Módulo 01 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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1 Mtemátic Módulo 0 RAZÕES TRIGNMÉTRIAS N TRIÂNGUL RETÂNGUL. Definição onsideremos um triângulo A retângulo em  com ldos medindo, b e c. c A medid do cteto oposto seno de um ângulo gudo medid d hipotenus b medid do cteto djcente cosseno de um ângulo gudo medid d hipotenus medid do cteto oposto tn gente de um ângulo gudo medid do cteto djcente medid d hipotenus sec nte de um ângulo gudo medid do cteto djcente medid d hipotenus cossecnte de um ângulo gudo medid do cteto oposto medid do cteto djcente cot ngente de um ângulo gudo medid do cteto oposto Assim: sen b lculndo hipotenus pelo teorem de Pitágors, temos: A A cm. sen α e sen β b. cos α e cos β c. tg α e tg β d. cossec α e cossec β e. sec α e sec β f. cotg α e cotg β. Ângulos notáveis A. Ângulo de onsideremos um qudrdo de ldo. c cos tg b c Eemplo No triângulo A d figur, retângulo em, s medids são: A cm e cm. Determinr:. sen e sen b d. cossec e cossec b b. cos e cos b e. sec e sec b c. tg e tg b f. cotg e cotg b sen cos tg PVA-- A α β 8

2 Mtemátic. Ângulos de 0 e 60 onsideremos um triângulo equilátero de ldo.. Tbel sen 0 60 cos 0 sen 60 cos tg 0 tg 60 sen cos tg EXERÍIS RESLVIDS PVA-- 0. lcule n figur bio. A No triângulo AH, temos: AH AH tg 60 AH No triângulo AH, temos : 60 m H AH 6 sen Assim: 6 m 6 6 8

3 Mtemátic 0. lcule s medids dos ângulos internos do triângulo A d figur seguir. A 6 H No triângulo A, temos: cos 60 AH AH AH sen sen 60 AH No triângulo AH, temos : AH sen sen 6 6 sen Logo: 60 ; e A 7 EXERÍIS DE APLIAÇÃ 0. ENEM Um blão tmosférico, lnçdo em uru ( quilômetros noroeste de São Pulo), n noite do último domingo, ciu nest segund-feir em uibá Pulist, n região de Presidente Prudente, ssustndo gricultores d região. rtefto fz prte do progrm Projeto Hibiscus, desenvolvido por rsil, Frnç, Argentin, Inglterr e Itáli, pr medição do comportmento d cmd de ozônio, e su descid se deu pós o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: < com.br.acesso em: 0 mi. 00>. Qul ltur proimd em que se encontrv o blão?.,8 km b.,9 km c., km d.,7 km e., km lão lão 60 0,8 km A,7 km N dt do contecido, dus pessos vistrm o blão. Um estv,8 km d posição verticl do blão e o vistou sob um ângulo de 60 ; outr estv, km d posição verticl do blão, linhd com primeir, e no mesmo sentido, conforme se vê n figur, e o vistou sob um ângulo de ,8 km A,7 km Sendo medid proimd d ltur do blão, temos: tg 60, 8, 8, 8, 7, km Respost PVA-- 86

4 Mtemátic 0. Fuvest-SP triângulo A d figur seguir é equilátero de ldo. s pontos E, F e G pertencem, respectivmente, os ldos A, A e do triângulo. Além disso, os ângulos AFE e GF são retos e medid do segmento AF é. G F A E Assim, determine:. áre do triângulo AFE em função de ; b. o vlor de pr o qul o ângulo FEG tmbém é reto. A F E G ) onsiderndo o AFE, temos: FE tg60 FE Assim, áre do AFE é dd por: AF FE S S b) onsiderndo o AFE, temos: sen0 AE AE Desse modo, E. omo o GE é equilátero, temos que E GE. Assim, no FEG, temos: GE tg60 FE 60 EXERÍIS EXTRAS PVA-- 0. UFPE N ilustrção bio, temos dois retângulos congruentes com bse medindo cm e ltur cm. Qul o inteiro mis próimo d distânci, em cm, do ponto A té horizontl? Ddo: use proimção, 7. A 0 87

