MATEMÁTICA. Capítulo 5 LIVRO 1. Teorema de Pitágoras Relações Métricas nos Triângulos. Páginas: 190 à 201

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1 MATEMÁTICA LIVRO 1 Cpítulo 5 Teorem de Pitágors Relções Métris nos Triângulos Págins: 190 à 01

2 Teorem de Pitágors: II ² III IV ² II ² I I IV III "A áre do qudrdo formdo om o ldo d hipotenus é igul som ds áres dos qudrdos formdos om os ldos dos tetos" ² = ² + ²

3 EXTRA 1 d

4 EXTRA 60 o 60 o 60o

5 [10. p194] (MODELO ENEM) Cminhndo em um região pln e prtindo de um ponto A, um pesso minh 7 metros n direção nordeste, fzendo um ângulo de 33 om o leste e, em seguid, minh 4 metros n direção noroeste, fzendo um ângulo de 57 om o oeste, hegndo um ponto B. Qul distâni, em metros, entre os pontos A e B? ) 17 ) 5 ) 7 d) 9 e) 31 B N 4 m 57 O A 7 m 33 L B S A 4 m m = 7 +4 = = 65 = 5

6 [1. p194] (FUVEST - SP) Um trpézio retângulo tem ses 5 e e ltur 4. O perímetro desse trpézio é: ) 13 ) 14 ) 15 d) 16 e) ² = 3² + 4² ² = = 5 = 5 Perímetro: P = P = 16

7 [17. p194] (FATEC - SP) O vlor do rio d irunferêni d figur é: ) 7,5 ) 14,4 ) 1,5 d) 9,5 e) 10,0 r r - 5 r = (r -5) +10 r = r -10r r =15 r =1,5

8 [1. p195] (FUVEST - SP) Dois pontos mteriis, A e B, deslom-se om veloiddes onstntes sore um irunferêni de rio = 8 m, prtindo de um mesmo ponto O. Se o ponto A se deslo no sentido horário om o triplo d veloidde de B, que se deslo no sentido nti-horário, então o omprimento d ord que lig o ponto de prtid o ponto do primeiro enontro é: ) 1 m ) m ) 3 m d) 4 m e) 5 m 8 8 d O d = ( 8) +( 8) d =16 d = 4

9 [5. p195] (FAAP - SP) Dois reservtórios irulres om rios de 5 m e 4 m, respetivmente, estão interligdos por um tuulção de metros lineres, que os tngeni, onforme figur seguir. Sendo-se que o usto por metro liner d tuulção é de R$ 150,00 e que distâni OO entre os entros desses reservtórios é de 41 m, então o usto totl (em reis) d tuulção é: ) 5000 ) 5500 ) 4000 d) 4500 e) (41) = () +(9) 1681= = = 40 m Custo : reis

10 [36. p196] (FUVEST - SP) No jogo de oh, disputdo num terreno plno, o ojetivo é onseguir lnçr um ol de rio 8 o mis próimo possível de um ol menor, de rio 4. Num lnçmento, um jogdor onseguiu fzer om que s dus ols fissem enostds, onforme ilustr figur io. A distâni entre os pontos A e B, em que s ols tom o hão, é: ) 8 ) 6 ) 8 d) 4 3 e) A 1 d 4 B d 4 d 1² =d²+4² =d² d= 18 d=8

11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS [18. p194] [. p195] [3. p195] [6. p195] [8. p195] [33. p196] [38. p196]

12 As Relções Métris e o Teorem de Pitágors C : hipotenus AB. : teto AC. h : teto BC. h: ltur CD, reltiv à hipotenus. A m D n B m: projeção ortogonl do teto AC sore hipotenus AB. n: projeção ortogonl do teto BC sore hipotenus AB. ² = ² + ² "o qudrdo d hipotenus é igul à som dos qudrdos dos tetos".h =. "o produto d hipotenus pel ltur é igul o produto dos tetos" ² = m. "o qudrdo de um dos tetos é igul o ² = n. produto d su projeção pel hipotenus" h² = m.n "o qudrdo d ltur é igul o produto ds projeções"

13 N figur, AC CB e CD AB. ) Prove que os triângulos ABC, ACD e CBD são semelhntes. ) Usndo ess semelhnç, demonstre s Relções Métris no Triângulo Retângulo. ) Demonstre o Teorem de Pitágors. α D 90 - α 90 - α α α 90 - α ) Os triângulos ABC, ACD e CBD são semelhntes pois possuem os mesmos ângulos internos, ou sej, estão de ordo om o ritério de semelhnç AA~.

14 ) ( ABC ~ CBD) = = h n =.n.h =..m =.h sem importâni (III) h h m n = = m h ( ABC ~ ACD) =.m.h =..h = m. sem importâni (I) (II) = m = h h n ( ACD ~ CBD) h = m.n.h =.m.n =.h sem importâni sem importâni (IV) Se somrmos s relções (I) e (III): =.m =.n + =.m +.n + =.(m +n) = + (Teorem de Pitágors)

15 Eemplos: I II 8 = 8. = 16 = = 9.1 = 108 = 6 3 III = = 13

16 [46. p197] (FEI - SP) Se, em um triângulo, os ldos medem 9 m, 1 m e 15 m, então ltur reltiv o mior ldo mede: ) 8,0 m ) 7, m ) 6,0 m d) 5,6 m e) 4,8 m 9 1 h h = h = 15 h = 7,

17 [49. p197] (CESGANRIO - RJ) No retângulo ABCD de ldos AB = 4 e BC = 3, o segmento DM é perpendiulr à digonl AC. O segmento AM mede: ) ) ) d) e) ² =.5 9 = 5

18 Relções Métris nos Triângulos Quisquer Triângulo Autângulo ² = ²+h² ² = ( - )²+h² h - h Triângulo Otusângulo ² = ²+h² ² = ( + )²+h² Estudo d Nturez de um Triângulo Triângulo Retângulo Triângulo Autângulo Triângulo Otusângulo C C C A B A B A B

19 [61. p00] (FUVEST - SP) No qudrdo ABCD de ldo 1, temos AE = 13 e CF = 3. O ângulo AÊF é gudo, reto ou otuso? Justifique. 13² =(DE)²+1² 169 =(DE)²+144 (DE)= 5 =5 (EF)² =3²+7² (EF)² =9+49 =58 (EF)= (AF)² =9²+1² (AF)² = = 5 (AF)= 5 = ² = 5 13² = 169 ( 58)² =58 5 ( < ) = 7 Se o qudrdo do mior ldo é menor que som dos qudrdos dos outros dois ldos, o triângulo é utângulo, ou sej, o ângulo é gudo.

20 [65. p00] (FUVEST - SP) Os ldos de um triângulo medem 5, 10 e 5. Qul o omprimento d ltur reltiv o mior ldo? ) 1 ) ) 3 d) 5 e) h ( 5 ) ² = ²+h² 5-5 ( 10 ) ² = (5 - )²+h² 5 = ²+h² 10 = ²+h² 10 = = 0 = 5 = ²+h² 5 = ²+h² 5 = 4 + h² h = 1

21 EXERCÍCIOS PROPOSTOS [67. p00] [71. p01]