um mensgem especificndo qul respost errd pr o e-mil jecjec@uol.com.br Somente ssim, poderei corrigir eventuis erros. brigdo. Jec Proibid reprodução deste mteril sem utorizção epress do utor Jec 59