5 Mtemátic 0. ESPM Um reservtório de águ é constituído por um esfer metálic oc de m de diâmetro, sustentd por coluns metálics inclinds de 60 com o plno horizontl e soldds à esfer o longo do seu círculo equtoril, como mostr o esquem seguir. 0. ENEM onsidere um ponto P em um circunferênci de rio r no plno crtesino. Sej Q projeção ortogonl de P sobre o eio, como mostr figur, e suponh que o ponto P percorr, no sentido nti-horário, um distânci d r sobre circunferênci. y P r h Q Então, o ponto Q percorrerá, no eio, um distânci dd por: 0 m Sendo, 7, ltur h d esfer em relção o solo é proimdmente igul :.,0 m b.,80 m c.,0 m d.,0 m e.,60 m. r sen d r d b. r cos r c. r tg d r rientção o professor d. rsen r d r e. rcos d É necessário ressltr importânci do triângulo retângulo 0 /60. Não perc tempo demonstrndo os vlores n tbel de ângulos notáveis, os lunos já memorizrm. omente ângulos complementres, digonl do qudrdo e ltur do triângulo equilátero. PVA-- 88

6 Mtemátic MÓDUL 0 IDENTIDADES TRIGNMÉTRIAS PVA-- É comum necessidde de obtermos um rzão trigonométric pr um ângulo, prtir de outr rzão cujo vlor sej conhecido, ou mesmo simplificr epressões etenss envolvendo váris relções trigonométrics pr um mesmo ângulo. Nesses csos, s identiddes trigonométrics que iremos deduzir neste tópico são ferrments de grnde plicbilidde. Antes de demonstrá-ls, é necessário que definmos o que vem ser um identidde. Identidde em um ou mis vriáveis é tod iguldde verddeir pr quisquer vlores els tribuídos, desde que se verifiquem s condições de eistênci d epressão. + Por eemplo, iguldde + é um identidde em, pois é verddeir pr todo rel, desde que 0. α c Fig. Vmos verificr gor como se relcionm s rzões trigonométrics que já estudmos. Pr isso, fremos uso do triângulo A presentdo n figur, retângulo em A. Aplicndo s medids de seus ldos no teorem de Pitágors, obtemos seguinte iguldde: b + c Dividindo os seus membros por, não lterremos iguldde. Assim, teremos: b c b c + + bservemos que s frções entre prênteses podem definir, com relção o nosso triângulo, que: sen + cos e cos b + sen b β A b Podemos firmr, portnto, que som dos qudrdos de seno e cosseno de um ângulo é igul à unidde, ou sej: sen + cos Epliquemos o significdo d prtícul co, que inici o nome ds relções cosseno, cotngente e cossecnte. El foi introduzid por Edmund Gunter, em 60, querendo indicr rzão trigonométric do complemento. Por eemplo, cosseno de tem vlor idêntico o seno de 68 (complementr de ). Assim, s relções cosseno, cotngente e cossecnte de um ângulo indicm, respectivmente, seno, tngente e secnte do complemento desse ângulo. Assim, indicndo seno, tngente e secnte simplesmente pelo nome de rzão, podemos dizer que: corrzão rzão (90 ) Fcilmente podemos concluir, com bse no triângulo presentdo n figur, que: sen cos b tg cotg b sec cossec b sen b cos tg b cotg sec b cossec Fçmos um outro desenvolvimento. Tomemos um dos ângulos gudos do triângulo A, d figur A, por eemplo,. Dividindo-se sen por cos, obtemos: b sen α b b tgα cos α c c c b De form nálog, o leitor obterá o mesmo resultdo se tomr o ângulo b. Dizemos, portnto, que, pr um ângulo, tl que cos 0, sen tg cos Podemos observr, tmbém, que rzão b, que represent tg, se invertid (pssndo c ), vem constituir c b cotg. Em virtude disso, e proveitndo identidde enuncid nteriormente, podemos dizer que, pr todo ângulo de seno não nulo: cotg tg cos sen 89

