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1 MATEMÁTICA UFPE ( FASE/008) 01. Sej áre totl d superfície de um cubo, e y, o volume do mesmo cubo. Anlise s firmções seguir, considerndo esss informções. 0-0) Se = 5 então y = ) 6y = 3 -) O gráfico de y em termos de é 01. Considerndo um cubo de rest, temos que: 0-0) Verddeiro, pois A TOTAL = 6 () V = 3 (y) 3 1-1) Flso, pois ms = 6 = 5 = 3 e y = 3 = 7. 3 = y = 3 y 6 = 6( 3 ) = y 6 3 = y 16 = y ) Flso, usndo que y 3 = 16 do item 1-1) se = 1 temos y = 6 e o gráfico presentdo não pss pelo ponto (1,6) 3-3) Verddeiro, pois digonl D de um cubo de rest mede 3 ms 6 = = 3-3) As digonis do cubo medem /. -) As digonis d fce do cubo medem y 1/3. então D = 0. Admit que pressão rteril P(t) de um pesso no instnte t, medido em segundos, sej dd por P(t) = cos(π t), t 0 Considerndo esses ddos, nlise vercidde ds seguintes firmções. 0-0) O vlor máimo d pressão rteril d pesso é ) O vlor mínimo d pressão rteril d pesso é 78. -) A pressão rteril d pesso se repete cd segundo, ou sej, P(t + 1) = P(t), pr todo t ) Qundo t = 1/3 de segundo, temos P(1/3) = ) O gráfico de P(t) pr 0 t é -) Verddeiro, pois digonl d d fce de um cubo de rest mede ms 3 = y = 3 y então d = 0. Tod função definid por y = + b cos(k + c) tem período T = π/k e conjunto imgem Im = [-b, +b]. Dest form, T P = π/π = 1 e Im(P) = [96 18, ] = [78, 11] 0-0) Verddeiro, pois Im(P) = [78,11]. 1-1) Verddeiro, pois Im(P) = [78,11]. -) Verddeiro, função P tem período T P = ) Flso, P(1/3) = cos(π/3) = (-½) = 87. -) Flso, pois P(0) = cos(0) = = 11 e não 95 como epress o gráfico presentdo fcebook/ruilim 1

2 03. Um trnsportdor de volumes só ceit cis n form de prlelepípedos retângulos qundo som do perímetro d bse e d ltur é no máimo m. Suponh que se pretend trnsportr um ci, com mior volume possível, no formto de um prlelepípedo com bse qudrd, de ldo metros, e ltur h metros, como ilustrdo n figur bio. h ) Verddeiro, V = h = h ms + h = h = substituindo em V temos V = ( ) = (1 ) 1-1) Flso, pois Pr obtermos volume máimo, os vlores de e h devem stisfzer + h =. Anlise s firmções bio, considerndo esses ddos. 0-0) O volume d ci, em m 3, é ddo por (1 ). 1-1) Qundo o ldo d bse mede 1/3 de metro, o volume d ci é (1/9)m 3. -) A áre totl d ci é , em m. 3-3) A áre totl d ci será máim qundo ltur for 6/7 de metro. -) Qundo áre totl d ci é máim, seu volume é (/33)m Qul o coeficiente de n epnsão de (1+ ) (1+ ) (1+ 3) (1+ ) (1+ 5)? -) Flso, pois A TOTAL = + h = + ( ) = ) Verddeiro, pois A TOTAL = ssume vlor máimo se então h = = -) Flso, pois 0. Note que = VÉRTICE = V = (1 ) = Estmos interessdos nos coeficientes de e do produto Ms ( ) = 35 ( ) = A ilustrção seguir é prte do gráfico de um polinômio p(), de gru três e com coeficientes reis. O gráfico pss pelos pontos (-3,0), (-1,0), (,0) e (0,-1) tem como termo qudrático = FORMA FATORADA: Todo polinômio p() = n + b n de gru n com rízes r 1, r,..., r n pode ser epresso d form p() = ( r 1) ( r ) ( r 3)... ( r n) form ftord Pelo gráfico, p() tem rízes -3, -1 e, portnto p() = ( + 3)( + 1)( ) ms p(0) = -1 então, p() = (0 + 3)(0 + 1)(0 ) = -1 = Indique o vlor de p(6). fcebook/ruilim

