Módulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 3. Paralelogramos Especiais. 8 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

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1 Módulo Elementos Básicos de Geometri Pln - Prte 3 Prlelogrmos Especiis 8 no E.F. Professores Cleer Assis e Tigo Mirnd

2 Elementos Básicos de Geometri Pln - Prte 3 Prlelogrmos Especiis 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. que: Sore os prlelogrmos, podemos firmr ) possuem todos os ldos com mesm medid. ) todos os ângulos são retos. c) possui pres de ldos opostos congruentes. d) sus digonis têm mesm medid. Exercícios de Fixção Exercício 7. Determine o vlor de x n figur, sendo ABCD um prlelogrmo. Exercício. O que podemos firmr, com certez, sore figur ixo? ) é um qudrdo. ) é um retângulo. c) não é um prlelogrmo. Exercício 8. Determine os ângulos determindos pels issetrizes de dois ângulos consecutivos de um prlelogrmo. Exercício 9. Determine os ângulos internos de um prlelogrmo cuj diferenç entre dois deles é 40 o. Exercício 10. Determine o vlor de x no retângulo d figur. d) é um losngo. Exercício 3. Assinle lterntiv corret. ) todo qudrdo é losngo. ) todo losngo é retângulo. c) todo prlelogrmo é qudrdo. d) todo retângulo é losngo. Exercício 4. Um formig cminh sore um losngo ABCD, dndo 10 volts. Se distânci entre os vértices A e B, consecutivos, é 1cm, qul distânci percorrid pel formig? Exercício 5. losngo? Qul o ângulo formdo pels digonis de um Exercício 11. N figur ixo temos um losngo. Determine medid do ângulo CAD. ) 60 o. ) 90 o. c) 10 o. d) 150 o. Exercício 6. Se os segmentos AB, BC, DE, EF, GH e HI são congruentes e os segmentos AD, DG, BE, EH, CF e FI tmém são congruentes, quntos prlelogrmos com ldos sore os segmentos citdos existem n figur. Exercício 1. Determine medid de x n figur, sendo ABCD um prlelogrmo. 1 mtemtic@omep.org.r

3 Exercício 13. Se ABCD é um qudrdo e ABP é um triângulo equilátero, determine o vlor de x n figur. Exercício 17. O retângulo ABCD d figur foi dividido em um qudrdo e um retângulo pelo segmento EF. A rzão ds dimensões do retângulo ABCD é igul à rzão ds dimensões do retângulo AEFD. Determine ess rzão,, qul chmmos de rzão áure. Exercício 14. Determine medid do ângulo DCE, sendo ABCD um qudrdo e ADE um triângulo equilátero. Exercício 18. N figur, o qudrilátero Q 1 é formdo ligndo-se os pontos médios dos ldos do qudrilátero Q, que tem digonis perpendiculres. Mostre que Q 1 tem digonis iguis. Exercício 15. No prlelogrmo ABCD d figur, BE é issetriz do ângulo ABC. Determine medid do ângulo AEB. 3 Exercícios de Aprofundmento e de Exmes Exercício 16. Sej o qudrilátero ABCD d figur e P, Q, R e S os pontos médios dos ldos AB, BC, CD e DA, respectivmente. Mostre que o qudrilátero PQRS é um prlelogrmo. mtemtic@omep.org.r

4 1. C.. B. 3. A. Resposts e Soluções. 4. Como todos os ldos de um losngo têm mesm medid, então um volt d formig corresponde à 4 1 = 48cm. Assim, distânci percorrid foi = 480cm 5. B. 6. São 4 prlelogrmos como ABED; como ABHG; como ACFD; e ACIG. Portnto, são = 9 prlelogrmos. 7. Como os ângulos opostos de um prlelogrmo são congruentes, temos que ADC = CBA = 45 o. Assim, no triângulo ACD temos 110 o + 45 o + x = 180 o, segue que x = 5 o. 8. Como dois ângulos consecutivos de um prlelogrmo são suplementres, então trçndo dus issetrizes em ângulos consecutivos, els formrão, com o ldo entre esses ângulos um triângulo, cujos ângulos d se (ldo do prlelogrmo) somm 180o = 90 o e, por consequênci, o terceiro ângulo (ângulo entre s issetrizes) é igul 90 o. 13. Como o triângulo ABP é equilátero, então BAP = 60 o e, consequentemente, PAD = 90 o 60 o = 30 o. Além disso, PA = AB = AD, ou sej, o triângulo APD é isósceles, com AD = AP e ADP = APD = x. Assim, x + 30 o = 180 o, segue que x = 75 o. 14. ADC = 90 o, pois ABCD é qudrdo, e ADE = 60 o, pois ADE é triângulo equilátero. Temos, portnto, CDE = 90 o + 60 o = 150 o. Se CD = AD = DE, então o triângulo CDE é equilátero e DCE = DEC. Assim DCE o = 180 o, segue que DCE = 15 o. 15. Se BE é issetriz, então ABC = 60 o = 10 o e, consequentemente, BAD = BAE = 180 o 10 o = 60 o. Temos portnto que o triângulo ABE é equilátero, ou sej, AEB = 60 o. 16. (Extrído d Vídeo Aul) Trçndo digonl AC, temos que PQ é se médi do triângulo ABC e, portnto, é prlel AC e mede metde de AC. De form nálog, SR é prlel AC e mede metde de AC. Se PQ é prlelo SR e tem mesm medid, PQRS é prlelogrmo. 9. Supondo que esses ângulos sejm α e 180 o α, pois são ângulos consecutivos, já que diferenç não é nul (dess form serim ângulos opostos). Como diferenç é 40 o, temos α (180 o α) = 40, segue que α = 110 o, ou sej, os ângulos medem 110 o, 110 o, 70 o e 70 o. 10. Temos que AED = 180 o 10 o = 60 o. Como s digonis de um retângulo se interceptm no ponto médio e são congruentes, então o triângulo ADE é isósceles. Assim, x + 60 o = 180 o, segue que x = 60 o. 11. As digonis de um losngo o dividem em qutro triângulos retângulos congruentes. Assim, CAD + 30 o + 90 o = 180 o, segue que CAD = 60 o. 1. (Extrído d Vídeo Aul) Trçndo s digonis do prlelogrmo, temos: 17. Fzendo = x, temos: = + = 1 + x = x x = x + 1 x x 1 = 0 Anlisndo o trpézio BJGD, KL é se médi, então = = 6. Anlisndo o trpézio ACIH, KL tmém é se médi, então = x +, segue que x = 10. x x + 1 = ( x 1 ) = 5 4 x 1 5 = ± 4 x = 1 ± 5. Encontrmos dois vlores pr rzão, ms nos convém pens o vlor positivo, portnto =. 3 mtemtic@omep.org.r

5 18. (Extrído d Vídeo Aul) Pel figur temos que H e J são pontos médios dos ldos DE e EF e, portnto, HJé prlelo à digonl DF. Assim, o segmento EL, trnsversl às prlels HJ e DF, tmém é perpendiculr o segmento H J. De form nálog, o segmento DL é perpendiculr HI. Portnto, s digonis DF, EG e os ldos HI e HJ formm um qudrdo, sendo JHI = 90 o. D mesm mneir, chegmos HIK = IKJ = KJH = 90 o. Temos portnto que HIKJ é um retângulo e, consequentemente, sus digonis são congruentes. Elordo por Cleer Assis e Tigo Mirnd Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contto@cursorquimedes.com 4 mtemtic@omep.org.r