7 Mtemátic Tis inversões ocorrem tmbém ns relções seno, cosseno, secnte e cossecnte. Vejmos que: b senα cossec α b e c cosα sec α c Terímos encontrdo inversões semelhntes se utilizássemos o ângulo b. Dizemos, ssim, que, pr um ddo ângulo, sec cos cossec sen desde que sej respeitd condição de os denomindores dos segundos membros desss identiddes não serem nulos. Pssremos à eemplificção de situções em que poderão ser empregds s identiddes qui demonstrds. Não sem ntes presentr, de form resumid, no qudro bio, o resultdo obtido ds demonstrções. 0. sen + cos 0. corrzão () rzão (90 ) sen 0. tg (cos 0) cos cos 0. cotg ( sen 0) tg sen 0. sec (cos 0) cos 06. cossec ( sen 0) sen utrs identiddes trigonométrics. Demonstre que sec tg + Desenvolveremos demonstrção prtir do primeiro membro d identidde presentd, procurndo chegr à epressão dd no segundo membro. Lembremos que: sen 0. tg cos 0. sen + cos 0. sec, respeitndo-se, pr e, condição de que cos 0. Portnto: cos sen + cos sec cos cos sen cos sec + cos cos sec tg + ( c. q. d.) b. Mostre que cossec cotg +. Usndo o mesmo desenvolvimento do eemplo nterior e com o poio ds identiddes trigonométrics deduzids ness seção, podemos dizer que, pr sen 0, sen + cos cossec sen sen sen cos cossec + sen sen cossec cot g + ( c. q. d.) bservção As identiddes demonstrds nos eemplos º e º são denominds identiddes trigonométrics uilires. Ao qudro-resumo nterior, podemos ner, então, s identiddes. 07. sec tg + (cos 0) 08. cossec cotg + (sen 0) Resumo Identiddes trigonométrics. sen + cos b. corrzão () rzão (90 ) sen c. tg cos cos d. cotg tg sen e. sec cos f. cossec sen g. sec tg + h. cossec cotg + PVA-- 90

8 Mtemátic EXERÍIS RESLVIDS PVA-- 0. De um tbel de rzões trigonométrics foi fornecido como o vlor do seno de um ângulo gudo. Pede- -se determinr cosseno, tngente, cotngente, secnte e cossecnte desse ângulo. fto de o ângulo referido no enuncido ser gudo (com medid entre 0 e 90 ) signific que os vlores de tods s rzões trigonométrics que lhe digm respeito são positivos. Esse ssunto será estuddo qundo envolvermos s relções trigonométrics com rcos determindos no ciclo trigonométrico. Denominndo de o referido ângulo gudo e plicndo s identiddes fundmentis, podemos dizer que: 0. sen + cos + cos cos cos ± omo cos > 0, descrtmos solução negtiv. Teremos, ssim: cos Um vez conhecidos seno e cosseno do ângulo, poderemos clculr s demis rzões, pois tods podem ser epresss em função dquels. Assim: sen 0. tg cos tg tg 0. cotg cotg tg cotg 0. sec cos 0. cossec sen 0. lcule sen, sbendo-se que é gudo e que: tg + cotg cotg tg Somndo-se s equções do sistem, membro membro, obtemos: cos cotg sen cos sen Sbemos que sen + cos. Logo, substituindo-se cos por sen, teremos: sen + sen sen sen + sen + sen sen sen ± omo é gudo, concluímos que sen. 9 9

9 Mtemátic 0. Simplifique s epressões:. E tg + cotg sec cossec g b. E cot sec cossec Um vez que podemos eprimir tods s rzões trigonométrics em função de seno e/ou cosseno, devemos substituir cd termo ds epressões dds por relções convenientes.. E E b. E sen cos + cos sen cos sen sen + cos sen cos sen cos 0 E E 0 sen cos E cos sen cos sen sen sen EXERÍIS DE APLIAÇÃ 0. esgrnrio-rj Se tg, então sen é igul :. 6 b. c. tg d. e. 6 sec + tg + ( ) + 6 sec 6 cos sec 6 sen + cos + sen sen UFSr-SP vlor d epressão sen tg cos. b. c. d. e. 0 sen sen sen E tg cos cos cos sen E sen ( ) cos cos cos cos Respost é: PVA-- Respost E 9

10 Mtemátic EXERÍIS EXTRAS 0. PU-RS Pr representr os hrmônicos emitidos pelos sons dos instrumentos d orquestr, usm-se funções trigonométrics. A epressão sen + cos envolve ests funções e, pr < <, seu vlor é de:. 7 b. c. d. 0. UFS dptdo Mostre que, pr todo rel, + k, onde k é um número inteiro qulquer, vle tg cos sen. + tg rientção o professor Inicir retomndo trvés de um eemplo o que vem ser um identidde. Demonstrr relção fundmentl e tmbém sec tg +. e. 0. UEP Ddo sen 0,6, onde é um ângulo gudo de um triângulo retângulo, o vlor de cotg cossec é igul :. b. c. d. 0 9 e. 0 9 PVA-- 9

