Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo

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1 Mtemátic ásic II - Trigonometri Not 0 - Trigonometri no Triângulo Retângulo Márcio Nscimento d Silv Universidde Estdul Vle do crú - UV urso de Licencitur em Mtemátic 18 de mrço de Ângulos Podemos definir ângulo como reunião de dois segmentos de ret de mesm origem, ms não contidos n mesm ret. Vej Figur 1. O O ^ Figur 1: Ângulo Ô 1.1 Ângulo nulo e ângulo rso Figur mostr definição de ângulo nulo e ângulo rso. 1

2 NGULO NULO O O NGULO RSO O O Figur : Ângulo nulo e ângulo rso Dividindo um ângulo rso em 180 prtes iguis (sub-ângulos), cd prte será chmd 1 gru e será denotd por 1 0. Ess será um de nosss uniddes de medid de ângulos, grus. ssim, podemos dizer que um ângulo rso é um ângulo de N Figur 3 temos um ângulo rso (Ô = 1800 ) que foi divido o meio (ângulo Ô = Ô = 900 ). Já o ângulo Ô = 900 foi tmbém dividido o meio (ÔD = DÔ = 450 ). D O Figur 3: Ângulo nulo e ângulo rso Qundo som de dois ângulos é um ângulo rso, dizemos que tis ângulos são suplementres. N Figur 3 vemos que ÔD e DÔ são suplementres. Qundo medid de um ângulo é 90 0, este é chmdo de ângulo reto. O ângulo Ô n Figur 3 é um ângulo reto. Se som de dois ângulos é um ângulo reto, tis ângulos são chmdos complementres. N Figur 3 ÔD e DÔ são complementres. Triângulos Três pontos não colineres,, determinm três segmentos de ret:,,. onsequentemente, temos três ângulos:, Ĉ e Â. O lugr geométrico dos pontos contidos em tis segmentos é chmdo Triângulo. Vej Figur 4.

3 b c Figur 4: Triângulo Os pontos,, são chmdos vértices. Os ldos do triângulo são os segmentos,, que têm medids, b e c respectivmente. Os ângulos internos são os ângulos =, Ĉ = Ĉ e  = Â..1 Semelhnç de Triângulos Dois triângulos, são semelhntes se, e somente se, possuem ângulos internos ordendmente iguis e ldos homólogos (ldos opostos os ângulos congruentes em cd triângulo) proporcionis. b c c b Figur 5: Triângulos semelhntes 3

4 . Notção   Ĉ Ĉ = b b = c c 3 Rzões Trigonométrics no Triângulo Retângulo Um triângulo é dito Retângulo qundo um de seus ângulos internos é reto. b c Figur 6: Triângulo Retângulo O ldo do triângulo oposto o ângulo reto é chmdo hipotenus. Os demis ldos são chmdos ctetos. ssim, n figur 6, hipotenus é o ldo e os ldos, são os ctetos. onsidere gor um ângulo formdo por dois segmentos de ret como n Figur 7. Figur 7: Ângulo Mrcndo sobre um dos segmentos os pontos 1,, 3,... e trçndo, por tis 4

5 pontos, perpendiculres (como n Figur 8), obteremos triângulos semelhntes 1 1,, 3 3, Figur 8: Triângulos semelhntes Sendo tis triângulos semelhntes, é correto firmr: 1. O cteto oposto o ângulo e hipotenus, são diretmente proporcionis, isto é: 1 1 = = 3 3 = 4 4 = O cteto djcente o ângulo e hipotenus, são diretmente proporcionis, ou sej: 1 = = 3 = 4 = O cteto oposto o ângulo é diretmente proporcionl o cteto djcente este mesmo ângulo: Observmos então que s relções = = = =... teto oposto dividido pel hipotenus teto djcente dividido pel hipotenus teto oposto dividido pelo cteto djcente não dependem do tmnho do triângulo, ms pens do ângulo. ssim, ddo um triângulo retângulo e fixndo um ângulo gudo (menor que 90 0 ), digmos, definimos: 1. Seno de um ângulo gudo (sen ): rzão entre o cteto oposto o ângulo e hipotenus. No triângulo d Figur 9, temos: sen = b 5

6 b c Figur 9: Triângulo retângulo. osseno de um ângulo gudo (cos ): rzão entre o cteto djcente o ângulo e hipotenus. No triângulo d Figur 9, temos: cos = c 3. Tngente de um ângulo gudo (tg ): rzão entre o cteto oposto e o cteto djcente. No triângulo d Figur 9, temos: tg = b c 4 Exercícios I 1. Ddo o triângulo retângulo em onde = 9cm, = 1, = 15cm, clcule: () sen (b) cos (c) tg (d) senĉ (e) cos Ĉ (f) tgĉ. Ddo o triângulo DE retângulo em onde D = cm, E = 4, = 5cm, clcule: () sen D (b) cos D (c) tg D (d) senê 6