3 06. Um clh tem form de um prism reto de bse tringulr. A ltur do prism é 1m, e su bse é um triângulo isósceles com ldos congruentes, medindo 0,m e formndo entre si um ângulo α. 06. Usndo que áre A do triângulo com ldos e b e ângulo djcente esses ldos α é α α temos que: b Fzendo escolh proprid, qul o mior volume, em litros, que clh pode ter? 07. O preço do produto X é 0% menor que o do produto Y, e este, por su vez, tem preço 0% mior que o do produto Z. Se os preços dos três produtos somm R$ 37,00, qunto cust, em reis, o produto Z? 08. Admit que o lucro mensl de um compnhi de telefone celulr que tem milhres de ssinntes sej de ( 00) milhres de reis. No momento, o lucro d compnhi é de 30 mil reis. Qunts novs dezens de ssinntes são necessáris pr que o lucro d compnhi psse de 30 mil reis pr 33 mil reis? 09. Clcule distânci d entre os pontos de interseção ds circunferêncis com equções. + y y +1 = 0 e + y y + = 0. Indique d. ms o mior vlor de senα é 1 então o mior volume é 0,08 m 3 = 80 litros. 07. Temos o seguinte sistem: 08. Se o lucro hoje é 30 mil, temos 00 = 30 = 70 = 30 milhres de ssinntes Pr que o lucro sej 33 mil, temos 00 = 33 = 73 = 30,5 milhres de ssinntes Então, o número de ssinntes ument 0,5 mil = 500 uniddes = 50 dezens. 09. Usndo que equção d circunferênci de centro no ponto C(,b) e rio R é + y by + + b R = 0, temos que: + y y + 1 = 0 e + y y + = 0 C 1(1,1) e R 1 = 1 C (,1) e R = 1 Esboçndo o gráfico, no plno crtesino y P 1 C 1 1 C 0 1 Q Note que distânci d entre os pontos de interseção P e Q é igul o dobro d medid d ltur de um triângulo eqüilátero de ldo 1, ou sej, De outr form, podemos encontrr os pontos de interseção Então, os pontos de interseção são e distânci d entre eles é fcebook/ruilim 3

4 10. Um pciente tom dirimente 0,06mg de cert drog. Suponh que o orgnismo do pciente elimin, dirimente, 15% d quntidde dest drog presente no orgnismo. Assim, no momento, pós ser dministrd drog, permnecem no orgnismo do pciente, lém dest dose, o remnescente ds doses dos dis nteriores. N tbel bio, temos quntidde d drog presente no orgnismo do pciente, em mg, nos dis depois do início do trtmento, pós ser dministrd dose diári: 1º di 0,06 º di 0,06 + 0,85.0,06 3º di 0,06 + 0,85.0,06 + 0,85.0,06 etc. Assim, no n-ésimo di permnece no orgnismo do pciente um totl de (0,06 + 0,85.0, ,85 n- 1. 0,06) miligrms d drog. Determine quntidde q d drog, em mg, presente no orgnismo do pciente, pós um no de trtmento e ssinle 100q. Ddo: use proimção 0, O número de qutro dígitos 1391 tem propriedde seguinte: o número formdo tomndo quisquer dois de seus dígitos consecutivos é divisível por 13. Eiste um número com 100 dígitos, com o primeiro dígito (à esquerd) igul 3, tendo mesm propriedde. Indique o número formdo pelos dois últimos dígitos (à direit) deste número. 10. Estmos interessdos n som dos termos de um progressão geométric (PG) finit, ou sej, e 100q = Os múltiplos de 13 de dois lgrismos são 13, 6, 39, 5, 65, 78 e 91 Se o primeiro dígito é 3 o segundo é 9, pois 39 é o único múltiplo de 13 de dois lgrismos que começ por 3; O terceiro dígito é 1, pois 91 é o único múltiplo de 13 de dois lgrismos que começ por 9; O qurto dígito é 3, pois 13 é o único múltiplo de 13 de dois lgrismos que começ por 1; Perceb que os lgrismos 391 vão se repetir, sucessivmente, ness ordem O número de 100 dígitos possui 99 grupos de 3 lgrismos 391 mis 1 lgrismo 3, ou sej, é d form e o número formdo pelos dois últimos lgrismos é A probbilidde é 13. Se Mri possui reis então João possui 510 reis e 1. Em um gvet, estão qutro pres de meis, cd pr de um cor diferente. Escolhendo letorimente dus ds meis d gvet, qul probbilidde percentul p% de els serem d mesm cor? Indique o inteiro mis próimo de p. 13. João e Mri possuem, juntos, R$ 510,00. Se, simultnemente, João presentei Mri com 1/8 do que ele possui, e Mri presentei João com 1/6 do que el possui, então, os dois ficrão com quntis iguis. Em quntos reis qunti que Mri possuí inicilmente ecede que João possuí? Dest form, Mri possuí 70 reis, João 0 e diferenç er 30 reis Indique solução d equção = 5/. fcebook/ruilim

5 15. Sbendo que 1+ i é um ds rízes d equção 3 + = 0, com rel, indique o vlor de. 15. Usndo que: Tod equção lgébric de coeficientes reis que possui o compleo + bi como riz possui tmbém o compleo bi como riz, temos que equção = 0 possui rízes 1 + i, 1 i e r. Pel relção de Girrd 16. N figur bio, qutro ds cinco circunferêncis possuem o mesmo rio. Três dests são tngentes à circunferênci de mior rio e têm centros em vértices de um triângulo eqüilátero. A qurt circunferênci de rio menor é tngente às outrs três. Se e b representm s áres ds regiões de cor cinz indicds n figur, ssinle 100/b = 1 + i + 1 i + r = 0 r = - Substituindo n equção (-) 3 (-) + = 0 =. 16. Observe s figurs b temos que: fcebook/ruilim 5