11 Mtemátic MÓDUL 0 IL TRIGNMÉTRI Introdução Vmos mplir o nosso universo de medids de ângulos. Já estudmos s rzões trigonométrics plicds ângulos gudos de um triângulo retângulo; gor vmos estudr os ângulos medidos num circunferênci, isto é, de A. iclo trigonométrico I. onsideremos um circunferênci de centro e rio. Nel podemos mrcr rcos e ângulos (sempre no sentido nti-horário) rigem dos rcos II. onsideremos um sistem de coordends crtesins y. Nele podemos representr cd ponto do plno por sus coordends. y P (, ) Note que, neste sistem, cd ponto d circunferênci está ssocido um rco e tmbém está definido por sus coordends. 80 Eemplo º qudrnte º qudrnte y 90 º qudrnte º qudrnte Identifique que qudrnte pertencem os rcos de medids bio:. 0 b. 0 c. d. 0 e. f. g. h. III. hm-se ciclo trigonométrico o sistem copldo de I e II, isto é, qundo fimos o sistem de coordends crtesins no centro d circunferênci de rio. y. 80 < 0 < 70 (º Q) b. 90 < 0 < 80 (º Q) c. 0 < < 90 (º Q) d. 70 < 0 < 60 (º Q) e. < < (º Q) f. < < (º Q) g. < < (º Q) h. 0 < < (º Q) PVA-- 9

12 Mtemátic. Seno, cosseno e tngente no ciclo trigonométrico Sej um rco de etremidde M no ciclo trigonométrico. y Justifictiv: no triângulo MA, temos: M Rio M A A A omo cos A, temos que: M cos é bsciss de M. eio é chmdo de eio dos cossenos... Tngente.. Seno sen y M Associmos o ciclo trigonométrico mis um eio, ret t, que tngenci circunferênci em (,0), que é tmbém origem de t. y M Q P tg Justifictiv: no triângulo M, temos: M Rio Justifictiv: no triângulo PQ, temos: Q t PVA-- omo sen, temos que: M sen é ordend de M. eio y é chmdo de eio dos senos... osseno y M A cos PQ PQ P tg PQ Rio P. Proprieddes.. Sinl Seno osseno Tngente y y y t 9

13 Mtemátic.. Tbel Seno osseno Tngente y y y seno cosseno tngente p p 0 0 PVA-- 96

14 Mtemátic EXERÍIS RESLVIDS 0. Determine os vlores de:. sen 0 b. cos 0 0 sen 60 (simétrico do o qudrnte) cos 0. UFRGS-RS onsidere s seguintes firmções pr rcos medidos em rdinos: I. sen < sen II. cos < cos III. cos < sen Quis são verddeirs?. Apens I é verddeir. b. Apens II é verddeir. c. Apens III é verddeir. d. São verddeirs pens I e II. e. São verddeirs I, II e III. sen Temos que: ) sen 0 sen 60 b) cos 0 cos 60 cos PVA-- (I) Fls, pois sen > sen. (II) Fls, pois cos > 0 e cos < 0. (III) Verddeir, pois >, então cos < cos () I sen < sen ( II) cos ( ) sen III De (I), (II) e (III), temos: cos < sen Respost 97

15 Mtemátic EXERÍIS DE APLIAÇÃ 0. UFPI Ns lterntivs bio, os ângulos estão epressos em rdinos. Anlise tis firmtivs e ssinle V (verddeir) ou F (fls). 0. ( ) sen > sen 0. ( ) cos > cos 0. UFJF-MG N figur bio, encontr-se um ret tngente o ciclo trigonométrico no ponto A, sendo os pontos, M e A colineres. N R 0. ( ) cos > cos 0. ( ) tg < 0 M A Determinndo no ciclo trigonométrico cd um dos ângulos, epressos em rdinos, temos:,,7 0,78 Podemos firmr que o vlor numérico do produto dos comprimentos de M e AR é igul o vlor numérico do comprimento do segmento:. M b. N c. R d. AR e. A N R Respost sen > sen (F) α M A cos > cos (F) cos > cos (V) tg < 0 (V) M cos N sen AR tg Assim, M AR cos tg senα M AR cosα sen α cosα \ M AR N Respost PVA-- 98