7 (e) cos Ê (f) tgê 5 O Teorem de Pitágors Ddo um triângulo retângulo em com =, = b, = c, temos: = b + c Exemplo 1 Qunto mede hipotenus de triângulo retângulo cujos ctetos medem 1 e 15? Solução: Queremos encontrr o vlor de onde b = 1 e c = 15. Pelo Teorem de Pitágors, temos: = = = 369 Dí, = 369 = Exercícios II 1. lcule s rzões trigonométrics seno, cosseno, tngente dos ângulos gudos do triângulo retângulo em que um dos ctetos mede 3 e hipotenus 3.. Num triângulo retângulo reto em determine s medids dos ctetos, sbendo que hipotenus vle 50 e sen = Sej um triângulo retângulo em. São ddos tg = = 6. lcule os ctetos b, c. 5 e hipotenus 4. Um torneiro mecânico precis moldr um peç e recebe o projeto como n Figur 10. Tods s medids necessáris fbricção constm n figur. No entnto, como sber extmente onde ele deve começr fzer inclinção pr obter um ângulo de 5 0 como mostr o projeto? (Use: tg5 0 = 0, 46631) 7

8 Figur 10: Projeto de um peç 7 Relções entre seno, cosseno e tngente onsidere um triângulo retângulo reto em com hipotenus e ctetos b, c como mostr figur 11. b c Figur 11: Triângulo Retângulo Já vimos que sen = b e cos = c Dí b =.sen e c =. cos Do Teorem de Pitágors, temos: = b + c = (.sen ) + (. cos ) =.[(sen ) + (cos ) ] ssim, temos: 8

9 sen + cos = 1 (1) Vmos encontrr outr relção entre seno, cosseno e tngente. Vej que: sen cos = b c = b. c = b c Dí, sen cos = tg () onsiderndo ind o triângulo d figur 11, podemos observr s seguintes relções sen = cos Ĉ (3) senĉ = cos (4) tg = 1 tgĉ (5) 8 Exercícios III 1. lcule cosseno e tngente do ângulo α qundo () senα = 3 5 (b) senα = 3 (c) senα = 0, 57 (d) senα = 0, 95. lcule seno e tngente do ângulo α qundo () cos α = 1 9

10 (b) cos α = 5 (c) cos α = 0, 96 (d) cos α = 0, Sbendo que α e β são ângulos complementres, clcule senβ, cos β, tgβ qundo () senα = 0, 34 (b) senα = 4 5 (c) senα = 3 (d) senα = 0, 9 9 Ângulos especiis 9.1 α = 45 0 onsidere um triângulo retângulo onde um dos ângulos mede Então os outros ângulos são 90 0 e ssim, o triângulo é isósceles com os ctetos djcentes o ângulo reto iguis. onsidere Figur 1. x x 45 Pelo Teorem de Pitágors, temos: Figur 1: Triângulo Retângulo Isósceles = x + x = x e portnto =.x 10

11 ssim, sen45 0 = sen = x = x.x = 1 = cos 45 0 = cos = x = x.x = 1 = tg45 0 = tg = sen cos = sen450 cos 45 0 = = 1 9. α = x h 60 x/ D Figur 13: Triângulo Retângulo Equilátero onsidere gor o triângulo equilátero d Figur 13. Se chmrmos de x o ldo do triângulo, podemos encontrr h em função de x pelo Teorem de Pitágors: ( x x = h + ) Isolndo h, teremos: h = 3.x 11

12 onsiderndo gor o triângulo D ind n Figur 13, temos que: x sen30 0 = x = x.1 x = 1 3.x cos 30 0 = h x = 3.x 3 = x.1 x = 1 tg30 0 = sen300 cos 30 = = = 1 3 = α = 60 0 Usndo s relções 3, 4 e 5, temos: sen60 0 = cos 30 0 = 3 Dí temos conhecid tbel : cos 60 0 = sen30 0 = 1 tg60 0 = 1 tg30 = 3 0 seno cosseno tngente Exercícios IV 1. lcule os ldos de um triângulo retângulo sbendo que ltur reltiv hipotenus é h = 4 e um ângulo gudo é = lcule os ldos de um triângulo retângulo sbendo que ltur reltiv hipotenus mede 4 e form um ângulo de 15 0 com o cteto b. Ddos: sen75 0 = e cos 75 0 =

13 h 30 x y Figur 14: Triângulo Retângulo 3. onsiderndo o triângulo retângulo em como n Figur 14, qul relção entre x e y? 4. Um observdor vê um prédio, construído em terreno plno, sob um ângulo de fstndo-se do edifício mis 30 metros, pss ver o edifício sob um ângulo de Qul ltur do prédio? 5. lcule distânci entre os prpeitos de dus jnels de um rrnh-céu conhecendo os ângulos α e β sob os quis são observdos de um ponto O do solo, à distânci d do prédio. 6. Pr obter ltur H de um chminé, um engenheiro, com um prelho especil, estbeleceu horizontl e mediu os ângulos α, β tendo seguir medido = h, como mostr figur 15. Determine ltur d chminé. D β α H h Figur 15: hminé 13

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