16 Mtemátic 0. IFET-G s qudrntes onde estão os ângulos, b e g, tis que: sen < 0 e cos < 0 cos b > 0 e tg b < 0 cossec g > 0 e cotg g < 0 são, respectivmente:., e b., e c., e d., e e., e tg sen cos sen < 0 e cos < 0 qudrnte cos b > 0 e tg b < 0 qudrnte > 0 e < 0 sen γ tg γ qudrnte Respost D EXERÍIS EXTRAS PVA-- 0. UFSJ-MG vlor numérico d som + cos + cos 0 + cos cos 70 + cos 7 é igul :. 0 b. c. d. 60 cos 0. UNISAL 6 Sbendo-se que sen, com < <, pode-se concluir que o vlor do cos é:. b.. c. d.. e.. rientção o professor módulo é bstnte etenso. Abord ciclo trigonométrico, qudrntes, seno, cosseno, tngente e vrição de sinl nos qudrntes. bserve que o próimo módulo trtrá de equções e inequções trigonométrics, portnto é conveniente bordr redução o primeiro qudrnte qui. 99

17 Mtemátic Módulo 0 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGNMÉTRIAS NA PRIMEIRA VLTA. Redução o º qudrnte Por meio d simetri de rcos, vmos estudr redução o º qudrnte. A. º qudrnte pr o º qudrnte α sen α α sen ( ) sen cos ( ) cos tg ( ) tg tg α cos α Eemplo lculr sen, cos e tg. omo +, o correspondente no º qudrnte é. Assim: sen sen cos cos tg tg. º qudrnte pr o º qudrnte sen α α tg α Eemplo lculr sen 0, cos 0 e tg 0. omo , o correspondente no º qudrnte é 60. Assim: sen 0 sen 60 cos 0 cos 60 tg 0 tg 60. º qudrnte pr o º qudrnte + α sen α α sen ( + ) sen cos ( + ) cos tg ( + ) tg tg α cos α α sen ( ) sen cos ( ) cos tg ( ) tg cos α Eemplo lculr sen 0, cos 0 e tg 0 omo , o correspondente no º qudrnte é 0. Assim: sen 0 sen 0 cos 0 cos 0 tg 0 tg 0. Equções e inequções trigonométrics n ª volt Utilizndo o ciclo trigonométrico e s reduções o º qudrnte, podemos resolver equções e inequções trigonométrics n ª volt do ciclo trigonométrico. PVA-- 00

18 Mtemátic EXERÍIS RESLVIDS 0. Se 0 < p, resolv:. cos b. cos Vmos inicilmente verificr iguldde. Sbemos que cos. Assim, os rcos em que o cosseno é são, respectivmente, + e. c. cos ) 0 cos PVA-- b) 7 cos S {} Sbemos que cos. Então, como outr solução 7 está no º qudrnte, el deverá ser:. S { ; 7 } c) Anlisndo o ciclo cim, concluímos que: { } S 0 ou < 0. Resolv, pr 0 < p:. tg 0 b. tg c. tg ) b) 0 tg tg S {0 ; } cos 0

19 Mtemátic Sbemos que tg. Portnto, os rcos cuj tngente é estão no º e º qudrntes; são eles: e. ; c) S { } tg 0. onsiderndo 0 < 60, determine o conjunto solução d equção: cos ( + 90 ) De cordo com o ciclo trigonométrico ilustrdo nteriormente, temos que: ou ou Logo, S {0, 0 } Prtindo d iguldde, temos que tg e que + ; tg. Anlisndo o ciclo nterior, temos: { } S < ou < EXERÍIS DE APLIAÇÃ 0. Resolv, pr 0 p, s equções trigonométrics:. sen b. cos c. tg ) 6 sen tg 6 cos S {, 6 6 } sen b) cos S sen tg tg {, } c) cos S {, } PVA-- 0

20 Mtemátic 0. Dê o conjunto solução d equção sen () + sen () 0, considerndo no intervlo [0, p]. sen ( sen + ) 0 sen 0 ou sen 7 S 0,, 6, 6, { } 0. Resolv inequção cos > 0 pr 0 < p. cos > y cos Do ciclo trigonométrico, obtemos o conjunto solução: S { 0 < ou < < p} EXERÍIS EXTRAS 0. INSPER-SP onsidere dois ângulos gudos cujs medids e b, em grus, são tis que: + b 90 e sen 0 sen b 0 Nesss condições, é correto concluir que:. tg e tg b 0. Pr 0 < p, resolv inequção: tg tg < 0 rientção o professor Retomr redução o primeiro qudrnte e plicr n resolução de equções e inequções trigonométrics. b. tg e tg b c. tg e tg b d. tg e tg b e. tg e tg b PVA-- 0

21 Mtemátic ANTAÇÕES PVA-- 0